九年级同步第10讲：锐角三角比的意义

1、19 / 16锐角的三角比的意义是九年级数学上学期第二章第一节的内容.锐角三角比的概念是以相似三角形为基础建立起来的， 本讲主要讲解锐角的正切和余切、正 弦和余弦的概念，重点是会根据直角三角形中两边的长求相应的锐角的三角比的 值，难点是在几何图形和直角坐标系中灵活运用锐角的三角比进行解题，为解直角三角形做好准备.知识结构模块一：正切和余切1、正切直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切(tangent).锐角A的正切记作tan A.锐角A的对边BCtanA锐角A的邻边AC2、余切直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切(cotangent).锐角A的余切记作cot

2、A.锐角A勺邻边cot A 锐角A勺对边AC bBC a例题解析郭殷年九【例1】 如图，在Rt ABC中，ACB 90 , A的对边是 , A的邻边是 B的对边是, B的邻边是【难度】【答案】【解析】【例2】如图，在Rt MNP中,MPN 90 ， PQMN ,垂足为点Q.(1) 在RtMNP中，M的对边是 ,M的邻边是;在Rt MPQ中，M的对边是 ,M的邻边是.(2) 在Rt 中，N的对边是 MP;在Rt 中， N的邻边是 NQ.(3) MPQ的邻边是 , NPQ的对边是 .【例3】如图，在Rt MNP中,MPN 90 , PQ MN ,垂足为点 Q.(1)tan MMQNP(2)PQ,M

3、P _QN -PN(用正切或余切表示)【例 4】 在 RtABC 中， C 90 , AC = 4, BC = 5 ,求 tan A、cot A tan B、cot B 的值.【难度】【答案】【解析】【例 5】 在 RtABC 中， C 90 , AC = 4, AB = 5,求 tan A、cot A、tan B、cot B 的值.【难度】【答案】【解析】【例6】 如图，矩形 ABCD中，对角线 AC、BD相交于点O,已知OA = 2, AB = 3,求 tan OAD 和 cot ODC 的值.【难度】【答案】【解析】4【例7】 如图，已知正比例函数 y J2x的图像上有一动点 A, x轴

4、上有一动点 B,求tan AOB 和 cot AOB 的值.【难度】【答案】【例8】已知，在Rt ABC中，C【解析】求：（1） AB的长；（2） tan B的值.【难度】【答案】【解析】模块二：正弦和余弦知识精讲1、正弦直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine）.锐角A的正弦记作sin A. Bsin A锐角A的对边Si*BC aAB c2、余弦直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine）.锐角A的余弦记作cos A.cosA锐角A的邻边斜边ACAB例题解析MPN 90 , PQ MN ,垂足为点 Q.(1)sin MMPNP(2)PQMQ【

5、例9】如图，在Rt MNP中,PN MP（用正弦或余弦表示）【例 10】 在 Rt ABC 中， C 90 , AC = 4, AB = 5,求 sin A, cos A, sin B, cos B 的值.【难度】【答案】【解析】【例 11】 在 Rt ABC 中， C 90 , AC = 4, BC = 5,求 sin A, cos A, sin B, cos B 的值.【难度】【答案】【解析】P （2, 3）.求 OP与x轴正半轴的夹角的【例12如图，在直角坐标平面内有一点正弦和余弦的值.【难度】【答案】【解析】【例 13】 已知，在 Rt ABC 中， C 90 , BC = 9, si

6、n A =-. 4求：（1） AB的长；（2） sin B的值.【难度】【答案】【解析】2【例14】 已知，在 Rt ABC中， C 90 , sin A =-,求sin B的值.3【难度】【答案】【解析】模块三：锐角的三角比 知识精讲1、锐角的三角比一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比.X定义表送式取值范围相互关系正 切A的对边tan A 1AA 八iA的邻边, atan A b,b tan B atan A 0（A为锐角）1 tan A cot A余 切A的邻边 cot A,A的对边 b cot A 一 a,-a cot B bcot A 0（A为锐角）正 弦A的对边si

7、n A斜边a sin A c.D b sin B c0 sin A 1（A为锐 角）sin A cos 90AcosA sin 90A余 弦A的邻边cosA斜边.b cos A - cc a cos B 一 c0 cosA 1（A为锐 角）【例15如图，在Rt ABC中,C 90 , AB = 5, BC = 4,求 A的四个三角比的值.【难度】【答案】【解析】【例16】在Rt ABC中,【难度】【答案】AC 90 , BC = 3, tan A =-,求 B的四个三角比的值.4【解析】【例 17】在 RtABC 中， C 90 ， sin B = 2,求 sinA、cosA、tanA 和 c

8、otA. 4【难度】【答案】【解析】【例 18】 在 RtABC 中， C 90 , AB = 13, BC = 12, AC = 5 ,求 sin A、cosA、tanA 和 cotA .【难度】【答案】【解析】【例19】已知等腰 ABC中，底边BC = 20 cm,面积为40 cm2,求sin B和tan C.【难度】【答案】【解析】【例 20 如图，在 Rt ABC 中， ABC 90 , BD AC ,若 AB = 9, BC = 12,求 sin A、 cos 、tan 、cot C 的值.90【难度】【答案】【例21如图，在Rt ABC中,【解析】求 cos ABC 和 tan A

9、BC 的值.【难度】【答案】【解析】【例22】在直角坐标平面内有一点A （3, 1）,点A与原点。的连线与x轴正半轴的夹角为 ，求 sin 、cos 、tan 和 cot .【难度】【答案】【解析】【例23】已知一次函数y = 2x-1与x轴所夹的锐角为 ，求tan和sin的值.【难度】【答案】【解析】【例24如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为（10, 0）,点B在第一象限内，BO = 5, sin BOA 3.求：（1）点 B 的坐标；（2） cos BAO的值.5【难度】【答案】【解析】【例25】直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8,现将 ABC如图那样折叠，使点A与点B重

10、合，折痕为 DE,求sin CBE的值.【难度】【答案】【解析】【例26如图，在平行四边形 ABCD中，AB = 10, B为锐角，sin B =- , tan ACB -, 52求AD、AC的长.【难度】【答案】【解析】【例27 如图，在 ABC中，AB = 20, BC = 21 , AC = 13,求 ACB的四个三角比的值.【难度】【答案】【解析】【例28】已知 ABC中，sin A = , tan B = 2,且AB = 29.求 ABC的面积.13【难度】【答案】【解析】【例29 如图，在梯形 ABCD中，AD / BC, AB AD,对角线 AC、BD相交于点 E, 4BD CD

11、, AB = 12, cot ADB ,求：（1） DBC 的余弦值；（2） DE 的长. 3【难度】【答案】【解析】【例30如图，在 ABC中， ACB 90=16 : 15,求 sin 、cot 的值.【难度】【答案】【解析】CD AB 于点 D, DCB ,若 AD : BC【例31 如图，在 ABC中， ABC 45线.求：（1） ABC的面积；（2）【难度】【答案】【解析】3一 ,sin A - , AB = 14, BD 是 AC 边上的中 5ABBAC 90 ,已知 A (1 , 0) , B (0, 3) , M 为【例32如图，在等腰 Rt ABC中,BC 中点，求 tan

12、MOA .【难度】【答案】【解析】【习题1】已知，在Rt ABC中， C 90 , AB = 5, AC = 4.则：(1) sin A =, cos A =, tan A =, cot A =(2) sin B =, cos B =, tan B=, cot B =.【难度】【答案】【解析】2 一【习题 2】在 RtABC 中， C 90 , BC = 3, cos A =，贝U AB =5【难度】【答案】【解析】【习题3】已知 A B 90 ,则sin A - coB的值为【难度】【答案】【解析】ABC 中，AB = BC = 20, AC 4/10 ,求 sin A 和 tan A 的值

13、.【习题4】如图，在【难度】【答案】【解析】【习题5】如图，在RtABC中， C 90 , CD AB于D.已知AC = 8, BC = 15 .求DCA的三角比.【难度】【答案】【解析】【习题6】如图，在Rt ABC中， ACB 90 , sin A = 2 ,点D、E分别在边 AB、3AC 上，DE AC, DE = 2, DB = 9,求 DC 的长.【难度】【答案】【解析】【习题7】已知，锐角的顶点在坐标原点，一边与 x轴正半轴重合，另一边经过5点p（1,上5）.求的二角比. 2【难度】【答案】【解析】【习题8】已知一次函数y = 4x -4图像分别与x轴、y轴交于A、B两点，P是 3

14、线段AB的中点，求sin POB的值.【难度】【答案】【解析】【习题 9】ABC 中， ACB 90 , CD AB 于点 D, DCA , AD : BC = 7 : 12,求sin 、tan 的值.【难度】【答案】【解析】1【习题 10 如图，在梯形 ABCD 中，AD / BC, AD = AB = CD = 4, cos C - 4(1)求BC的长；(2)求 tan ADB 的值.【难度】【答案】【解析】课后作业【作业1】 在Rt ABC中， C 90 , A、 B的对边是a、b,则b （）A. A的正弦值B.B的余弦值C.A的余切值D.B的余切值【作业2】在Rt ABC中， C 90

15、 , AB = c, AC = b, BC = a,则下列关系不成立的是（）A. b = c - cos AC.cos B【难度】【答案】【解析】3【作业 3】已知，在 Rt ABC 中， C 90 , AB = 16, cos A = 3.AC的长；（2） tan B的值.【作业4】已知 ABC的三边a、b、c满足a : b : c = 5 : 12 : 13,则sin A + cos A【难度】【作业5】若是锐角，且cot【难度】【答案】【解析】【作业6】【难度】【答案】【解析】已知 ABC中，BC = 10, cos C =1 , AC = 8 .求AB的长和 B的正切值.8【作业7】 如图，在 ABC中，AB = BC = 10, AC 2而，求sin B和tan B的值.【难度】【答案】【解析】【作业8如图，在Rt ABC中,C 90 , AC =