刚体力学PPT学习教案

1、会计学1刚体力学刚体力学22. 2. 刚体的受力模型刚体的受力模型 ijijiEifFF第第 i 个质点受力个质点受力:整个质点组（刚体）受力整个质点组（刚体）受力 iiijijiEiifFFF= 0 iiEF刚体的合内力为零！刚体的合内力为零！第1页/共27页3刚体受到的力矩刚体受到的力矩相对O点的力矩* 合内力的力矩合内力的力矩Fr iijijifrI orixyrj jijiijijjijjijiijifrfrfr,)(= 0刚体受力特征：刚体受力特征： 合内力和合内力矩都为零。合内力和合内力矩都为零。合外力：合外力： iiEFF iiEiFr 合外力矩：合外力矩：第2页/共27页43.

2、 3. 刚体的运动特征刚体的运动特征刚体各点在任意时刻具有相同的角速度。刚体各点在任意时刻具有相同的角速度。角速度成为刚体重要的运动特征，它在刚体运动中占角速度成为刚体重要的运动特征，它在刚体运动中占有有的地位。的地位。一般刚体的运动，可以看成某点的平动运动和刚体绕一般刚体的运动，可以看成某点的平动运动和刚体绕该点以角速度该点以角速度 作转动的合运动。作转动的合运动。 刚体各点线速度不相同。刚体各点线速度不相同。第3页/共27页5 车轮飞机卫星第4页/共27页6二、刚体动力学二、刚体动力学1 刚体的质心刚体的质心ciiiamamF 刚体在合外力作用下，其运动特征类似于一个质量等刚体在合外力作用

3、下，其运动特征类似于一个质量等于刚体质量的质点的运动。于刚体质量的质点的运动。 iiiiiicmammama运动特征：运动特征：mrmriic 质点位置矢量：质点位置矢量：刚体的刚体的质心质心 dVdVrdmdmrrc 更一般表述：更一般表述：刚体的平动刚体的平动第5页/共27页72 、刚体绕某点（如、刚体绕某点（如质心）的转动质心）的转动 iiiFr 合外力矩：合外力矩： iiidtPdr )( iiiPrdtd iiiPdtrd iiiivmvdtLd =0)( iiiPrdtd iiLLiiiPrL 刚刚体体的的转转动动定定律律刚体所受的合外力矩等于刚体对所选原点的合动量矩刚体所受的合外

4、力矩等于刚体对所选原点的合动量矩随时间的变化率。随时间的变化率。刚体的运动刚体的运动=质心平动质心平动+刚体绕质心的转动刚体绕质心的转动第6页/共27页83 刚体绕固定轴的转动刚体绕固定轴的转动实质：简化刚体的转动、一维的转动问题实质：简化刚体的转动、一维的转动问题dtLd dtdLzz zyxPPPzyxkjiL /0 角速度单位矢量角速度单位矢量 / LkLLz /)( iiivmr /)( iiiirmrBACCBA )()( )()(/iiiiirrm 222siniiiiiRmrm xyriRidmi iiiPrL z第7页/共27页9 xyriRidmi 222siniiiiizR

5、mrmL 引入转动惯量引入转动惯量: 2iizRmI zzIL 则有：则有：刚体绕固定轴的转动定律为：刚体绕固定轴的转动定律为： zzzzIdtIddtdL )(直直线线运运动动角角运运动动 、avx、mvP IL mImaF I 对应关系对应关系Ri为为dmi到到转转轴轴的的距距离离第8页/共27页10一般刚体的运动，可以看成质心的平动运动和刚体绕质一般刚体的运动，可以看成质心的平动运动和刚体绕质心以角速度心以角速度 作转动的合运动。作转动的合运动。 camF * 质心运动定律质心运动定律:* 绕质心的转动定律绕质心的转动定律: cI 三、转动惯量三、转动惯量:1.1.举例给出常用物体形状的

6、转动惯量计算举例给出常用物体形状的转动惯量计算例例5.1 5.1 圆盘绕轴心旋转的转动惯量圆盘绕轴心旋转的转动惯量. .例例5.2 5.2 圆球绕通过球心某轴旋转的转动惯量圆球绕通过球心某轴旋转的转动惯量. .例例5.3 5.3 细棒绕通过中心且与棒垂直轴旋转的转动惯量细棒绕通过中心且与棒垂直轴旋转的转动惯量. . dmRRmIiiz22或或第9页/共27页112. 2. 平行轴定理平行轴定理刚体对任一转动轴的转动惯量刚体过质心且平行这刚体对任一转动轴的转动惯量刚体过质心且平行这一转动轴的转动惯量刚体质量一转动轴的转动惯量刚体质量两平行轴距离两平行轴距离d2。)(22yxdmI )()(2oc

7、cm2occmyyxxdm )22()()(cmoccmoc2oc2oc2cm2cmyyxxyxyxdm dmrrmcIIccodmxyd为刚体质心到转动轴与刚体平面的交点为刚体质心到转动轴与刚体平面的交点O的距离。的距离。2mdIIc 022ccoccmoc mxxdmxx第10页/共27页123. 3. 垂直轴（正交轴）定理垂直轴（正交轴）定理薄板状刚体对板面两正交轴的转动惯量之和等于垂直薄板状刚体对板面两正交轴的转动惯量之和等于垂直该板面且通过板面内两正交轴交点的轴的转动惯量。该板面且通过板面内两正交轴交点的轴的转动惯量。xyz)(22yxdmIz yxzIII 例例5.4 5.4 细棒

8、绕通过端部且与棒垂直轴旋转的转动惯量细棒绕通过端部且与棒垂直轴旋转的转动惯量. .22223141121mlmlmlmdIIc 第11页/共27页13例例5.5 5.5 通过矩形平板中心且垂直板面轴的转动惯量通过矩形平板中心且垂直板面轴的转动惯量. .ab22121121mbmaIIIyx )(222222yxdydxIaaaa 例例5.6 5.6 平板中开孔后绕板中心平板中开孔后绕板中心且垂直板面轴的转动惯量且垂直板面轴的转动惯量. .第12页/共27页14四、刚体的能量四、刚体的能量刚体中任一质元刚体中任一质元mi绕定轴转动的动能绕定轴转动的动能EiK 2222121 iiiiikRmvm

9、E 刚体转动的总动能为刚体转动的总动能为 2221iiikkRmEE 2/2 I 22222121)(21cccmvImdI 或或 xyRidm即：刚体绕定轴转动的动能即：刚体绕定轴转动的动能 = 质心绕定轴的动能质心绕定轴的动能 + 刚体绕质心平行轴转动的动能。刚体绕质心平行轴转动的动能。1. 动能动能绕定轴转动绕定轴转动第13页/共27页152. 2. 总能量总能量cccpkmghImvEEE 222121 加上重力势能加上重力势能3. 3. 外力矩对刚体作的功外力矩对刚体作的功刚体绕定轴转动时，只有与轴垂直的力分量才能作功，刚体绕定轴转动时，只有与轴垂直的力分量才能作功，与轴平行的力分量

10、将和轴上的约束力平衡。与轴平行的力分量将和轴上的约束力平衡。考虑与轴垂直的力，有考虑与轴垂直的力，有: dcos iiiiiiiiiiiiddFRdRFRdFdAhc：质心：质心距零势能距零势能的高度的高度i d第14页/共27页16 dIA d dIddtdI d dA21222121 II 外力矩外力矩 对对 刚体刚体 所作的功所作的功 = 刚体刚体转动动能转动动能 的增加。的增加。 外力外力 对对 质点质点 所作的功所作的功 = 质点质点动能动能 的增加。的增加。功率定义：功率定义： dt ddtdAP结论：结论：一般而言有：一般而言有：第15页/共27页17直线运动直线运动角运动角运动

11、I、 mavx、mvP IL maF I ddA rdFdA 2/2mvEk 2/2 IEk 直线运动与角运动的对应关系直线运动与角运动的对应关系:第16页/共27页180 dtLdv四、角动量守恒定律四、角动量守恒定律1.1.质点的角动量质点的角动量: :vmrL 2mrIL mrvmrvLsin2.2.质点在有心力作用下的角动量守恒质点在有心力作用下的角动量守恒: :0)(rrfF )()(2rfrrm 0)2( rrm02)(22 r rmmrmrdtd图图 解解若质点绕若质点绕O点转动：点转动：第17页/共27页19例例5.7: 行星的俘获截面行星的俘获截面演演 示示3. 刚体的角动量

12、守恒刚体的角动量守恒 刚体的角动量定理刚体的角动量定理:dtIddtLd)( 若刚体的合外力矩等于零，则角动量守恒。若刚体的合外力矩等于零，则角动量守恒。00 Ld 00 xxdL 若若有心力作用：角动量守恒有心力作用：角动量守恒保守力作用：机械能守恒保守力作用：机械能守恒constI 第18页/共27页20Fc五、刚体的平面平行运动五、刚体的平面平行运动作用在刚体上的外力都在同一平面内，则刚体与该平面相交之作用在刚体上的外力都在同一平面内，则刚体与该平面相交之截面将始终在此平面内运动，称为截面将始终在此平面内运动，称为刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动。 (1) 合力作用线过质心，刚体作纯

13、平动。平动定义：运动中，刚体内任意两点间的连线始终保持方向不变。 (2)合力等于零，但力矩不为零。合力作用等价于一力偶。刚体作绕轴的纯转动。 IFl (3) 合力的作用线不过质心，刚体运动等价于合力作用在质心的纯平动加上力偶矩作用下的纯转动。lFFFFlc第19页/共27页21摩擦力在滚动中作用摩擦力在滚动中作用:如果摩擦力足够大，则其运动形式为无滑动的纯滚动。如果摩擦力足够大，则其运动形式为无滑动的纯滚动。若摩擦力不够大，会出现又滑动又滚动的情况，若摩擦力不够大，会出现又滑动又滚动的情况，摩擦力为摩擦力为0，则只滑动无滚动。，则只滑动无滚动。vc 是又有滑动又有滚动的情况。是又有滑动又有滚动

14、的情况。vc = 是纯滚动的情况。是纯滚动的情况。vc 是出现滚体原地打空转的情况，是出现滚体原地打空转的情况，vc = 0， 是纯空转，俗称打滑。是纯空转，俗称打滑。r r r 0 例例5.8 滚动滚动演示演示设滚体质心速度为设滚体质心速度为vc，绕质心转动的角速度为，绕质心转动的角速度为 。在单位时间内，。在单位时间内，质心前进了质心前进了vc t，而由滚动产生的移动为，而由滚动产生的移动为 。 tr 第20页/共27页22（1）以过质心且垂直于运动平面的轴为转轴，把刚体）以过质心且垂直于运动平面的轴为转轴，把刚体滚动分解为滚动分解为: 质心平动质心平动 + 绕质心转动。绕质心转动。（2）

15、以过滚体与地面触点）以过滚体与地面触点P且垂直于运动平面的轴为且垂直于运动平面的轴为转动轴，把刚体运动作为绕转动轴，把刚体运动作为绕P点的纯转动。称点的纯转动。称P点为点为瞬瞬心心。容易证明，。容易证明，P是瞬时静止的。即是瞬时静止的。即vp= 0，同时有，同时有.cp 纯滚动处理方法：纯滚动处理方法：jririvvCccccA cossin:, jrirj rvPppA sincos(:, jrirr cos)sin( CAv, CAvcxyP C第21页/共27页23 sin22mlL 2sincos2sin222lmllm 角动量大小角动量大小:力矩（向心力偶矩）力矩（向心力偶矩）dtLd 角动量定理角动量定理结论：外力矩的作用并非一定要改变结论：外力矩的作用并非一定要改变系统的角动量大小，也可以保持角动系统的角动量大小，也可以保持角动量大小不变而仅改变角动量的方向。量大小不变而仅改变角动量的方向。 例例5.9: 转动倾斜杆的角动量转动倾斜杆的角动量矛盾？矛盾？oppFF,constFPF ,constL 共同点：共同点：2l第22页/共27页24,constAdtBdABA 若若例如：匀速圆周运动；陀螺的进动。例如：匀速圆周运动；陀螺的进动。进一