《弹性力学》试题（2003级）参考答案

1、弹性力学试题（a）参考答案（2003级）一、填空题（每小题4分）1最小势能原理等价于弹性力学方程中： 平衡微分 方程和 应力 边界条件。2将平面应力情况下物理方程中的e、分别换成 、，即得到平面应变情况下的物理方程。3等截面直杆扭转问题中， 的物理意义是 端部边界条件 。4平面问题的应力函数解法中，airy应力函数及在边界上值的物理意义分别是 面力对某一点的矩 ， 面力的主矢量（合力投影） 。5对无限大多连体，解析函数中常数的物理意义为： 无穷远处的主应力及其方向 。二、简述题（每小题6分）1试简述力学中圣维南原理的要点及在弹性力学分析中作用。圣维南原理的要点：（1）静力等效；（2）一小部分边

2、界（次要边界）；（3）近处的应力明显受影响而远处应力的影响可忽略不计。圣维南原理在弹性力学分析中作用：（1）近似列出复杂面力的应力边界条件；（2）将一小部分位移边界条件转化为应力边界条件问题。2材料的泊松比为，试根据三向拉伸时体积膨胀，单向拉伸时产生横向收缩的性质，证明：在线弹性情况下有，。证明：（1）当物体处于三向等拉应力状态时，其任意方向的线应变有：因为， ，所以有：，即（2）当物体处于单向拉伸时，其横向线应变有：因为，物体发生横向收缩变形，应有：。考虑到拉伸轴向应变，由上式可得综合以上讨论，得在弹性阶段，材料的泊松比，有3下面给出平面应力问题（单连通域，无体力）一组应力分量和一组应变分量

3、，试判断它们是否可能。（1）；（2）。解：（1）判断应力分量是否满足平衡微分方程：计算：，代入平衡微分方程（设无体力），有，可见满足平衡微分方程。判断应力分量是否满足相容方程：计算：可见满足相容方程。综合以上判别得：所给应力分量为一组可能应力分量。（2）判断应力分量是否满足变形协调方程：计算：，将其代入变形协调方程：，显然有：满足变形协调方程，表明所给应变分量一组可能的应变分量。4图示曲杆，在边界上作用有均布拉应力q，在自由端作用有水平集中力p。试写出其边界条件（除固定端外）。题二（4）图（1）；（2）（3） 5试简述拉甫（love）位移函数法、伽辽金（galerkin）位移函数法求解空间弹性

4、力学问题的基本思想，并指出各自的适用性。love、galerkin位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想：（1）变求一般函数（或）为求一些特殊函数，如调和函数、重调和函数。（2）变求多个函数为求单个函数（特殊函数）。适用性：love位移函数法适用于求解轴对称的空间问题； galerkin位移函数法适用于求解非轴对称的空间问题。三、计算题1图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为d的集中力作用，单位宽度上集中力的值为p，设间距d很小。试求其应力分量，并讨论所求解的适用范围。 （13分）题三（1）图解：很小，可近似视为半平面体边界受一集中力偶m的情形。其应力函数可取为：将应力函数代入应力分

5、量公式，可求得应力分量： ； ； 边界条件：（1）； 代入应力分量式，有 或 （1）（2）取一半径为r 的半圆为脱离体，边界上受有：，和m = pd由该脱离体的平衡，得将代入并积分，有 得 （2）联立式（1）、（2）求得：，代入应力分量式，得； ； 。结果的适用性：由于在原点附近应用了圣维南原理，故此结果在原点附近误差较大，离原点较远处可适用。2图示顶角为的楔形体，下端无限长，受水平方向的常体力作用，设单位体积的水平力为，试用纯三次多项式为应力函数求其应力分量。 （12分） 题三（2）图解：由题意，取应力函数为 （1）计算应力分量： （2）边界条件1：， （3）将式（2）代入得：，解得：。式（2）变为： （4）考察边界条件（）：其中：，。将上式及式（4）代入，有 （5）将代入解得： 将上述结果代入式（4），得 （6）3一端固定，另一端弹性支承的梁，其跨度为l，抗弯刚度ei为常数，梁端支承弹簧的刚度系数为k。梁受有均匀分布载荷q作用，如图所示。试求：（1）用三角函数形式和多项式写出梁挠度（w）近似函数的表达式；（2）在上述梁挠度（w）近似函数中任选一种，用最小势能原理或ritz法求梁挠度（w）的近似解（取1项待定系数）。 （13分）题三（3）图解：两种形式的梁挠度试函数可取为 多项式函数形式 三角函数形式此时有：即满足梁的端部边界条件。 梁的总势能为取：，有，代入总势能计算式