流体力学-相对论习题课 2013.5.6最终

1、12013. 5. 6大学物理习题课大学物理习题课流体力学和相对论流体力学和相对论2流体力学流体力学一、基本概念一、基本概念2. 理想流体理想流体1. 流体的压强流体的压强dfpds (1) 流线流线(2) 流管流管3. 粘性流体粘性流体不可压缩、无粘性不可压缩、无粘性(3) 稳定流动稳定流动31. 静止流体的平衡方程静止流体的平衡方程(1) 连续性方程连续性方程二、基本规律二、基本规律(2) 伯努利方程伯努利方程2. 理想流体理想流体zpFypFxpFzyx，SSVsddtv0dSsv常量221vghp常量s43. 粘性流体粘性流体(1) 粘粘性流体的伯努利方程性流体的伯努利方程(2) 泊肃

2、叶定律泊肃叶定律(3) 湍流和雷诺数湍流和雷诺数(4) 斯托克斯粘性公式斯托克斯粘性公式Wghpghp222221112121vv42108d2)(RlpprrrQRVveRvdvrf65例例1 一圆柱形水桶，横截面的直径为一圆柱形水桶，横截面的直径为D=60cm，桶底，桶底有一直径为有一直径为d=10cm的圆孔。开始时桶内水的深度为的圆孔。开始时桶内水的深度为h=100cm，求：此时水从桶底孔中流出的速率，求：此时水从桶底孔中流出的速率v和流和流量量Q。DhdAB解：解：对对A、B两点运用伯努利方程两点运用伯努利方程221122AABBpghpvv0pppBA/6dD非小孔！非小孔！0Av连

3、续性方程：连续性方程：222BAghvv(1)22/ 4/ 4ABDdvv(2)流量：流量：2/ 2BQdv23-13.5 10 ms6例例2 如图，用虹吸管将容器中的水吸出。如果管内如图，用虹吸管将容器中的水吸出。如果管内液体做稳定流动，液体做稳定流动，求：求：(1) 虹吸管内液体的虹吸管内液体的流速流速；(2) 虹吸管最高点虹吸管最高点B的压强的压强；(3) B点距离液面的点距离液面的最大高度最大高度。221122DDDCCCpghpghvv0DCppp=0DvBCv = vv12Dh = h +h0Ch =122 ()Cg hhvv解：解：(1) 对对D、C两点运用伯努利方程两点运用伯努

4、利方程h3h2h1DABC7(2) 对对B、C两点运用伯努利方程两点运用伯努利方程221122BBCCCpghpghvv0123()Bppg hhh0Bp 0312()phhhg(3) 能够发生虹吸现象的条件是能够发生虹吸现象的条件是h3h2h1DABC(2) 虹吸管最高点虹吸管最高点B的压强的压强；(3) B点距离液面的点距离液面的最大高度最大高度。122 ()Cg hhvv8例例3 水从管水从管1流入，通过支管流入，通过支管2和和3流入管流入管4，管，管4的出的出口与大气相通，整个管道系统在同一水平面内。已口与大气相通，整个管道系统在同一水平面内。已知各管的截面积分别是知各管的截面积分别是

5、S1=15cm2，S2=S3=5cm2，S4=10cm2，管，管1中的体积流量为中的体积流量为600cm3/S。求：。求：(1) 各管中的流速；各管中的流速；(2) 各管中的压强与大气压强之差。各管中的压强与大气压强之差。v2v3v4v11234(1) Q4= Q1= 600cm3/S S2 = S3， Q2 + Q3 = Q1 Q2 = Q3 = 300cm3s-1v2 = v3 = Q2S2 = 3005 = 60cms-1v4 = Q4S4 = 60010 = 60 cms-1v1 = Q1S1 = 60015 = 40 cms-1解：解：9(2) 由伯努利方程及由伯努利方程及 2442

6、3322221121212121vpvpvpvp得得a223212441P1004 .06 .0100 .12121vvppv2v3v4v1123404pp a223222442P06 .06 .0100 .12121vvpp且且04342pppp(2) 各管中的压强与大气压强之差。各管中的压强与大气压强之差。10例例4 人体大动脉的直径为人体大动脉的直径为 4.010 -2m ，血液的密，血液的密度为度为103kgm-3、粘滞系数为粘滞系数为3.510-3Pas，其平均其平均流速为流速为4510-2ms-1（大动脉的临界雷诺数（大动脉的临界雷诺数 Re 为为110850）求：求：血液的雷诺数

7、。血液的雷诺数。解：解：由由vdR 得得32231045 104 1051433.5 10R 人体大动脉血管内的血流为湍流。人体大动脉血管内的血流为湍流。11狭义相对论狭义相对论1. 狭义相对论的两个基本假设狭义相对论的两个基本假设(1) 相对性原理相对性原理一、基本概念一、基本概念二、基本规律二、基本规律(2) 光速不变原理光速不变原理2. 狭义相对论时空观狭义相对论时空观1. 经典力学时空观经典力学时空观uyzOSyzOxSP( , , , )x y z t( , )x y z t (x)122. 洛伦兹变换洛伦兹变换坐标变换坐标变换: :221/xu txuc yyzz2221/utxc

8、tuc 正变换正变换221/xutxucyy 2221/utxctuc逆变换逆变换uyzOSyzOxSP( , , , )x y z t( , )x y z t (x)13速度变换速度变换: :正变换正变换逆变换逆变换2221/1yyxvvucuvc21xxxvuvuvc2221/1zzxvvucuvc2221/1zzxvvucuvc21xxxvuvuvc2221/1yyxvvucuvc14(1) 同时性的相对性同时性的相对性221220,(0)1/utxcttttuc (3) 长度收缩长度收缩2201/LLuc3. 相对论运动学效应相对论运动学效应运动的尺收缩运动的尺收缩(2) 时间延缓时间

9、延缓021221/ttuc运动的时钟变慢运动的时钟变慢15(1) 相对论质量相对论质量0221/m vpmvvc200 Em c20kEEEmc(6) 能量能量动量的关系动量的关系22 22 40Ep cm c0221/mmvc2020cmmcEEEk4. 相对论质点动力学关系式相对论质点动力学关系式(2) 相对论动量相对论动量(3) 静能静能(4) 相对论动能相对论动能(5) 相对论总能量相对论总能量16三、解题思路和例题三、解题思路和例题相对论运动学问题相对论运动学问题: :1. 明确参考系明确参考系S和和S以及它们的相对速度以及它们的相对速度u的方向和大小的方向和大小选择相对论动力学效应

10、的公式选择相对论动力学效应的公式相对论质点动力学问题相对论质点动力学问题:2. 正确选择相对论运动学效应公式正确选择相对论运动学效应公式2. 将已知条件化为将已知条件化为事件事件（即明确时间、空间坐标）（即明确时间、空间坐标）运用运用洛伦兹变换洛伦兹变换求解求解事件事件1事件事件2设：设：系系S系系S 11(,)xt11(,)xt22(,)xt22(,)xt17例例1. 飞船以飞船以0.6c 沿地面接收站与飞船连线方向向外飞沿地面接收站与飞船连线方向向外飞行，飞船上的光源以行，飞船上的光源以T0 = 4s 的周期向地球发光脉冲。的周期向地球发光脉冲。求：求：地面接收站接收到的脉冲周期。地面接收

11、站接收到的脉冲周期。讨论：讨论：甲说：甲说：飞船上的发生器飞船上的发生器先后两次发出脉冲是在同一地点，先后两次发出脉冲是在同一地点，应是原时，应是原时，所以，地面测量周期为所以，地面测量周期为 4 1.25=5s.对不对？对不对？接收站接收站u25. 16 . 01111222 cccu 18他们两人都不对。他们两人都不对。因为飞船上的发生器先后两次发出脉冲的事件因为飞船上的发生器先后两次发出脉冲的事件与地面上的接收站相继两次接收脉冲的事件与地面上的接收站相继两次接收脉冲的事件不是简单的原时与两地时的关系。不是简单的原时与两地时的关系。乙说：乙说：地面上的接收站地面上的接收站相继两次接收脉冲是

12、在同一地点，相继两次接收脉冲是在同一地点，这才是原时，这才是原时，他们两人谁对？他们两人谁对？正确做法如下：正确做法如下：所以。接收周期应为所以。接收周期应为 4 /1.25=3.2s.【答答】19【解解】地面参考系：地面参考系：飞船飞船相继相继两次发出脉冲（两事件）两次发出脉冲（两事件）的时间差的时间差02Txcutt )(0T0飞船飞船相继两次发出脉冲的空间距离相继两次发出脉冲的空间距离tux 接收站接收站11,tx22,txutu 接收站接收到的接收站接收到的 脉冲周期脉冲周期 应是相继两次脉冲到达接收站的时间差应是相继两次脉冲到达接收站的时间差直接由洛仑兹变换直接由洛仑兹变换20接收站

13、接收站11,tx22,txutu 相继相继两次脉冲两次脉冲先后到达接收站的时间差先后到达接收站的时间差 （即（即地面接收站地面接收站所测量的周期）所测量的周期）)(cutcxtT 1sccTccccTucuc844 . 06 . 16 . 06 . 000 cuT10 21接收站接收站11,tx22,txutu 地面参考系：地面参考系：02Txcutt )(相继相继两次发出脉冲两次发出脉冲仍有仍有 )(cutcxtT1相继相继两次脉冲两次脉冲先后到达接收站的时间差先后到达接收站的时间差 sTucuc20 如果飞船接近接收站结果又怎样？如果飞船接近接收站结果又怎样？22BAA ABS(1) 此时

14、，在此时，在 系中系中 钟和钟和 钟的读数是多少？钟的读数是多少？AS(2) 此时，在此时，在 系中系中 钟的读数是多少？钟的读数是多少？AB 那么，当那么，当钟与钟与 钟相遇时，钟相遇时，求：求： 例例2 . 在在 参考系中有参考系中有 轴上相隔为轴上相隔为 处有两只同步的钟处有两只同步的钟A B，读数相同。在读数相同。在 系的系的 轴上也有一只同样的钟轴上也有一只同样的钟 。xSSxAxASvSx 设设 系相对于系相对于 系的运动速度为系的运动速度为 ，沿，沿 轴方向，且当轴方向，且当与与 相遇时，刚好两钟的读数均为零。相遇时，刚好两钟的读数均为零。A(作业作业5.3)SS事件事件2 A

15、与与B相遇相遇1111(,) (,)xtxt2222(,) (,)xtxt事件事件1 A 与与A相遇相遇SSxxooxv23A钟示值钟示值ABxttv 、B钟示值钟示值SvSBAA xxoS在在 系中观察到系中观察到 移动的距离是移动的距离是 Ax（1）（2）S在在 系中观察到系中观察到 移动的距离是移动的距离是 A221/xvcx 钟示值钟示值AA转过的时间是转过的时间是0AAAtttxv221/vcxv24例例3 设想地球上有一观察者测得一艘宇宙以设想地球上有一观察者测得一艘宇宙以0.6c的速率的速率向东飞行，向东飞行，5.0s后该飞船将和一颗以后该飞船将和一颗以0.8c的速率向西飞的速率

16、向西飞行的彗星相碰撞。试问：行的彗星相碰撞。试问：求：求：（1）飞船上看，彗星的速度多大？）飞船上看，彗星的速度多大？ （2）飞船上看，再经过多少时间相撞？）飞船上看，再经过多少时间相撞？0.6c0.8c飞船飞船慧星慧星25【解解】设地面为设地面为 S系，飞船为系，飞船为 S 系系vu、分别为飞船、彗星相对地面的速度分别为飞船、彗星相对地面的速度根据洛仑兹变换，根据洛仑兹变换，在飞船系中，彗星的速度在飞船系中，彗星的速度xxvcuuvv21 cccccc946. 08 . 06 . 016 . 08 . 02 （沿（沿 - x 方向）方向）飞船飞船彗星彗星00SSuxx v小于光速小于光速c.

17、（1）飞船上看，彗星的速度多大？）飞船上看，彗星的速度多大？26方法一方法一.(2) 飞船上看，再经过多少时间相撞？飞船上看，再经过多少时间相撞？利用利用“原时原时”和和”“”“两地时两地时”的关系的关系事件事件1：飞船飞船被地面上的人看到被地面上的人看到事件事件2：飞船飞船与彗星相撞与彗星相撞 在飞船上看是原时在飞船上看是原时 t 这两事件，在地面上看是两地时这两事件，在地面上看是两地时 ts48 . 05)/6 . 0(15/1222 cccutt27方法二方法二.利用洛仑兹变换利用洛仑兹变换s46 . 0156 . 06 . 05/122222 ccccccuxcutt设：事件设：事件1

18、（飞船飞船被地上人看到）被地上人看到） （ x1，t1 ）（）（ ）x 1，t 1事件事件2（飞船飞船与彗星相撞）与彗星相撞） （ x2，t2 ）（）（ ）x 2，t 2飞船飞船彗星彗星00 SSuxx1x2x vt1t2tux 28例例4： 请证明：一个自由电子不能一次完全吸收一个光子。请证明：一个自由电子不能一次完全吸收一个光子。1phec2p证明：证明：12hpepc(1)222422241020p cm chp cm c(2)根据余弦定理根据余弦定理(1)式式2222221122p chch p ep c 即：即：2222221122cosp chp chp c(3)1p2p设相互作用前后电子的动量分别为设相互作用前后电子的动量分别为 和和 ，光子的频率为光子的频率为 ，电子的静止质量为，电子的静止质量为 m0 。根据动量守恒定律和能量守恒定律可