现代控制理论_制系统的状态空间表达式

1、第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式本章主要内容：本章主要内容： 状态变量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式 状态变量及状态空间表达式的系统结构图状态变量及状态空间表达式的系统结构图 状态变量及状态空间表达式的建立状态变量及状态空间表达式的建立 状态矢量的线性变换状态矢量的线性变换 从状态空间表达式求传递函数阵从状态空间表达式求传递函数阵课课 程程 回回 顾顾经典控制理论描述系统数学模型的方法： 外部描述：时域内为高阶微分方程、复频域内为输入输 出关系的传递函数；电机现代控制理论描述系统数学模型的方法： 内部描述：一阶微分方程（时域） 从传递函数的零点、极点分布

2、得出系统定性特征，并已建立起一整套图解分析设计法，至今仍得到广泛成功地应用。 利用状态分析法，对系统进行一系列特性分析，来设计状态反馈和输出反馈。经典控制理论的传递函数描述方法的不足之处： 系统模型为单输入单输出系统； 忽略初始条件的影响； 不包含系统的所有内部信息； 无法利用系统的内部信息来改变系统的性能。 复杂的时变、非线性、多输入多输出系统的问题，需要用对系统内部进行描述的新方法状态空间分析法。1.1 状态变量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式输入输入输出输出什么是系统？什么是系统？包括包括内部结构内部结构和和内部信息内部信息互连关系行为和状态如何选取内部信息？如何选取内部信息？：

3、 不同的系统有不同的系统有 不同的控制任务。不同的控制任务。1.1 状态变量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式：系统内部运动信息的集合：系统内部运动信息的集合：用变量来表示状态的话，能：用变量来表示状态的话，能完全描述完全描述系统系统运动状况的运动状况的个数最小个数最小的一组变量即为状态变量。的一组变量即为状态变量。：线性无关线性无关、个数唯一个数唯一、状态不唯一状态不唯一状态方程状态方程：由系统：由系统状态状态变量构成的变量构成的一阶一阶微分微分方程组方程组( (连连续系统续系统) )或一阶或一阶差分差分方程组（离散系统）。方程组（离散系统）。),()(),()(),()(212121

4、2122212111tuuuxxxftxtuuuxxxftxtuuuxxxftxrnnnrnrn ),(),()(ttttuxfx向量形式：向量形式：1n 状态向量 输入向量1r输出方程输出方程：在指定系统输出的情况下，该：在指定系统输出的情况下，该输出输出与与状态状态变量间的变量间的 个个代数代数方程，称为系统的输出方程。方程，称为系统的输出方程。m),()(),()(),()(2121212122212111tuuuxxxgtytuuuxxxgtytuuuxxxgtyrnmmrnrn ),(),()(ttttuxgy向量形式：向量形式： 输出向量1mRL+_+_u(t)uc(t)+_yi(

5、t)输入输出 解解：例例：建立如图所示的：建立如图所示的RCLRCL电路的状态方程和输出方电路的状态方程和输出方程。程。 图1)()()()(tututuRCtuLCccc 微分方程微分方程11)()(2RCsLCssUsUC 传递函数传递函数 只反映外部情况，无法获知内部联系只反映外部情况，无法获知内部联系 定义状态变量定义状态变量)()(1tutxc)()(2titx 二阶微分方程，选择两个状态变量二阶微分方程，选择两个状态变量状态向量状态向量Ttxtxt)(),()(21x 定义输出变量定义输出变量)()(1txtyRL+_+_u(t)uc(t)+_yi(t)输入输出整理得一阶微分方程组

6、为整理得一阶微分方程组为 )(1)()(ddtuLtiLRtuL1dti(t)i(t)C1dt(t)ucc即即)(1)()()()()(21221tuLtxLRtxL1txtxC1tx)(1txy 输出输出方程方程 状态状态方程方程状态空间状态空间 表达式表达式dtduCtituudti(t)dLtRicc)()()(RL+_+_u(t)uc(t)+_yi(t)输入输出)()(0121txtxy)(10)()(110)()(2121tuLtxtxLRLCtxtx写成写成矩阵相乘矩阵相乘的形式的形式)(1)()()()()(21221tuLtxLRtxL1txtxC1tx)(1txy LRLC1

7、10ALb1001c 可简写为可简写为 bu Axx 式中式中, , xcy 若按照如下所示的微分方程：若按照如下所示的微分方程： 选选 ，则得到一阶微分方程组：，则得到一阶微分方程组： ccuxux21, 21xx 即：即： uLCLRLC10110 xx 状态变量选择不同，状态方程也不同。状态变量选择不同，状态方程也不同。 )(1)()(ddtuLtiLRtuL1dti(t)i(t)C1dt(t)uccuLCxLRxLCx11212 1iuiCuccixuxc21iCuxuxcc121两组状态变量之间两组状态变量之间的关系的关系C1001PP：非奇异矩阵：非奇异矩阵C1001其其状态变量状

8、态变量为为 ，则一般形式的状态，则一般形式的状态空间描述写作：空间描述写作：,21nxxx 单输入单输出定常线性系统单输入单输出定常线性系统 用矢量矩阵表示的状态空间表达式为：用矢量矩阵表示的状态空间表达式为：ubAxxducy x1n维列向量维列向量1n控制控制矩阵矩阵输入输入矩阵矩阵n1观测观测矩阵矩阵输出输出矩阵矩阵状态状态矩阵矩阵系统系统矩阵矩阵系数系数矩阵矩阵nn 为标量uyd,Txnxxx21nnnnnnaaaaaaaaa212222111211Anbbb21b21ncccc写成矩阵形式有：写成矩阵形式有：BuAxxDuCxy 多输入多输出定常线性系统多输入多输出定常线性系统,21

9、2222111211nnnnnnaaaaaaaaaA系表征各状态变量间的关系统矩阵维,nn,212222111211nrnnrrbbbbbbbbbB量的作用表征输入对每个状态变输入矩阵维,rn状态向量维1,T21nnxxxx输入向量维1,T21ruuuruubAxxduy Cx,212222111211mnmmnncccccccccC量量的的关关系系表表征征输输出出和和每每个个状状态态变变输输出出矩矩阵阵维维nm ,212222111211mrmmrrdddddddddD0D,通常传递关系表征输入对输出的直接直接传递矩阵又称为前馈矩阵维rm输出向量维1,T21mmyyyy ik注注:负反馈时为

10、负反馈时为注：有几个状态变量，就建几个积分器注：有几个状态变量，就建几个积分器积分器积分器比例器比例器加法器加法器1.2 状态变量及状态空间表达式的状态模拟结构图状态变量及状态空间表达式的状态模拟结构图ABCDuyx x状态空间描述的模拟结构图状态空间描述的模拟结构图绘制步骤绘制步骤：画出所有积分器；画出所有积分器； 积分器的积分器的个数个数等于状态变量数，每个积分器的等于状态变量数，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量。输出表示相应的某个状态变量。根据根据状态状态方程和方程和输出输出方程，画出相应的加法器和方程，画出相应的加法器和 比例器；比例器；用箭头将这些元件连接起来。用箭头将这些元件连接起来。 例例 画出一阶微分方程的系统结构图。画出一阶微分方程的系统结构图。状态结构图状态结构图buaxx微分方程：微分方程： 例例 画出三阶微分方程的系统结构图。画出三阶微分方程的系统结构图。ubxaxaxax0012 微分方程微分方程： 例例 画出下述状态空间表达式的系统结构图。画出下述状态空间表达式的系统结构图。 xxx011100236100010yu系统系统系统系统本课程常用符号说明本课程常用符号说明小写小写细体细体字母字母标量、时间、复变量