2020年西城区高三二模数学试卷及答案(理科)

1、北京市西城区2020年高三二模试卷数 学(理科)2020.5第I卷(选择题共40分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1 已知集合 A x|log2X 1 , B x|0 x c，其中 c 0.若 AU B B，则c的取值范围是()(A) (0,1(B) 1,)(C) (0,2(D) 2,) f(x) ex; f (x) x x)(B)(D)2. 执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数 f (x) e 3cos3. 椭圆(是参数)的离心率是()y 5si n ； f (x) x x 1 ；则输出函数的序号为(A)(C)(A)(B)(C

2、)925(D)16254.已知向量a(x,1)，b ( x,4)，其中 x R .则“ x 2 ”是“ ab”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分又不必要条件5.右图是1, 2两组各7名同学体重(单位：kg )组2组3 6 7 466数据的茎叶图设1 , 2两组数据的平均数依160 1次0 272 3为Xi和X2，标准差依次为s,和s，那么()(注：标准差 s (为X)2(X2X)2L(xnx)2，其中 X 为 X,X2, L ,xn的平均数)(A)XiX2,SiS2(B)XiX2 ,S|S2(C)XiX2,SiS2(D)X!X2 ,S26已知函数f(x)

3、 kX i，其中实数k随机选自区间2,i 对X 0,i , f(X)0 的概率是()ii23(A)丄(B)丄(C) 2(D) 332347 某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层， 每层1人因特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达 所去的楼层假设这10位乘客的初始“不满意度”均为0,乘客每向下步行1 层的“不满意度”增量为1,每向上步行1层的“不满意度”增量为2 , 10人 的“不满意度”之和记为S，则S的最小值是()(A) 42(B) 41(C) 40(D) 398 . 对数列,女口果 k N*及 1, 2,L , k R ,

4、使an k lOi k 1 2an k 2 Lk an成立，其中n N*，则称an为k阶递归数列给出下列三个结论： 若On是等比数列，贝U On为1阶递归数列； 若On是等差数列，则On为2阶递归数列； 若数列On的通项公式为On n2，则On为3阶递归数列.其中，正确结论的个数是()(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3第U卷(非选择题共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9 在 ABC中，BC 品，AC 忑，A丄，则B310 已知复数z满足(1 i) z 1，则z 11.如图， ABC是。O的内接三角形，PA是。O的切线，PB交AC于点E，交。O于点D .若PA PE，A

5、BC 60， PD 1，PB 9，则 PA ;EC .12 .已知函数f(x) x2 bx 1是R上的偶函数，则实数b ;不等式f(x 1) |x|的解集为.正观国13. 个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图 是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，该几何体 的体积是;若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是.14. 曲线C是平面内到定点F(0,1)和定直线l : y1的距离之和等于4的点的轨迹,给出下列三个结论： 曲线C关于y轴对称； 若点P(x,y)在曲线C上，贝U | y| 2 ; 若点P在曲线C上，则1 |PF | 4.其中，所有正确结论的序号是.三、解答题共6小题，共8

6、0分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15. (本小题满分13分)已知函数 f(x) cos2 (x n) sin2 x .6(I)求咤)的值；(U)若对于任意的x 0,守，都有f (x) c，求实数c的取值范围.16. (本小题满分14分)如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直.AB /CD , AB BC , AB 2CD 2BC , EA EB .(I)求证：AB DE ;(U)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；(川)线段EA上是否存在点F ,使EC/平面FBD ?若存在，求出 巨；若EA不存在，说明理由.A17. (本小题满分13分)甲、乙两人参加某种

7、选拔测试.在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率 都是3，乙能答对其中的5道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道5题进行测试，答对一题加10分，答错一题(不答视为答错)减5分，至少得15分才 能入选.(I)求乙得分的分布列和数学期望；(U)求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.18. (本小题满分13分)已知抛物线y2 4x的焦点为F ,过点F的直线交抛物线于A，B两点.uur uuu(I) 若 AF 2FB，求直线AB的斜率；(n)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值.19. (本小题满分14分)已知函数f(x) 2ax 2 a -，

8、其中a R .x 1(I)当a 1时，求曲线y f(x)在原点处的切线方程；(U)求f(x)的单调区间；(川)若f(x)在0,)上存在最大值和最小值，求a的取值范围.20. (本小题满分13分)若An a02 L an佝 0或1,i 1,2,L , n)，则称A为0和1的一个n位排列.对于A , 将排列anaL an 1记为R1(An)；将排列a佃aL a“ 2记为R2(An);依此类推，直 至 Rn(An) An .对于排列An和Ri(An)(i 1,2丄,n 1)，它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的个数，叫做An和Ri(An)的相关值，记作t(An,Ri(An).例如A 11

9、0， 则 R1(A3) 011， t(A31R1(A3)1 .若t(An,Ri(An)1(i 1,2丄，n 1)，则称An为最佳排列.(I)写出所有的最佳排列A3 ；(U)证明：不存在最佳排列 A ；(川)若某个Azk 1 (k是正整数)为最佳排列，求排列A2k 1中1的个数.北京市西城区2020年高三二模试卷 数学(理科)参考答案及评分标准2020.51.D;2. D;3.B；4. A;5 .C;6. C;7. C;8.D.、填空题：本大题共6小题,每小题5分，共30分.9.冗101 i .11 .3，42 2 4 ；12.0，x|1 x 2131 ?3 n;14.、选择题：本大题共8小题，

10、每小题5分，共40分.3注：11、12、13第一问2分，第二问3分；14题少填不给分.15.(解答题：本大题共6小题，共 (本小题满分13分)I80分.n 2 / n、2 nf(1n)cos( y sin 石ncos6(U) 解:f(x)*1 cos(2xcos2x)】cos(2x n) cos2x233sin2x cos2x)2冗sin(2x n.因为x 0,n，所以2x n3n10分所以当2x nn，即1n时,f (x)取得最大值f21311分所以f(x)等价于故当【o n，f(x)c时，c的取值范围是空，).216. (本小题满分14分)(I)证明：取AB中点0，连结EO , DO .因

11、为EB EA，所以EO AB .1分因为四边形ABCD为直角梯形，AB 2CD 2BC , AB BC ,2分所以四边形OBCD为正方形，所以AB OD所以AB 平面EOD .()解：因为平面ABE 平面ABCD，且EO所以EO 平面ABCD，所以EO OD .所以 AB ED .由OB,OD,OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz . 5分因为三角形EAB为等腰直角三角形，所以OA OB OD OE，设OB 1，所以 O(O,O,O), A( 1,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0),D(0,1,0), E(0,0,1).uuir所以EC (1,1, 1)，平面A

12、BE的一个法向量为OD (0,1,0).7分设直线EC与平面ABE所成的角为uuu UHTuuu uuir-|EC OD|. 3所以sin|cosEC,OD |uuu_uuur| EC|OD| 3即直线EC 与平面 ABE 所成角的正弦值为9分3(川)解：存在点FEF 1时，有EC/平面EA 3FBD .10分证明如下：由 EF 1EA ( 1,0, -) , F( -,0,2)，所以 FB (-,0,-).3333333uuu设平面FBD的法向量为v (a,b,c)，则有uuD ，v FB 0.a b 0,所以 42取 a 1，得 v (1,1,2).a z 0.3312分因为 EC v (

13、1,1, 1) (1,1,2)0,且 EC 平面 FBD，所以 EC/ 平面 FBD .EF 1即点F满足一-时，有EC/平面FBD .EA 314分17. (本小题满分13分)(I) 解:设乙答题所得分数为X，则X的可能取值为15,0,15,30 .P(X15)12，P(X0)C2CCT12，P(X 15)C；CC30P(X 30)ClC0丄12152乙得分的分布列如下:X1501530P155112121212EX丄(15) 0 15 丄 3012 12 12 12(U)由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件 A，乙入选为事件B.则 P(A)10分P(B)11分2 3 2 23

14、3cf(-)2(-) (-)355512 12 281125，故甲乙两人至少有一人入选的概率1 P(A B) 1441125210312513分18. (本小题满分13分)(I)解：依题意F(1,0)，设直线AB方程为x my 1 .1分将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2 4my 4 0 3分设 A(X1,yJ， B(X2,y2)，所以 屮 y 4m， yy 4 .分uuu uuu4因为AF 2FB，所y12y2 .联立和，消去如以，得m6分所以直线AB的斜率是 2.2 . 7分(U)解：由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四

15、边形OACB的面积等于2S aob1因为 2S aob 2 |OF |% y2 |210分(yi y2)2 4yy 4 1 m , 12分所以m 0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4 . 13分19. (本小题满分14分)(I)解：当 a 1 时，f(x) 企，f (x)2(X 1)(X21 . 2x 1(x 1)分由f (0) 2,得曲线y f(x)在原点处的切线方程是2x y 0 . 3分(x a)(ax 1)(U)解：f (x)22.x 14分 当 a 0 时，f (x).x21所以f (x)在(0,)单调递增，在(，0)单调递减.(x a)(x -)当 a 0 , f (x) 2

16、a2 a 当a 0时，令f (x)0，得洛1a， X2， f (x)与f (x)的情况如下:ax 1x(，X1)x(X1, X2)X2(X2,)f (x)00f(x)f (X1)/f(X2)故f(x)的单调减区间是(，a), (1,)；单调增区间是(a,-).aa7分 当a 0时，f(x)与f (x)的情况如下：x(，X2)X2(X2, X,)X(X1,)f (x)00f(x)/f (X2)f(N)/所以f(x)的单调增区间是(，丄)；单调减区间是(丄，a) , ( a,).aa9分(川)解：由(U)得，a 0时不合题意.10分11当a 0时，由(U)得，f(x)在(0,-)单调递增，在(-,

17、)单调递减，所以f(x)在aa1 2(0,)上存在最大值f() a 0 .a设X。为f(x)的零点，易知X。1 a2 且 x，且 且 x02a1.从而 x x 时，f (x)0af(x) 0.若 f (x)在0,)上存在最小值，必有f(0)0，解得1 a 1 .所以a 0时，若f(x)在0,)上存在最大值和最小值，a的取值范围是(0,1.12分当a 0时，由(U)得，f (x)在(0, a)单调递减，在(a,)单调递增，所以f(x)在(0,)上存在最小值f( a) 1 .若f (x)在0,)上存在最大值，必有f(0)0，解得a 1，或a 1 .a的取值范围是所以a 0时，若f(x)在0,)上存

18、在最大值和最小值，综上，a的取值范围是(，1U(0,1.14分20. (本小题满分13分)(I)解：最佳排列 A为 110 , 101 , 100 , 011 , 010 , 001 3分(U)证明：设 A a1a2a3a4a5，则 R1(As) a5a1a2a3a4 ,因为 t(A5,R1(A5)1 ,所以 | a1 a51, | a2 a11 , | a3 a2 |, | a4 a31, | a5 a41 之中有 2 个 0 , 3 个 1 .按a5a1 a2 a3 a4a5的顺序研究数码变化，由上述分析可知有2次数码不发生改变，有3次数码发生了改变.但是a5经过奇数次数码改变不能回到自身，所以不存在A，使得t(A5, R1(A5)1 ,从