北京市东城区普通高中示范校高三3月联考综合练习（二）文科数学试题及答案

1、东城区普通高中示范校高三综合练习（二） 高三数学（文科） 2013.3命题学校：北京五十五中学学校： 班级： 姓名： 成绩： 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.设集合，则下列结论中正确的是a.b.c.d.2.若复数满足（为虚数单位），则等于a.b.c.d.3.“”是“直线和直线互相垂直”的a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件4.若一个直六棱柱的三视图如图所示，则这个直六棱 柱的体积为a.b. c.d.5.在中，内角所对边的长分别为，若，则的形状是a.锐角三角形b.钝角三角形c.直角三角形d.不确定

2、6.若定义域为的函数不是奇函数，则下列命题中一定为真命题的是a.b.c.d.7.已知不等式组表示的平面区域为，不等式组表示的平面区域为.若在区域内随机取一点，则点在区域内的概率为a.b.c.d.8.如图，矩形的一边在轴上，另外两个顶点在函数的图象上.若点的坐标为，记矩形的周长为，则a.208b.212c.216d.220二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。9.已知，则的值等于_.10.已知，且与垂直，则向量与的夹角大小是_.11.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是_12.设函数则函数的零点个数为_.13.若抛物线上的一点到坐标原点的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为_.

3、14.对于函数，若存在区间，使得 ，则称区间为函数的一个“稳定区间”.给出下列三个函数：；. 其中存在稳定区间的函数有_.（写出所有正确的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15.（本小题共13分）已知函数的图象的一部分如图所示（）求函数的解析式；（）求函数的最大值和最小值16.（本小题共13分）为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成5组，如下表所示：组别候车时间人数一 2二6三4四2五1（）求这15名乘客的平均候车时间；（）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；

4、（）若从上表第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率17.（本小题共13分）如图，四边形为矩形，平面，.（）求证：；（）设是线段的中点，试在线段上确定一点，使得平面.18.（本小题共13分）已知函数.（）当时，求的极值；（）求的单调区间.19.（本小题共14分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，一个顶点为，且其右焦点到直线的距离等于3()求椭圆的方程；()是否存在经过点，斜率为的直线，使得直线与椭圆交于两个不同的点，并且？若存在，求出直线的方程；若不存在,请说明理由20.（本小题共14分）已知函数，当时，的值中所有整数值的个数记为.（）求的值，并求的表

5、达式；（）设，求数列的前项和；（）设，若对任意的，都有成立，求的最小值.东城区普通高中示范校高三综合练习（二）高三数学参考答案及评分标准 （文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）c （2）b （3）c （4）a（5）b （6）d （7）a （8）c二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9） （10） （11）4（12）3 （13） （14）三、解答题（本大题共6小题，共80分）15.（共13分）解：（）由图可知：，-1分最小正周期，所以 .-2分，即，又，所以.-5分所以.-6分（）.-9分由得，-11分所以，当，即时，取最小值；-12分当，即时，取最大值

6、.-13分16.（共13分）解：（）由图表得：，所以这15名乘客的平均候车时间为10.5分钟.-3分（）由图表得：这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8，所以，这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约等于.-6分（）设第三组的乘客为，第四组的乘客为，“抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件.-7分所得基本事件共有15种，即，-10分其中事件包含基本事件8种，由古典概型可得，即所求概率等于.-13分17.（共13分）证明：（），.-2分平面，又，-4分又，平面，.-6分（）设的中点为，的中点为，连接，-7分又是的中点，.平面，平面， 平面.-9分同理可证平面，又，平面平面，平面.-12分

7、所以，当为中点时，平面.-13分18.（共13分）解：（）当时，.-2分由得（舍）或.-3分当时，当时，所以，当时，取极大值，无极小值.-6分（），-8分当时，在区间上，所以的增区间是； -9分当时，由得或.当时，在区间上，在区间上，所以的增区间是，减区间是；-11分当时，在区间上，在区间上，所以的增区间是，减区间是.-13分19.（共14分）解：（）设椭圆的方程为，其右焦点的坐标为.由已知得.由得，所以.-4分所以，椭圆的方程为.-5分（）假设存在满足条件的直线，设，的中点为.-6分由得，-8分则，且由得.-10分由得，所以，-11分即，所以，将代入解得，所以.-13分故存在满足条件的直线，其方程为.-14分【注】其它解法酌情给分.20.（共14分）解：（）当时，在上递增，所以，.-2分