量子力学作业答案

1、量子力学量子力学3/lesson/QuantumMechanics3/lesson/QuantumMechanics习题习题1.1.绪论绪论(1/3)(1/3) ( (常量常量) )并近似计算并近似计算 的数值，准确到二位有效数字。的数值，准确到二位有效数字。n1.1 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值对由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值对应的波长应的波长 与温度与温度 成反比，即成反比，即n证明：证明：(1)(1)求能量密度求能量密度(2)(2)求极值求极值1.1.绪论绪论(2/3)(

2、2/3)n1.2 1.2 在在 0 0 K 附近，钠的价电子能量约为附近，钠的价电子能量约为 3 3 电子伏，求其德布电子伏，求其德布罗意波长。罗意波长。n解：解：设自由设自由电电子的动能为子的动能为 E，速度远小于光速，则，速度远小于光速，则 。根据。根据德布罗意波长的定义，有德布罗意波长的定义，有1.1.绪论绪论(3/3)(3/3)n1.3 1.3 氦原子的动能是氦原子的动能是 E = = 3 3kT/2 /2 ( ( k 为玻耳兹曼常数为玻耳兹曼常数) )，求，求 T=1 =1 K 时，氦原子的德布罗意波长。时，氦原子的德布罗意波长。n解：解：设动能为设动能为 E 的氦原子的速度远小于光

3、速，则的氦原子的速度远小于光速，则 。根据。根据德布罗意波长的定义，有德布罗意波长的定义，有2.2.波函数和薛定谔方程波函数和薛定谔方程(1/4)(1/4)n2.1 2.1 证明在定态中，概率流密度与时间无关证明在定态中，概率流密度与时间无关n证明：证明：(1)(1)定态波函数定态波函数(2)(2)概率流密度概率流密度概率流密度是坐标的函数，不显含时间，因此与时间无关概率流密度是坐标的函数，不显含时间，因此与时间无关2.2.波函数和薛定谔方程波函数和薛定谔方程(2/4)(2/4)n2.2 2.2 由下列两定态波函数计算概率流密度：由下列两定态波函数计算概率流密度：从所得结果说明从所得结果说明

4、表示向外传播的球面波，表示向外传播的球面波， 表示向内表示向内( (即向原点即向原点) )传播的球面波传播的球面波n解：解： (1)(1)用到的公式用到的公式(2)(2)由由 , , 计算概率流密度计算概率流密度分析分析n 与与 同向：概率向外流动。同向：概率向外流动。 与与 反向：概率流向原点反向：概率流向原点n-, , 的大小与的大小与 有关，与方位角无关：在有关，与方位角无关：在相同径向坐相同径向坐标标 的曲面的曲面( (即球面即球面) )上，概率流密度相等上，概率流密度相等： 是向外传播的球面波，是向外传播的球面波， 是向原点传播的球面波是向原点传播的球面波2.2.波函数和薛定谔方程波

5、函数和薛定谔方程(3/4)(3/4)n2.3 2.3 一个粒子在一维势场中运一个粒子在一维势场中运动，求粒子能级和对应的动，求粒子能级和对应的波函数波函数n解：解：(1)(1)定态薛定谔方程定态薛定谔方程(2)(2)解方程解方程n归一化归一化 n能级能级 2.2.波函数和薛定谔方程波函数和薛定谔方程(3/4)(3/4)(3)(3)分析分析n 波函数和概率密度波函数和概率密度：节点数：节点数 = = n - - 1 1n 能级能级 2.2.波函数和薛定谔方程波函数和薛定谔方程(4/4)(4/4)n证明：证明：(1) (2.6.-14)(1) (2.6.-14)式的波函数式的波函数(2)(2)归一

6、化归一化分析：归一化常数与势阱宽度分析：归一化常数与势阱宽度 a 的平方根成反比，也就是概的平方根成反比，也就是概率幅与率幅与 a 成反比。成反比。a 与粒子坐标的测量有关，与粒子坐标的测量有关，1/ 1/a 与动量的与动量的测量有关；越小，表示坐标越容易测量，但动量越难测量测量有关；越小，表示坐标越容易测量，但动量越难测量n2.4 2.4 证明证明(2.6.-14)(2.6.-14)式中的归一化常数是式中的归一化常数是3.3.量子力学中的力学量量子力学中的力学量(1/6)(1/6)n3.1 3.1 一维谐振子处在基态一维谐振子处在基态 ，求，求(1) (1) 势能的期望值势能的期望值(2)

7、(2) 动能的期望值动能的期望值(3) (3) 动量的概率分布函数动量的概率分布函数n解：解： (1) (1) 势能的期望值势能的期望值(2) (2) 动能的期望值动能的期望值(3) (3) 按动量的本征函数展开一维谐振子的基态按动量的本征函数展开一维谐振子的基态分析：分析： 基态的动能与势能相等，各占总能量的一半；基态的动能与势能相等，各占总能量的一半；动量越大，其概率分布越小，在零附近的概率最大动量越大，其概率分布越小，在零附近的概率最大3.3.量子力学中的力学量量子力学中的力学量(2/6)(2/6)(4) (4) 动能的期望值动能的期望值(5) (5) 动量的概率分布函数动量的概率分布函

8、数(3) (3) 最可几的半径最可几的半径(1) (1) 的期望值的期望值n3.2 3.2 氢原子处在基态氢原子处在基态 ，求，求(2) (2) 势能势能 的期望值的期望值n解：解： (0) (0) 波函数正交归一化波函数正交归一化，令，令(1) (1) r 的期望值的期望值(2) (2) 势能势能 的期望值的期望值3.3.量子力学中的力学量量子力学中的力学量(3/6)(3/6)(3) (3) 最可几的半径最可几的半径(4) (4) 动能的期望值动能的期望值(5) (5) 动量的概率分布函数动量的概率分布函数分析：分析： 最可几的半径最可几的半径对应对应势能的期望值势能的期望值基态能级基态能级

9、 = = 动能的期望值动能的期望值 + + 势能期望值势能期望值最可几的半径最可几的半径不等于不等于半径的期望值半径的期望值最可几的动量最可几的动量不对应不对应动能的期望值动能的期望值3.3.量子力学中的力学量量子力学中的力学量(4/6)(4/6)n3.6 3.6 设设 时，粒子的状态为时，粒子的状态为求此时粒子的平均动量和平均动能求此时粒子的平均动量和平均动能n解：解： (1) (1) 确定未知常数确定未知常数 A(2) (2) 平均动量平均动量(3) (3) 平均动能平均动能分析：分析： 由由箱归一化箱归一化得到未知常数，然后具体分析中令得到未知常数，然后具体分析中令箱长箱长趋于无限大趋于

10、无限大 ；对称一维波函数的平均动量；对称一维波函数的平均动量为零为零，平，平均动能均动能不为零不为零3.3.量子力学中的力学量量子力学中的力学量(5/6)(5/6)n3.6 3.6 的另一解法，利用的另一解法，利用n解：解： (1) (1) 求求 y y( (x) ) 的复数形式的复数形式(2) (2) 求求(3) (3) 求求(4) (4) 求求3.3.量子力学中的力学量量子力学中的力学量(6/6)(6/6)n3.11 3.11 求第求第3.63.6题中粒子位置和动量的测不准关系题中粒子位置和动量的测不准关系n解：解： (1) (1) 坐标的期望值坐标的期望值(2) (2) 坐标平方的期望值坐标平方的期望值(3) (3)