杭州初三数学二次函数练习题复习题二次函数知识点

1、二次函数一、解析式的求法机W ，八 已知没有规律的三个点的坐标一短式2Thet已知a：b：c,并且已知一个点的坐标,已知顶点及另一点的坐标顶点式y = a(x + m)2 + 已知对称轴和另外两点的坐标 已知最值和另外两点的坐标两点式(交点式)y = a(x-x1)(x-x2)二、二次函数的图像1、二次函数的平移问题(1)、平移的实质：4相同。(4决定二次函数的影状、开口和开口的大小，其中同决 定开口的大小，。的正负决定开口方向。注意，两个二次函数的同相等，则这两个二次函 数的形状就是相同的)(2)、平移的规律：顶点坐标的平移。2、二次函数的对称变换：y = a(x - in)2 + kjy

2、= a(x+m)2 +&关于y轴对称y = a(x-m)2 +k与y = -a(x+m)2 一%关于x轴对不尔3、二次函数的图像与及其相关代数式(”/? +孰2442一440)之间的关系开口向上=。“1开口向下=。0 *,f对称轴在y轴右侧=0抛物线与)轴的交点在y轴正半轴0 c 0抛物线与丁轴的交点在y轴负半轴oevO4 + /? + 6-看4=1时函数的值4 + /7 + C 06_4c1抛物线与x轴有一个交点=b2 -4ac = 0抛物线与x轴没有交点=从-4 02。士b 1(vl)可得 2a2a2/? h i( 0 ： (D va + c： 4。+ 2 +，0： 2cv3Z?： a +

3、 b m(am + b),（7 W1的实数）其中正确的结论有（）（2）如图4所示，二次函数y = ax+Z?x + c（a。0）的图象经过点（一1, 2）,且与x轴交点的横坐标分别为为，电 其中一2 xi-1, 0 x21,下列结论:43-2加c4aco其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个（3）如困，抛物线y = d+Z?x + c与x轴的一个交点A在点（-2, 0）和（-1, 0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则abc 0 （填“ ”或“ 0时，抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x增大而减小：在对称轴右侧，y随x 增大而增大。它有

4、最底点，所以存在最小值，这个最小值就是当x取顶点横坐标，顶点纵坐 标的值就是二次函数的最小值。当a0时，抛物线开口向下，在对称轴左侧，y随x增大而增大；在对称轴右侧，y随x 增大而减小。它有最高点，所以存在最大值，这个最大值就是当x取顶点横坐标，顶点纵坐 标的值就是二次函数的最大值。例2、已知M,N两点关于Y轴对称，且点M在双曲线），=-上，点N在直线y = x + 3上， 2x设点M的坐标为（,），则二次函数y = -abx2 + （a + b）x有最大值还是最小值,那最大（小）值是多少四、二次函数的基本应用（1、利泄问题例3、（1）、某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销

5、售，那么半月可 售出400件，根据销售经验（提高销售单价会导致销售量的减少），即销售单价每提高1元, 销售量相应减少20件，如何提高售价，才能在半月内获得最大利泗（2）、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过 程.图中二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利泗S （万元）与销售时间t （月） 之间的关系（即前t个月的利泗总和S与t之间的关系）o根据图象提供的信息，解答下列问题： 由已知图象上的三点坐标，求累积利泗S （万元）与时间t （月）之间的函数表达式； 求截止到几月末公司累积利润可达到30万元； 求第8个月公司所获利泗是多少万元（3）、某高科技发

6、展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产 品，并投入资金1500万元进行批量生产。已知生产每件产品的成本为40元，在销售过程中 发现：当销售单价定为100元时，年销售量为20万件：销售单价每增加10元，年销售量将 减少1万件，设销售单价X为元，年销售量为y万件，年获利Z （年获利=年销售额一生产 成本一投资）万元。 试写出），与x之间的函数关系式；（不必写出的取值范围） 试写出2与X之间的函数关系式：（不必写出的取值范围） 计算销售单价为160元时的年获利，并说明同样的年获利，销售单价还可以定为多少元 相应的年销售量分别为多少万件 公司计划：在第一年按年获利最大确定的销

7、售单价进行销售，第二年年获利不低于1130 万元。请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价（元）应确定在什么范围内 2、距离（长度）问题例4、某施工队要修建一个横截面为抛物线的公路隆道，其高度为6米，宽0M=12米，现以0 点为原点,0M所在直线为x轴建立如图的直角坐标系. 请直接写出点M及抛物线顶点P的坐标. 求出这条抛物线的解析式. 施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架” ABCD,使A、D在抛物线上,B、C在地面0M上，为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木料AB、AD、DC的长度之和的最大值.试问:其最大值是多3、过位道及过桥问题例5、如图所示，隧道的横面是由抛物线和长方形构成的

8、。长方形的宽是2米，长是8米, 抛物线可用y = -0.25x2 +4表示。一辆卡车高4米，宽2米，它能通过该睡道吗 如果该隆道内设双行道，那么这辆卡车能通过吗4、分段函数例6、（1）、通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时 间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间的兴趣保持平稳状态， 随后开始分散.学生注意力指标数y随时间x （分钟）变化的函数图象如图所示（y越大表 示注意力越集中）.当OWxWIO时，图象是抛物线的一部分，当10W*W20和20W*W40 时，图象是线段.（1）当0W*W10时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式：（2）一

9、道数 学综合题，需要讲解24分钟.问老师能否经过适当安排，使学生听这道题时，注意力的指(2)、王亮同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行回顾反思，效果会更好.某一天 他利用30分钟时间进行自主学习.假设他用于解题的时间x (单位：分钟)与学习收益量y 的关系如图甲所示，用于回顾反思的时间x (单位：分钟)与学习收益量y的关系如图乙所 示(其中OA是抛物线的一部分，4为抛物线的顶点)，且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间. 求王亮解题的学习收益量y与用于解题的 $时间X之间的函数关系式，并写出自变量X的 取值范围； 求王亮回顾反思的学习收益量y与用于回 顾反思的时间X之间的函数关系式；

10、王亮如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这30分1钟的学习收益总量最严(学习收益总量=解题的学习收益量+回顾反思的学习收益量)(3)、由于国家重点扶持节能环保产业，某种节能产品的销售市场逐渐回暖.某经销商销售 这种产品，年初与生产厂家签订了一份进货合同，约定一年内进价为万元/台，弁预付了5 万元押金。他计划一年内要达到一定的销售量，且完成此销售量所用的进货总金额加上押金 控制在不低于34万元，但不高于40万元,若一年内该产品的售价y (万元/台)与月次x-O.O5x + O.25 (1 x4)(lx12且为整数)满足关系是式：y = 0.1(4x6), 一年后发现实际 0.015X + 0.0

11、1 (6x0 (/U)g(x) (/(x)vg(x)的解集反映在图像上，就是/(X)的图像在g(x)图像上面的部分所对应的X的取值范围。例7、(1)、二次函数y = /+/” + c(a W 0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：写出方程a2+法+。= 0的两个根.写出不等式ai+H + oO的解集.写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围.写出方程以2+次+。= y的实数根：若方程以2+以+。=攵有两个不相等的实数根，写出k的取值范围.(2)、阅读材料，解答问题.用图象法解一元二次不等式：x2-2x-30.解：设y = x?-2x-3,则y是4的二次函数., = 1 0,二抛物线开口向

12、上.又.当 丁 = 0 时，x2 2a - 3 = 0,解得 M=1, x2 = 3 .由此得抛物线y = /2x 3的大致图象如图所示.观察函数图象可知：当xv-l或x3时，y0.X22工一30的解集是：xvl或x3.观察图象，直接写出一元二次不等式：x2-2x-3v0的解集是一：仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x2-l0.(大致图象画在答题卡上) (3)、已知抛物线必=x2 -2x + c的部分图象如图1所示。求c的取值范围；若抛物线经过点（0, -1）,试确定抛物线y =工2-2x + c的解析式；若反比例函数乃=上的图象经过（2）中抛物线上点（1, a）,试在图2所示直角坐 x标系

13、中，画出该反比例函数及（2）中抛物线的图象，并利用图象比较口与力的大小。（4）、阅读：我们知道，在数轴上，x = 1表示一个点，而在平面直角坐标系中，x = 1表示 一条直线：我们还知道，以二元一次方程2x-y + 1=0的所有解为坐标的点组成的图形就是 一次函数y = 2x + 1的图象，它也是一条直线，如图.观察图可以得出：直线=1与直线y = 2x + 1的交点P的坐标（1, 3）就是方程组AX=1x=1的解，所以这个方程组的解为 2x-y + l =0= 3在直角坐标系中，xW1表示一个平面区域，即直线x = 1以及它左侧的部分，如图：yW 2x + 1也表示一个平面区域，即直线y=2

14、x + 1以及它下方的部分，如图。y=2x+1图图y=2x+f图回答下列问题：x = -2 在直角坐标系（图）中，用作图象的方法求出方程组一 的解;y = -2x + 2xN2用阴影表示，yW-2x+2,所围成的区域。 .yNO六、动点面积问题动点类面积问题的解题关键在于寻找临界点，划分时间段，需要注意的是，最后得到的 S与时间，或者距离X是一个分段函数，如果要求S的最值，则应该在区间内求最值，然后 加以比较。例8、（1）、如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点A在原点，AB = 3, AD=5.若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向作匀速运动.同时点P从A点出发以每秒 1个

15、单位长度沿A-B-C-D的路线作匀速运动.当P点运动到D点时停止运动，矩形ABCD 也随之停止运动.y（1）求P点从A点运动到D点所需的时间；b .C（2）设P点运动时间为t （秒）。当t=5时，求出点P的坐标；若/OAP的面积为s,试求出s与t之间的函数关系式 -o（并写出相应的自变量t的取值范围）.（A） D （2）、如图1,在48C中，N4=90 , 43=4, AC=39附是48上的动点（不与4 8重合）， 过M悬作MNBC交AC于点N.以融为直径作00,并在。0内作内接矩形4W.令AM=x.用含x的代数式表示例利的面积S;当x为何值时，00与直线8c相切在动点附的运动过程中，记M便与

16、梯形86W重合的面积为匕 试求y关于x的函 数表达式，并求X为何值时，v的值最大，最大值是多少图1图2图3（3）、如图，在平面直角坐标系中，两个函数y =,文+ 6的图象交于点儿 动点P2从点0开始沿 力方向以每秒1个单位的速度运动，作户。X轴交直线 %于点0,以。为 一边向下作正方形PQMN,设它与78重我部分的面积为S。求点4的坐标。（2分）试求出点P在线段上运动时，S与运动时间t （秒） 的关系式。（4分）在的条件下，S是否有最大值若有，求出亡为何值时, S有最大值，并求出最大值；若没有，请说明理由。（2分）若点P经过点4后继续按原方向、原速度运动，当正o （2 分）方形QMV与8重登部

17、分面积最大时，运动时间亡满足的条件是.2 Q(4)、如图，已知直线6 : y =二%+ =与直线A : y = -2x + 16相交于点C,卜12分别交x轴于A、8两点.矩形DEFG的顶点、D、石分别在直线小/,上，顶点尸、G都在x轴上，且点G与点8重合.求ABC的面积；求矩形DEFG的边DE与EF的长;若矩形OEEG从原点出发，沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为/(OWr W12)秒，矩形。E尸G与ABC重登部分的面积为S,求S关，的函数关系式，并写出相应的，的取值范围.(5)、如国，在平面直角坐标系中，直角梯形A8CO的边OC落在x轴的正半轴上，且A3 /OC, BC

18、LOC, AB=4, BC=6, OC=8.正方形跖的两边分别落在坐标轴上, 且它的面积等于直角梯形A8CO面积.将正方形OOEE沿x轴的正半轴平行移动，设它与 直角梯形A8co的重登部分面积为S.分析与计算：求正方形ODEF的边长;操作与求解：正方形ODEF平行移动过程中，通过操作、观察,试判断S (S 0)的变化情况是： A.逐渐增大 B.逐渐减少C.先增大后减少 D,先减少后增大当正方形O0EF顶点。移动到点C时，求S的值：探究与归纳:七、动点存在性问题在解决动点存在性问题时，一般先假设其存在，得到方程或者相应的式子，如果有解, 则存在，反之，则不存在。对于实际问题，一般分为三类：1、是

19、否存在等腰三角形，直角 三角形，平行四边形，矩形，直角梯形和等腰梯形，(对于三角形，一般按顶点分为三类情 况，当然，如果有角已经与已知角相等，则就分为两类情况；而对于平行四边形则应该按 和边平行以及和对角线平行两种情况考虑；对于等腰梯形，就应该注意底角的余张了)2、 是否存在三角形与一固定三角形相似(和上面一样按顶点分三类情况)，3、是否存在三角形 与一固定三角形面积之间有数量关系。例9、(1)、已知抛物线y =经过点彳(0, 5)和点8 (3 , 2)求抛物线的解析式：现有一半径为I,圆心。在抛物线上运动的动圆，问。P在运动过程中，是否存在。P 与坐标轴相切的情况若存在，请求出圆心P的坐标：

20、若不存在，请说明理由；若。的半径为广，点。在抛物线上、与两坐轴都相切时求半径一的值(2)、如图，直角坐标系中，已知点A(2, 4), B(5, 0),动点P从B点出发沿B0向终点0 运动，动点。从A点出发沿AB向终点B运动.两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设 从出发起运动了 xs.0点的坐标为()(用含X的代数式表示)当X为何值时，AAPO是一个以AP为腰的等腰三角形记PQ的中点为G.请你探求点G随点P, Q运动所形成的图形，并说明理由.（3）、如图，在平面直角坐标系中，直线y = -G-J与x轴交于点A,与），轴交于2/点、C ,抛物线 y = ax2 - x + ca W 0）经过 A

21、 B, C 三点. 3求过A, B,。三点抛物线的解析式并求出顶点厂的坐标： 在抛物线上是否存在点P,使AAB尸为直角三角形，若存在，直接写出尸点坐标: 若不存在，请说明理由：试探究在直线AC上是否存在一点，使得ZXMBE的周长最小，若存在，求出M 点的坐标：若不存在，请说明理由.（4）、如图，直角梯形。43C中，A8OC,。为坐标原点，点4在y轴正半轴上，点C 在X轴正半轴上，点8坐标为（2, 2a/3 ）, ZBCO= 60 , OHtBC干点、H .动点、P从 点”出发，沿线段“O向点O运动，动点。从点O出发，沿线段QA向点A运动，两点同 时出发，速度都为每秒1个单位长度.设点P运动的时

22、间为f秒.求OH的长：若AOPQ的面积为S （平方单位）.求S与1之间的函数关系式.弁求f为何值时， OP。的面积最大，最大值是多少设P。与08交于点.当 OPM为等腰三角形时，求中S的值.探究线段OW长度的最大值是多少，直接写出结论.（5）、如图，已知点A的坐标是（一 1, 0）,点B的坐标是（9, 0）,以AB为直径作。0，, 交y轴的负半轴于点C,连接AC、BC,过A、B、C三点作抛物线.求抛物线的解析式：点E是AC延长线上一点，NBCE的平分线CD交00，于点D,连结BD,求直线BD 的解析式；在的条件下，抛物线上是否存在点P,使得NPDB=NCBD如果存在，请求出点P 的坐标：如果不

23、存在，请说明理由.（6）、如困，抛物线y = /+4x与x轴分别相交于点B、0,它的顶点为A,连接AB,把AB所 的直线沿y轴向上平移，使它经过原点0,得到直线I,设P是直线I上一动点.求点A的坐标；以点A、B、0、P为顶点的四边形中，有菱形、等腰悌形、 直角梯形，请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐 标；设以点A、B、0、P为顶点的四边形的面积为S,点P的 横坐标为x,当4 + 6点 0）的图象的顶点为D 点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3, 0）, 0B=0C , tanNAC0= .3求这个二次函数的表达式.经过C、D两点的直线，与*轴交于点

24、E,在该抛物线上是否存在这样的点F, 使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形若存在，请求出点F的坐标：若不存在，请说明理由.若平行于*轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度.如图2,若点G (2, y)是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，AAPG的面积最大求出此时P点的坐标和4APG的最大(8)、如图，已知半径为1的与x轴交于A, B两点、,OM为001的切线，切点为M , 圆心。的坐标为(2,0),二次函数y = -x2 +x + c的图象经过A, B两点.求二次函数的解析式；求切线的函数解析式：线

25、段O/W上是否存在一点尸，使得以尸，O, A为顶点的三角形与OQM相 似.若存在，请求出所有符合条件的点尸的坐标：若不存在，请说明理由.(8)、已知：如图，在 RtAiACB 中，NC = 90，AC = 4cm, 8C = 3cm,点户由 8 出发沿84方向向点A匀速运动，速度为1cm/s：点。由A出发沿AC方向向点C句速运 动，速度为2cm/s；连接尸。.若设运动的时间为f(s) (0vf 为中的最小值，则y的最大值为(2)、如图，一元二次方程x? +2x-3 = O 的二根X, x2(x1 x2 )是抛物线 y = cix2 +bx + c与x轴的两个交点8 C的横坐标，且此抛物线过点A(3,6).