电路分析基础课件

1、北京邮电大学出版社beijing university of posts and telecommunications press 电电 路路 分分 析析 基基 础础 吴文礼吴文礼 编著 bupt press 目目 录录 第一章第一章 导论导论第二章第二章 电路基本概念电路基本概念 第三章第三章 电路定律电路定律 第四章第四章 电路的分析方法电路的分析方法 第五章第五章 一阶电路一阶电路 第六章第六章 高阶电路和复数频率高阶电路和复数频率 第七章第七章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析 第八章第八章 交流功率交流功率 第九章第九章 频率响应频率响应 bupt press第一章第一章 导论导论1

2、.1 电量和国际单位制电量和国际单位制1.2 力、功和功率力、功和功率 1.3 电荷与电流电荷与电流 1.4 电压电压 1.5 电能和电功率电能和电功率 bupt press1.1 1.1 电量和国际单位制电量和国际单位制 本书采用国际单位(si)制，国际单位有9个基本单位： 长度米(m) 质量千克(kg) 时间秒(s) 电流安培(a) 温度开尔文(k) 物质的量摩尔(mol) 平面角弧度(rad) 立体角球面度(sr) 发光强度坎德拉(cd) 所有其他的物理量都从基本单位导出。 bupt press电路分析中常用的物理量如下表所示，我们应尽可能使用国际单位的10的幂次及约量。物理量 符号(s

3、i)单位缩写物理量 符号(si)单位缩写 电荷 q 库仑 c频率 f赫兹 hz 电压 u，u 伏特 v力 f牛顿 n 电阻 r 欧姆 能量， 功e，w焦耳 j 电导 g西门子 s功率 p瓦特 w 电感 l 亨利 h 磁通量 韦伯 wb 电容 c 法拉 f磁通量密度 b特斯拉 t bupt press1.2 1.2 力，功和功率力，功和功率 我们从“力等于质量乘以加速度”物理概念出发可知，1牛顿就是使1千克质量的物体能产生1米/秒2的加速度的力，即 同样，在力的作用下使物体移动一定距离时就做功。1焦耳等于1牛顿米,即 功和能量单位相同。 功率是做功的速率或能量从一种形式转化为另一种形式的速度，功

4、率的单位为瓦特(w w),即: 211/nkg m s11jn m11 /wj s bupt press1.3 1.3 电荷与电流电荷与电流 电荷有正电荷和负电荷，电荷流动形成电流，电流单位为安培（a a），一般用i i表示恒定电流，i i表示随时间变化的电流。在1s s时间内通过一定截面1c c电荷的电流为1a a。 一般可表示为： 对于时变电流可表示为： 由于电荷移动可以为正，也可以为负，设定正电荷移动的方向为电流的正方向，故负电荷移动的方向为反方向。在电路分析中比较重要的是金属导体中的电流，它由原子结构最外层电子的运动产生的。 dtdqi bupt press1.4 1.4 电压电压 电

5、压通常是电位，是指电荷在电场中的位能。电压差（也叫电位差）是电荷从一点移动到另一点所需要做的功能。电压的单位是伏特，单位符号v v。1v v等于移动1c c电荷需要1j j功。即 电压的计量符号用下标表示对应于哪两点，如果字母a a代表一点，字母b b代表另一点，需要w焦耳的功来从b b点向a a点移动q q库仑电荷，则v vabab=w/q=w/q。注意，第一个下标点是电荷移动到达点。 电压极性的定义：如果从b b向a a移动正电荷做功，则a a点对b b点为正。 )()(1cqjwv bupt press1.5 1.5 电能和电功率电能和电功率 电荷在电场中移动会吸收或释放能量，这种能量称

6、为电能。电能单位是焦耳(j j)，电能的转换速率是电功率(p p)，单位是瓦特(w w)，即每秒中电能的变化量j/sj/s，可表示为 由于电压v=j/cv=j/c，电流a=c/sa=c/s，即 v va=(j/c)a=(j/c)(c/s)=j/s(c/s)=j/s )()(stjwp bupt press 故电功率等于电压和电流的乘积，即 p=vip=vi 由于v v，i i随时间变化，则瞬间功率也为时间函数，功率是能量对时间的微分 p=dw/dtp=dw/dt 在 电 动 机 等 其 他 设 备 中 输 出 功 率 常 用 称 为 马 力(horsepower-hp)的单位表示。 马力与瓦特

7、的关系为： 1hphp=745.7w w bupt press第二章第二章 电路基本概念电路基本概念2.1 电路元件分类电路元件分类2.2 电压源电压源 2.3 电流源电流源 2.4 电阻元件电阻元件 2.5 电容元件电容元件 2.6 电感元件电感元件 bupt press2.1 2.1 电路元件分类电路元件分类 电器设备可用具有不同性能电路元件组成的电路图或网络图来描述。简单的电路元件是二端元件。按性能可分为七种基本元件，用图2.1表示: 图2.1 bupt press有源元件：能提供电路能量的是电压源(a)，(b)或电流源(c)，(d)。其中用圆圈表示的(a)和(c)是独立电压源和电流源，

8、不受电路变化影响。用菱形表示的(c)和(d)是受控电压源和电流源，随电路变化而变化。电压源和电流源通称为有源元件。 无源元件：将电路中能量转化其它形式和将它储存在电场或磁场中的元件是电阻r r，电容c c和电感l l。其符号如2.1中的(e)，(f)和(g)。称r r，l l和c c为无源元件。 bupt press2.2 2.2 电压源电压源 理想电压源理想电压源的定义是：其两端电压与通过它的电流无关，电压源的电压叫做源电压，又叫做电动势。源电压可以是时间的函数，图2-1中(a)，(b)是电压源的符号，(a)是独立电压源，(b)是受控电压源，图中u u为源电压，“+”和“-”表示u u是“+

9、”端相对于“-”端的电压。 bupt press2.3 2.3 电流源电流源 理想电流源理想电流源的定义是：通过它的电流与其两端的电压无关，通过电流源的电流叫做源电流，源电流可以是时间的函数。图2.1中(c)，(d)是电流源的符号，图中表示源电流，箭头表示源电流的参考方向。实际电流的方向与箭头方向相同，则取为正，反之取负。2.1中(c)为独立电流源的符号，(d)为受控电流源的符号。 bupt press2.4 2.4 电阻元件电阻元件 电阻元件是吸收电路传输的电能,使其转化为其他能量的装置。表现这一物理属性是欧姆定律，即电阻两端的瞬时电压只取决于流过它的瞬间电流。 r r称为元件的电阻值，单位

10、是欧姆，符号为“”。1 =1v/a1 =1v/a。 最早是通过导体的导电性能认识电阻的。导体的导电性能是用导体的电阻率来衡量的，均匀截面的导体的电阻是 式中，是导体的长度（m），a是截面积（m2），是电阻率计量符号，国际单位为欧姆米。iru)()()(2mmr bupt press 一般，电阻率比较高的材料做成电阻器，电阻器吸收的功率是 电阻器所能承受的功率称为额定功率。工作时电阻器吸收的功率要小于电阻的额定功率，一般称额定瓦数。 瞬时功率的积分可确定电阻元件的耗能。rirvp2221212122ttttttrdtvdtirpdtw bupt press2.5 2.5 电容元件电容元件 电容是

11、以聚集电荷的形式贮存电能的二端元件。电容器的特点是两端的瞬时电压只取决于其中的瞬时电荷量。按电流注入端为电压的正极性端，如图2.2所示。 电容的单位是法拉，称为“f f”，用“c c”表示电容量的值。对于 填充线性介质的电容器，其电荷，电压，电流，功率及能量 的关系如下： 图2.2 电容元件在电场中的储能 )()(fccqu 01uidtcudtduci 22ucdtddtducuuip221221212121ttttuuttcuuccududtdtducupdtw221cvwc bupt press2.6 2.6 电感元件电感元件 电感是贮存磁场能量的元件。二端电感就是自感。对于填充线性磁介

12、质的线圈，其瞬时磁通量正比于通过它的瞬时电流。如图2.4所示电压和电流参考方向相同时，依据电磁感应定律可得电路的方程为 l l称为电感元件的电感量，单位是亨利，符号为h h。 电感的功率和能量的关系如下 图2.4电感的参考方向 dtdilu 221lidtdidtdiluip bupt press在t1到t2电感吸收能量电感元件在磁场中的储能为 2212212121ttttttliiluidtpdtw221liwl bupt press例：例： 当0t t0 (5-5) t0 (5-6) 这里rcrc称为电路的时间常数，由(5-5),(5-6)式看出，电容器的电压 和电流 分别以初始值 和 按

13、指数规律下降，随时间增加，逐渐减小到零，下降的速度由时间常数 来决定。 越大下降得越慢，见图5.1(b)和(c)。由图可看出 为下降到初始值的1/e所需要的时间。 0t0( )(0)u tuv00(0)rcuaeav0( )trcu tv e0( )trcduvi tcedtr ui0v0/vrrc bupt press5.4 5.4 通过一个电阻对电容充电通过一个电阻对电容充电 在t=0t=0时刻，将一个没有电荷的电容，通过一个电阻接到电压为 的电池上，如图5.4(a)所示。电容上的电压通过电阻中流过的注入电流而逐渐上升到 ，此时电阻中的电流减小到零。这一过程称为电容充电过程。由于电路中储能

14、元件初始状态能量为由于电路中储能元件初始状态能量为零，也称为零状态响应。零，也称为零状态响应。 图5.40v0vt=0r+v0-i+u-(a)0v00.632v0u(t)trc(b)0i(t)trv0r0.3680vrc(c) bupt press 对于t0t0时开关已经合上，回路的kvl方程为 。将 代入，整理后将方程变为 其全解为 。 其中通解（或称自然响应）为 的形式，由于激励函数为常数，故特解为 。求出待定系数a a和u u。将 和 代入上式得 0riuv(/)ic du dt01vduudtrcrc)()()(tututuhprcthaetu)(puu( )trcu tuae)(tu

15、h( )put bupt press 当 ， 得： 当 ， 得： 将a,ua,u代回得出其全解： 利用 可得 和 见图5.4(b),(c)所示波形。 t 0( )0uuv 0uv0t0(0 )0uuava0av 0( )(1)trcu tve( )( )du ti tcdt0( )trcvi ter( )u t( )i t bupt press5.5 5.5 通过一个电阻使电感中的电流消耗掉通过一个电阻使电感中的电流消耗掉 图5.6所示的rl电路中，设在t=0t=0时电流为 ，此时电感中储存磁能，在t0t0时，电流流过电阻消耗电感中的能量，随磁场能量消耗尽，回路中电流 变为0。 由kvl可知电

16、流 应满足 它的解是 ， 代回可得： 初始条件 则 其中 为电路的时间常数。 图5.6 0iii0dirildtstiaersl 0(0)iai00( )trtli ti ei elr bupt press5.6 5.6 在电感中建立一个直流电流在电感中建立一个直流电流 将一个电感中电流为零的rl电路，突然接到一个直流电源上，电感中电流将从零以指数形式进行增长，时间常数为l/rl/r。按图5.8(a)所示电路，说明求解过程。 当t0t0时开关合上，应用kvl列出 方程并求解 通解 ，特解 ， 可得 图5.8 当 时， 得t=0+v0-i(t)+u(t)-l(a).0dirilvdtthaeti

17、)(0( )pvitr/0( )tvi taer0t0(0 )0viar0var bupt press 对于通解 ，可得 其中 为电路时间常数 这样就可得到电感中电流 和两端电压 ，波形画于图5.8(b)和(c)。 0)()(tilrdttdihh/11()0ttlraeaearlrl( )i t( )u t/0( )(1)0rt lvi tetr/0( )0rt ldiu tlv etdt bupt press5.7 5.7 恒定激励一阶电路的三要素公式恒定激励一阶电路的三要素公式 对于既有外加激励又有初始储能的电路，它的换路响应，称为全响应。由叠加原理可认为全响应是零输入响应和零状态响应的

18、叠加。如图5.9所示电路 ， 全响应为 图5.9 t=0+v0-riccu(0-)=u0+u(t)-0000( )( )( )1()ttrcrctrcuvi ti ti teerrvu er rctevuveveutututurctrct)()1 ()( )( )(00000 bupt press 对于较复杂的这样恒激的一阶电路常用的求解方法，是用三要素公式。对于图5.9的 kvl方程为 标准微分方程为 其解为u(t)u(t)。 是特解项， 为通解项，对通用形式， 设特解为 ，通解为 。则对于换路后激励一阶电路的响应，一般形式为 可利用换路定则和稳定状态 以后来确定 和 。 0( )( )du

19、 trcu tvdt0( )( )vdu tu tdtrcrc0v00()trcuv e( )pyt/ tae/( )( )tpy tytae()t a( )pyt bupt press 时， 时， 由此可得一阶响应的通式 其中 为响应的终值。上式称为换路后恒定激励一阶电路响应的三要素公式。由于三要素 和 表达了一阶电路的物理特征，完全可以从相应电路求出，就简化电路响应的求解。该公式不仅适用于换路后恒定激励一阶电路任意响应求解，也适应一阶电路零输入的求解。 t ( )( )( )tppyytaeyt 0t0(0 )( )( )yyaeya (0 )( )ayy( )( )( ) (0 )( )

20、ttpy tytaeyyye ( )y (0 ), ( )yy bupt press例：例： 如图5.11(a)所示电路中，在t=0t=0时将开关合上。求t0t0时电容两端的电压和流过电容中的电流。 解：利用换路定则，可得 在t=0时刻，电容器可等效为 的电压源，求 的等效电路如图5.11(b)所示，则 图5.11t=0+12v-20k60k30kic100f+uc-(a)60(0 )(0 )1292060ccuuv(0 )9cuv(0 )ci129(0 )0.130cima bupt press t0t0时，对于电容器回路可等效为图5.11(c)所示电路。可得时间常数 时，电路终值等效电路仍

21、为图5.11(c)所示 图5.113630 10100 103rcst ( )12cuv ( )0ci +12v-30k60kic(0+)9v+uc(0+)-(b)+12v-30kic100f+uc-(c) bupt press利用三要素公式可以写出 t0t0时， 和 的波形分别如图5.11(d)和(e)所示。 图5.11 ( )( )(0)( )tccccutuuue /3312912123tteev( )( ) (0 )( )tccccitiiie /3300.100.1tteema( )cut( )cit0uc(t)(v)t(s)12v9v=3(d)0ic(t)(ma)t(s)=3(e)

22、 bupt press5.8 5.8 一阶电路的脉冲响应一阶电路的脉冲响应 如图5.12(a)所示电路表示输入信号为矩形脉冲的开关模型；波形如图5.12(b)所示。 图5.12 这就是把矩形脉冲信号，等效为在 t0t0时输入端对地短路（接地），在 t=0t=0时刻将输入接到电压源（或电流 源） 上，并保持到t=tt=t时再将输入 端接地。其表示式为t=0t=t+u0-+us(t)-(a)0us(t)tu0t(b)0u000( )00stu tutttt bupt press 结合具体例子进行推导，如图5.13(a)所示的一阶串联rc电路中，电压源提供了一个持续时间为t，高度为 的脉冲，如图5.

23、13(b)所所示t0t0t0时求解为 利用 时的条件 ，代入上式得： 所以 对于特殊情况 时，即强迫函数和自然响应具有相同指数 时，上式不成立，此时强制响应改为 ，自然响应不变，则可得： 00ptvdirietdtll( )( )( )npi ti tit0rtptlvaeeplr0t(0 )0i0vaplr 0( )()0rtptlvi teetrplrpl ( )rtlpi tite0( )rrttllvi titetel bupt press5.5.10 10 一阶电路对突加正弦激励的响应一阶电路对突加正弦激励的响应 正弦电源是常用的一种电源，我们以图5.18所示的电路为例，分析t=0t

24、=0时开关闭合换路后电路的电流 。 利用欧拉公式得到正弦函数和虚 指数函数的关系 当 时 使用图5.17的分析结果，就可以 得到正弦激励下电路中电流响应 。 即 图5.18 (5-30)( )i tt=0+-tvmcosrilil(0-)=0pjcosj tmemvtr v e( )i t00( )()mrtptlepjvvvi treerplcos()cos ()rtlmite bupt press 可以看出当 时， ; 经过一段时间 趋于零则达到稳态响应 瞬态响应自由分量为 在开关闭合瞬间，如果调整开关闭合瞬间 ,使 则接入相位角 应满足 使用同步开关，选择瞬时值等于 的瞬间闭合开关，则自

25、由分量为零，换路后无瞬变过程，能立刻进入新的稳定工作状态。可以克服换路出现的过流现象。 0t( )0i t rtle222( )cos()mpvittrl222( )cosrtmlnvi terl1t11222(0 )cos(0 )0mpvittrl12tcos()2mv bupt press5.11 5.11 一阶电路中强响应的总结一阶电路中强响应的总结 一阶电路典型微分方程为 强迫响应 是由强迫函数 决定的，在下面的表5-1中总结了一些常用的强迫函数和对应的强迫响应 。这些响应可以通过代入微分方程求出。用表5-1中这些函数加权的线性组合以及它们的时间延迟，可以推导出新的函数的强迫响应。(

26、)( )( )du tau tf tdt( )put( )f t( )put bupt press 表表5-1(5-1(a)a) 1 t( )f t( )put1a21taa()stesa stesaateatte bupt press 表表5-1(5-1(b)b)其中其中 及及其中其中 及及( )f t( )putcos tcosbtetcos()at221aatanacos()btaet221()aabtanab bupt press5.5.12 12 微分电路与积分电路微分电路与积分电路 一阶rc和rl电路最常的用途是做微分电路或积分电路。这是双端口电路，它们的基本特征是输出口的电压与输

27、入口的电压对时间的微分或对时间的积分成比例。也就将输入端的波形通过这种电路转换成其导数或积分形式的波形。 1 微分电路与积分电路的基本结构及特征微分电路与积分电路的基本结构及特征 微分电路与积分电路，比较理想的是由运算放大器构成的有源电路组成，这里只介绍由rc和rl组成的电路。 图5.19(a),(b)是最基本的微分电路：+u1(t)-+u2(t)-cr(a)+u1(t)-+u2(t)-rl(b). bupt press 图5.19(c),(d)是最基本的积分电路： 微分电路的条件是电路的时间常数非常小，信号的持续时间足够长。 积分电路的条件是电路的时间常数很大，信号持续时间相对较短。时间常数

28、大到何种程度可根据具体工作情况合理选择。+u1(t)-+u2(t)-rc(c)+u1(t)-+u2(t)-lr(d) bupt press2 微分电路应用实例微分电路应用实例 微分电路是提取阶跃信号和脉冲信号前后沿的简单实用电路。微分电路是提取阶跃信号和脉冲信号前后沿的简单实用电路。 例例 图5.20(a)所示电路是单片计算机常用的上电复位电路。其中输出端接到计算机cpu芯片复位端，输入端接到cpu芯片供电电源 上，每次开机时， 从0v上升到+5v，输出端也跳升到+5v，然后按指数规律下降，当低于2.2 v( )时，复位作用结束。求该电路有效复位脉冲宽度 （见图5.20(b)所示） 图5.20

29、 5ccvvccv1tt1t+u1(t)-+u2(t)-10f10kvcc至cpureset0v+5v(a)0u2(t)t+5v2.2vt1=rc(b) bupt press解：设在t=0t=0时开机由0v上升到+5v。 利用三要素公式来计算 当 时 可得： 开机经过82ms以后cpu复位结束，投入正常启动程序。我们可根据不同芯片对复位脉冲最小持续时间的要求，来改变电路的时间常数，电阻应根据芯片复位端输入阻抗不同首先确定下来，然后再对时间常数要求，计算出电容的数值。 2( )u t2222( )( )(0 )( )tu tuuue 100.155tteev1tt11021( )52.2tu t

30、e115ln0.08282102.2tsms bupt press3 积分电路应用实例积分电路应用实例 rc积分电路经常用作简单的脉冲延时，消除窄脉冲干扰和电源积分电路经常用作简单的脉冲延时，消除窄脉冲干扰和电源退耦等。退耦等。 例例 图5.22(a)所示电路，其中rc积分电路起脉冲延时的作用。 输入信号 为矩形脉冲如图5.22(b)所示，设整形电路的 触发电平为2.5v，输入阻抗忽略不计。求整形输出相对于输 入信号的延时。 解：由图5.22(b)可知,输入信 号的脉冲宽度为t t=0.4ms 当 时， 利用三要素公式求得1( )u t00.4tms 2222( )( )(0 )( )tu t

31、uuue 51tev2( )5(1)tu te0.440.15(1)5(1)4.9eev bupt press 设 上升到触发电平的时间为 ，则 由此式可得 当 时， 设 下降到触发电平的时间为 ， 代入上式得 则 由此看出脉冲宽度大于电路时间常数4倍 以上时信号幅度为整形触发电平2倍时， 上升和下降延迟相等，整形后输出信号 的脉冲宽度与输入信号相同。2( )u t1121( )5(1)2.5ue1ln20.1 0.690.07mstt2( )u t2t20.12222()(0.4)4.92.5utue24.9ln0.1 0.670.072.5ms bupt press5.13 5.13 突变

32、情况的分析突变情况的分析 如果在电路中，有两个电容上的电压值不同，换路后将两个电容并联在一起瞬间使两个电容上的电压相等，显然电容上的电压发生了突变，称之为突变情况，同样对含两个以上电感的电路换路也可能发生突变情况。对于突变情况，我们仍然可用瞬间电荷守恒或磁链守恒规律求出初始值。 例例 图5.25所示电路，是常用的rc分压器，设电路的初始状态为 零。输入信号为 求 ，并说明如何调节 能使此电路无过渡过程。 10( )00utu tt2( )u t2c bupt press 解：t0t0t0时，可以列出以 为未知数的电路微分方程来求解。 图5.25 设电容 上的电压为 , 则 列出a节点的kcl方

33、程整理成标准形式 由(5-34)式看出该电路是一阶电路，可用三要素公式来求解。 +u1(t)-+u2(t)-r1c1+ uc(t) -r2c2ab2( )00u tt2( )u t1c)(1tuc)()()()(2211tuutututuc21221212112( )( )()()du trruu tdtr r ccr cc bupt press电路的时间常数当 时当 时已知在 时， ，故a节点的总电荷为零。所以在 时刻这两块极板上总电荷仍然保持为零，即 因为当 时， 可得 121212()r rccrrt 2212( )ruurr 0t1122(0 )(0 ),(0 )(0 )ccccuuu

34、u0t12(0 )(0 )0ccuu0t11122122(0 )(0 )(0 )(0 )0ccc uc uc uc u 0tuuucc)0()0(211212(0 )cuucc bupt press 输出电压为 由上式看出，当 时， 此时电路将不出现瞬变过程。此时输入波形与输出波形仅相差一个衰减系数 ，并完全相似。改变 ，输出波形变化如图5.26所示。 121212()2122121212( )()rrtr rccrcru tuuu errccrr1221crcr2212( )ru turr212/()rrr2c0u2(t)tuccc211urrr2122121rrcc2121rrcc2121

35、rrccuccc211 bupt press第六章第六章 二阶电路、高阶电路和复数频率二阶电路、高阶电路和复数频率 用二阶微分方程描述的电路称为二阶电路二阶电路。二阶电路一般有二个独立的储能元件（两个电容，或两个电感，或一个电容和一个电感）。含有更多个储能元件的电路，得用更多阶微分方程描述称为高阶电路。本章以一些二阶电路的例子，介绍其分析方法，复频率和零极点图。其中串联rlc电路和并联rlc电路是教学大纲要求内容，复频率、零极点、强迫响应和自然响应是自学内容。 bupt press 6.1 串联串联rlc电路电路 6.2 并联并联rlc电路电路 6.3 复数频率复数频率6.4 在在s域中的一般

36、化的阻抗域中的一般化的阻抗 6.5 网络函数和零极点图网络函数和零极点图 6.6 强迫响应强迫响应 6.7 自然响应自然响应 bupt press6.1 6.1 串联串联rlcrlc电路电路 图6.1所示电路，是一个无激励电源的串联的rlc电路，当开关闭和时的kvl方程是 可得 解为 其中 , 称为电路的自然频率。 这样二阶电路的零输入响应（自然响 应），含有两项指数规律变化的分量， 需要两个条件来确定常数和。 由于 和 对其相应影响很大，分为 以下几种情况分析。 时称为过阻 尼情况， 时为临界阻尼情况， 时为欠阻尼情况， 时为无阻尼情况。 0clruuurlc+-+-+i图6.1)(tur)

37、(tul)(tuc0t0122ilcdtdilrdtidtstseaeati2121)(1s2s00000 bupt press1 过阻尼情况（过阻尼情况（ ） 在这种情况下， 都是正实数2 临界阻尼的情况（临界阻尼的情况（ ） 当 时， 即 , 电路的微分方程式变为 其特征方程有一对重根 ，由微分方程理论可知，其解的形式为 0,)()(21)(2)(1ttttteaeaeeaeati0clr2lclr12002222idtdidtid2, 1s)()(21taaetit bupt press 3 欠阻尼或振荡的情况（欠阻尼或振荡的情况（ ） 当电路中电阻 时，出现 欠阻尼或振荡的情况。这时微

38、分方程式 的特征方程的解 和 是共轭复数。 其解可以写成指数形式 也可以推导出正弦形式 4 无阻尼情况（无阻尼情况（ ） 当 时， ，电路出现无衰减情况，也称无阻尼 情况。此时， 这种情况下 0clr201s2s)()(21tjtjteaeaeti)sincos()(43tataetit00r02lr02020,1jlclcjjs102, 1tjtjeaeati0021)( bupt press 过阻尼过阻尼 临界阻尼临界阻尼 欠阻尼或振荡欠阻尼或振荡 无阻尼无阻尼0图6.2t1t)(timaxii(t)0t1-imax图6.3t0.667i(t)t0-0.6672图6.4i(t)0t2340

39、0.632-0.632图6.5 bupt press6.2 6.2 并联并联rlcrlc电路电路 图6.6所示的并联rlc电路的响应与串联rlc电路的响应相似。在时开关闭合，由节点电压法，列出kcl方程可得： 其解的形式为 这里 其中， 称暂态阻尼因子 电路自由振荡频率 0122lcudtdurcdtudurlc+-图6.60u0ttstseaeatu2121)(20222, 11)21(21lcrcrcsrc21lc10202 bupt press 1 过阻尼情况（过阻尼情况（ ） 在这种情况下，其解的形式为 2 临界阻尼情况（临界阻尼情况（ ） 当 时， ，即 。是临界阻尼情况， 并联rl

40、电路微分方程式为 其特征方程有一对重根 ，其解的形式为 0tstseaeatu2121)(0clr21lcrc121002222udtdudtud2, 1s)()(21taaetut bupt press3 欠阻尼（振荡）情况（欠阻尼（振荡）情况（ ） 当并联rlc电路中电阻 时，就处在欠阻尼的振荡情况 。 这时电路微分方程的特征根 和 为共轭复数 其中 是阻尼振荡的角频率，并联rlc欠阻尼时的微分方程与串联 rlc欠阻尼时微分方程形式相同。故其解的形式也相同，即 0clr210djs2, 11s2s2200,1,21dlcrcd)sincos()(21tataetuddt bupt pres

41、s6.3 6.3 复数频率复数频率 以前我们讨论过电路驱动函数是一个常数，或是一个正弦函数，或者是一个指数函数。现在我们要引入复数频率s s，它能统一上面提到的三个函数，并能简化分析，无论是暂态还是稳态响应分析都是需要的。 对于指数函数，我们仅关心其余弦项 ， 为了使其更具有广泛代表性，引入一个常数a a和因子 。 其中， 复频率 的单位 ， 的单位ran/sran/s， 的单位也是 。这就是具体单位 的奈培频率。 )(re)cos(tjettetsjtjjttjteaeeaetaeeae)()()cos(jsjs1s1ssnp bupt press 这样，当 和 都是非零时，可表示为一个衰减

42、的余弦函数（只考虑是 负值的情况）。如果 和 都是零，变为一个常数。当 ，而 是非零的负数时，则变为一个指数衰减函数。在表6-1中对于表达式 给出几个相对应于s s值的函数。 表6-10tsae f(t) s a -10+j0 10 0+j300 20 -5+j200 5 100.0 0+j0 100.0 te1010)30300cos(20t)45200cos(55te bupt press 在图6.9中，是函数 的波形。可以看出，当 时，没有阻尼，变为幅度为 的余弦波。当 ，变为 初始值为 的 指数衰减函数。当 和 都不为零 时，结果是有阻 尼的余弦函数。 图6.9 0t2/4/tmeut

43、meumumu)cos(taet0mu0mu bupt press6.4 6.4 在在s s域中的一般化的阻抗域中的一般化的阻抗（r,l,cr,l,c） 一个形式为 的驱动电压（电压源），施加到一个无源网络回路，将产生支路电流和元件两端的电压，它们都有相同的时间函数，即 为 和。因此，仅需要确定电流和电压的幅度和相位。对于一个网络，用时间域表示为图6.10(a)，则在s s域应表示为图6.10(b)。对于s s域中元件的阻抗见表6-2。 tsmeuu tsjaeeitsjdeeu+_（a)时间域r.l.c（b)s-域无源csslr1,图6.10+-无源+-+-tjmeuu)(tjjbbeeuu

44、)(tjjaaeeii)(0)(musubbusu)(aaisi)( bupt press 表6-2 由此看出在s s域中，串联rl电路的阻抗是r+sl。因此电感在s s域 内的阻抗是sl。电阻在s s域中的阻抗为电阻的阻值。同样我们分析 一个串联的rc电路，可以得到在s s域内串联电路的阻抗是 。 所以电容在s s域中的阻抗为 。 元件名称元件名称 时间域元件值时间域元件值 s域中阻抗域中阻抗 电阻电阻 r r 电感电感 l sl 电容电容 cls1csr1cs1 bupt press6.5 6.5 网络函数和零极点网络函数和零极点 网络函数h(s)h(s)定义为指数输出y(s)y(s)的复

45、数幅值与指数输入x(s)x(s)的复数幅值之比。例如，若x(s)x(s)是驱动电压，y(s)y(s)是两个端点的输出电压。h(s)h(s)可以由输入输出微分方程推导出来: 线性电路由大量元件组成，网络函数是s s的有理函数并能写成下列形式： 因为h(s)h(s)是输出响应与激励的比率。当 时，不管激励有 多大，响应将是零，故称零点。而当 时，不管激励有多 小，响应将是无穷大，故称为极点。 01110111)()()(asasasabsbsbsbsxsyshnnnnmmmm)()()()()(2121vupspspszszszskshmzs nps bupt press6.6 6.6 强迫响应强

46、迫响应 网络函数能以零极点形式表示并用图解得到响应。对于网络函 数h(s)h(s)，现在设 由此得出，网络对于一个有 的激励响应，可以通过h(s)h(s)的零极点图中测量零点和极点到s s点之间的向量长度以及它们与正 轴之间的角度来确定。), 2 , 1()(umnzsmmm), 2 , 1()(vndpsnnn)()()()()()()(2121212122112211vuvuvvuudddnnnkdddnnnkshjs bupt press6.7 6.7 自然响应自然响应 在本章中，我们重点研究一阶，二阶的强迫响应或稳态响应，现在可以通过很有用的复数频率方法得到响应。很容易地求暂态响应特性

47、的自然频率，它们就是网络函数的极点。 例例 如图6.14，求当一个电压源v(s)v(s)加到 中间时的自然频率。 解：其网络函数为 自然频率为 在时间域内，自然暂态电流形式是 其全响应是 ，利用初始条件 确定常数 ， 时强迫响应。 v(s)2.5图6.14s35s20yyxxxx )6)(2(12)4 . 0()(2sssshsnsnpp/6/2和ttneaeai6221fniii21aa 和fi bupt press第七章第七章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析7.1 引言引言 7.2 正弦信号的基本参数正弦信号的基本参数 7.3 正弦信号的相量表示法正弦信号的相量表示法 7.4 电阻、电容

48、、电感元件的复数模型电阻、电容、电感元件的复数模型 7.5 阻阻抗和导纳抗和导纳 7.6 相量形式的基尔霍夫定律相量形式的基尔霍夫定律 7.7 网孔电流分析法网孔电流分析法 7.8 节点电压分析法节点电压分析法 7.9 戴维南和诺顿定理戴维南和诺顿定理 bupt press7.1 7.1 引言引言 正弦电路是激励电源可以用正弦函数来描述的电路，也称为正弦交流电路。或简称为交流电路。本章主要讲述由正弦电源驱动的电路的稳态响应,在信号分析理论中，正弦信号是合成其它信号的基本信号。因此，正弦电路的分析方法，不论对理论分析和实际应用都是非常重要的。 由于正弦稳态电路的响应也是同频率的正弦形式，仅是幅度

49、和相位发生变化。将同频率的正弦信号用复数相量表示，电路的微分方程变换为复数代数方程。把正弦交流电路分析变为处理复数的代数方程，并把电阻电路基本电路定律和原理，基本分析方法，基本概念，等效变换推广应用于正弦交流电路中。本章重点要掌握好，正弦信号的相量表示法，正弦电路的相量分析法及其它有关的基本概念。 bupt press7.2 7.2 正弦信号的基本参数正弦信号的基本参数 7.2.1 7.2.1 正弦信号的三个特征量正弦信号的三个特征量 正弦电压的波形如图7.1所示，当以时间t t为自变量，其表达为 以相角为自变量时，则为 其中 称为角频率，t t为正弦信号的周期。而 称为正弦信号的频率。 称为

50、初相角，既可用弦波表示也可以用角度表示， 如果初相角用 表示，则正弦电压的一般表示式为 )8(2cos)(tttutum)4cos()(tutum)45cos()(tutumtutumcos()(t2tf14 bupt press 我们称 为正弦信号的三个特征量。 ：称为正弦信号幅度，取值为正值。 ：称为角频率，取值为弧度/秒。 f f ：称为正弦信号的频率，是每秒信号交变的次数，f f越大表示信号变 化 越快。 t t ：称为正弦信号变化的周期。 ：称为初相角，其值表示余弦波形的正峰值点与纵轴之间的距离， 如正峰点在纵轴的左侧 值为正，反之 值为负。 同样正弦电流信号可表示为：02248tt

51、umu(t)t(s)t(rad/s)图7.1mu和或或),(,tfum)cos()(titim bupt press7.2.2 7.2.2 正弦信号的峰值，平均值及有效值正弦信号的峰值，平均值及有效值 1 峰值峰值 ： 对正弦信号来说就是它的振幅或称最大值，在电路计算中有人在其单位下面加p。如 表示310伏是峰值电压。有时见到620 表示信号的最低点到最高点之间的值为620伏,称为峰峰值。 2 平均值平均值 ： 对于一般周期性信号的平均值是指一个周期内的平均值，其计算公式如下： 其中，t t为周期信号的周期， 是以计算方便为原则选择的起始点。 由于标准正弦信号正半周与负半周是完全对称的，所以它

52、的均值总是为零的。对于以后要学到的整流电路中，主要考虑其正半周的平均值。 mfpv310ppvavftttavdttftf11)(11t bupt press3 有效值：有效值： 在相同阻值电阻中，在相同时间内，通过交流电流 所产生的热量，与通过一个直流电流i i产生热量相等，则称i i为 的有效值。 有效值的定义为 有效值一个正数。在数学上称周期函数f(t)f(t)的有效值为瞬时式的均方根值，即 正弦信号的有效值是最大值的0.707倍。对于交流仪表中所标的数值都是有效值。我们日常使用的50hz交流电压有效值是220v。 )(ti)(titdttiti02)(1tsmrdttftf02.)(1

53、 bupt press7.3 7.3 正弦信号的相量表示法正弦信号的相量表示法 对于可以余弦表示得正弦信号，可看成是一个 在xyxy平面上以原点为中心，以为角频率旋转 的向量，在x x轴上投影，如图7.4所示。（对于 用正弦函数表示的信号，是旋转向量在y y轴上的 投影。）向量的长度或者幅值是余弦函数的幅 值或最大值，向量与横轴（x x轴）的夹角是余 弦函数的相位角，就可以用向量来表示正弦信号。 设旋转向量的幅度为 ，则 位置1可表示 位置2可表示 位置3可表示 如果电压或电流被表示为正弦函数，用相位 减去 的方法，将其转化为余弦函数。 xy12312120/233/225/2t图7.4mat

54、amcos)cos(1tam)90cos(2tam90 bupt press 相量是有向线段或称自由矢量，我们在字母上面加“ ”如 来标注。余弦函数的相位角是相量的角度，向量图可认为是在 时刻，有向线段按逆时针旋转时所在的位置。 正弦信号向量表示的具体方法见下表所示。 iu,0t函数函数 相量图相量图 相量表示相量表示vtu)45400cos(200vu45200mai600 . 5matmati)601000cos(0 . 5)301000sin(0 . 5u45o0200v0i-60o5.0ma bupt press1 相量的三种表示形式相量的三种表示形式 相量可以当作一个复数对待，当水平

55、轴与一个复平面的实数轴相同时，相量就成为一个复数并且适用于通常法则，根据欧拉同一性法则，对一个相量有三个等效符号： 极坐标形式 正交形式 指数形式 余弦表示式也可以写成： 利用指数形式可以得到如何处理相量的积和商： 因为 则 又因为 则uu)sin(cosjuujueu rere)cos()(tjtjeuuetuu)(21212121)(jjjeuueueu)()(21212211uuuu)(21212121)()(jjjeuueueu)()()(21212211uuuu bupt press2 振幅相量和有效值向量振幅相量和有效值向量 向量长度用信号的振幅值（最大值）表示称为振幅相量，其符号

56、用 表示，相量长度用信号的有效值表示称为有效值相量，其符号用 表示。 例例 已知正弦电压，电流如下，试分别写出它们的振幅相量及有 效值相量 解：振幅相量 有效值相量muuvtuativtumati)50cos(3,)120cos(22)60sin(125,)30cos(102211121210 302 21201251503 503130mmmmimaiauvuv 121210307.07 302212012515088.4150231302.121302imaiauvuv bupt press7.4 7.4 电阻，电容，电感元件的复数模型电阻，电容，电感元件的复数模型 1 电阻元件的复数模型

57、电阻元件的复数模型 如图7.5(a)所示，在关联参考方向下，电阻r r中的电流 与电阻两端电压 的关系为 若 则 可得在关联参考方向下， 是同频率，同 相的一对正弦变量，相量运算关系为 用有效值表示为 r+ur-(a)irr)(rrmii或)(rrmuu或+-(b)图7.5rirurrriure)cos(tjrmirmreitiirereretjjrmtjrmtjrmreerieireiruire)cos()cos(tjrmirmirmeututrirriu 与rmrmirurriurmrm0rriu0 bupt press2 电容元件的复数模型电容元件的复数模型 如图7.6(a)中电容电流与

58、电容两端电压在关联参考方向下，关系应满足： 若 则 在关联参考方向下， 为同频率的正弦变量；在相位关系上， 超前 。其幅度间满足 的关系。 c+uc-(a)ic 1/(jc)(ccmii或)(ccmuu或+-(b)图7.6dtduciccre)cos(tjcmucmceutuu)90cos(rerere190ucmtjjjcmtjcmtjcmcctcueeeuceucjeudtdcdtduciure)cos(tjcmicmeiticciu与cicu90)(cccmcmcuicui或 bupt press 电容正弦特性运算式（7-10）中的复数部分，即 由此可得 可见电容元件的复数模型为 ，见图

59、7.6(b)所示。 上式称为电容元件的复数欧姆定律，它表明了正弦电路中电容元件的电压相量与电流相量的正比关系。比例系数 称为复数电容抗，简称复数容抗，记作 ，当f的单位为hz，c的单位为f时， 的单位为 。 复数容抗的模值 称为容抗。容抗的大小与 成反比关系。当 时，相当于直流信号，则容抗为 ，电容呈现开路状态，也就是电容不能通过直流电流。当 时，电容相当于一条短路线。 cmcmucji90119011ccjiuccjiucccmcm或cj1cj1cjxcjxcj1cxc10 bupt press3 电感元件的复数模型电感元件的复数模型 在图7.8所示的电感元件中，在关联参考方向下，电感中电流

60、与电感两端电压的关系为 在正弦情况下， 若 则l+ul-(a)il jl)(llmii或)(llmuu或+-(b)图7.8dtdilullre)cos(tjlmilmleitiire)cos()90cos(retjlmulmilmtjlmtjlmleututlieiljeidtdlu bupt press 复数关系为： 由此可得出电感元件的复数模型为 ，见图7.8(b)所示，上式称为电感的复数欧姆定律，其中 称为复数电感抗，简称复数感抗，记为 ，在f f以hzhz为单位，l l以h h为单位时，复数感抗也是以为 单位。复数感抗的模值为 称为感抗，而幅角称为感抗角，在关联参考方向下，电感电压超前