数值分析幂法课程设计用幂法求矩阵的最大特征值

1、课 程 设 计 报 告课程名称 计算方法课程设计 课题名称 用幂法求矩阵的最大特征值 专 业 班 级 学 号 姓 名 指导教师 目录1.设计内容与设计要求32. 问题的描述及算法设计43. 算法的流程图44. 算法的理论依据及其推导45. 相关的数值结果86. 数值计算结果的分析9 7.附件10 8.总结12一、设计内容与设计要求1设计内容： 对课程计算方法中的常见算法进行综合设计或应用（具体课题题目见后面的供选题目）。2设计要求：l 课程设计报告正文内容a. 问题的描述及算法设计；b. 算法的流程图（要求画出模块图）；c. 算法的理论依据及其推导；d. 相关的数值结果（通过程序调试)，；e.

2、 数值计算结果的分析；f. 附件（所有程序的原代码，要求对程序写出必要的注释）。l 书写格式a要求用a4纸打印成册b正文格式：一级标题用3号黑体,二级标题用四号宋体加粗,正文用小四号宋体;行距为22。c正文的内容:正文总字数要求在3000字左右（不含程序原代码）。d封面格式如下页。l 考核方式指导老师负责验收程序的运行结果，并结合学生的工作态度、实际动手能力、创新精神和设计报告等进行综合考评，并按优秀、良好、中等、及格和不及格五个等级给出每位同学的课程设计成绩。具体考核标准包含以下几个部分：a平时出勤 （占10%）b系统需求分析、功能设计、数据结构设计及程序总体结构合理与否（占10%）c程序能

3、否完整、准确地运行，个人能否独立、熟练地调试程序（占40%）d设计报告（占30%）注意：不得抄袭他人的报告（或给他人抄袭），一旦发现，成绩为零分。e独立完成情况（占10%）。l 课程验收要求a判定算法设计的合理性，运行相关程序，获得正确的数值结果。b回答有关问题。c提交课程设计报告。d提交软盘（源程序、设计报告文档）。e依内容的创新程度，完善程序情况及对程序讲解情况打分。3、进度安排1、 班级： 信息与计算科学：0501、0502、05032、 主讲教师：聂 存 云3、 辅导教师：聂 存 云、赵 钍 焱4、 时间安排：第 16 周 星期一 8时：00分16时：30分 星期三 8时：00分16时

4、：30分 星期五 8时：00分16时：30分 星期天 8时：00分11时：00分二、 问题的描述及算法设计 对于给定矩阵a用幂法求解矩阵a的最大特征值；本算法用于求矩阵按模最大的特征值及其相应特征向量。程序执行后，先通过键盘输入矩阵、迭代初值向量、精度控制和迭代允许最大次数，程序即可给出每次迭代的次数和对应的迭代特征值、特征向量及误差序列，它们都按10位有效数输出。其中最后输出的结果即为所求的特征值和特征向量序列。如果迭代超出次还没有求出满足精度的根则输出迭代超限提示，此时可以根据输出序列判别收敛情况。三、 算法的描述；（1）输入矩阵、初始向量，误差；（2）；（3）计算；（4）；（5）；（6）

5、如果,则显示特征值和对应的特征向量),终止； （7）,转（3）注：如上算法中的符号表示取向量中绝对值最大的分量。本算法使用了数据规范化处理技术以防止计算过程中出现益出错误。四、 算法的理论依据及其推导； 幂法是通过求矩阵特征向量来求出特征值的一种迭代法.其基本思想是:若我们求某个n阶方阵a的特征值和特征向量,先任取一个初始向量x(0),构造如下序列: x(0) ,x(1) =ax(0) ,x(2) =ax(1) , x(k) =ax(k+1) , 当k增大时,序列的收敛情况与绝对值最大的特征值有密切关系,分析这一序列的极限,即可求出按模最大的特征值和特征向量. 假定矩阵a有n个线性无关的特征向

6、量.n个特征值按模由大到小排列: 1=2=n 其相应的特征向量为: v1 ,v2 , ,vn 它们构成n维空间的一组基.任取的初始向量x(0)由它们的线性组合给出 x(0)=a1v1+a2v2+anvn 由此知,构造的向量序列有 x(k) =ax(k-1) = a2x(k-2) =akx(0) = a11kv1+a2 2kv2+annkvn 下面按模最大特征值1是单根的情况讨论: 由此公式(5)可写成 x(k) = 1k (a1v1+a2 (2/1)kv2+an(n/1)kvn ) 若a10，由于|i/1 |1 (i2),故k充分大时， x(k) = 1k (a1v1+k) 其中k为一可以忽略

7、的小量，这说明x(k)与特征向量v1相差一个常数因子，即使a1=0，由于计算过程的舍入误差，必将引入在方向上的微小分量，这一分量随着迭代过程的进展而逐渐成为主导，其收敛情况最终也将与相同。特征值按下属方法求得： 1 xj(k+1)/ xj(k) 其中xj(k+1)， xj(k)分别为x(k+1)，x(k)的第j各分量。 实际计算时，为了避免计算过程中出现绝对值过大或过小的数参加运算，通常在每步迭代时，将向量“归一化”即用的按模最大的分量 max |xj(k)| 1jn去除x(k)的各个分量,得到归一化的向量y(k),并令x(k+1) = ay(k)由此得到下列选代公式 : y(k) = x(k

8、)/ x(k) x(k+1) = ay(k) k=0,1,2, 当k充分大时,或当 x(k)- x(k+1)时, y(k)v1 max |xj(k)| 1 1jn五、 相关的数值结果（通过程序调试)，； 六、 数值计算结果的分析；对于同一个矩阵，给定不同的处值及精度计算出的结果如下七、 附件 #include #include#include#define eps 1e-6int main() float maxline(float* p); float matrix1616 = 0 , x16 = 0 , init16 = 0 , fore16 = 0; float maxcv = 0 ,

9、eps2 = 100; int i = 0 , j = 0 , t = 0 , col = 0; printf(the matrixs col is : ); scanf(%d , &col); printf(the matrix is n); for(i = 0 ; i col ; i +) for(j = 0 ; j col ; j +) scanf(%f , &matrixij); printf(the init is n); for(i = 0 ; i col ; i +) scanf(%f , &initi); for(j = 0 ; j 10 ; j +) maxcv = maxl

10、ine(init); for(i = 0 ; i col ; i +) xi = (initi / maxcv); for(i = 0 ; i col ; i +) printf(%.4ft , initi); printf(t%.4ftt , maxcv); for(i = 0 ; i col ; i +) printf(%.4ft , xi); for(i = 0 ; i col ; i +) forei = initi; initi = 0; for(t = 0 ; t col ; t +) initi += (matrixit * xt); if(fabs(initi - forei) eps2) eps2 = fabs(initi - forei); printf(n); if(eps2 eps) break; getch();float maxline(float* p) float max = 0; int i = 0; for(i = 0 ; *(p + i) != 0 ; i +) if(max *(p + i) max = *(p + i); return max;八，总结 在这次的编程练习中我学到了很多东西，在多次的c编程中我学会了种种不同的有效