睢宁县菁华高级中学高三上学期学情调研考试（12月）数学试题及答案

1、菁华高级中学2014届高三上学期学情调研考试（12月）数学试题 (总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1.已知全集,集合,则= .2.已知复数的实部为,虚部为,则(为虚数单位)的模为 .3.某学校为了解该校1200名男生的百米成绩（单位：秒），随机选择了50名学生进行调查.下图是这50名学生百米成绩的频率分布直方图.根据样本的频率分布,估计这1200名学生中成绩在（单位：秒）内的人数大约是 . 4.已知张卡片（大小,形状都相同）上分别写有,从中任取两张,则这两张卡片中最大号码是3的概率为 .5.

2、按如图所示的流程图运算,则输出的 . 6.已知向量, 若,则实数= .7.已知数列成等差数列,其前项和为,若,则的余弦值为 .8.设为两个不重合的平面，为两条不重合的直线，现给出下列四个命题：若,则；若，则；若则；若则.其中,所有真命题的序号是 .9.已知函数,满足,则函数的图象在处的切线方程为 .10.在中,则的面积为 .11.已知椭圆和圆,若上存在点,使得过点引圆的两条切线,切点分别为,满足,则椭圆的离心率的取值范围是 .12.设,其中为过点的直线的倾斜角,若当最大时,直线恰好与圆相切,则 . 13.已知函数恰有两个不同的零点,则实数的取值范围是

3、 .14.已知对于任意的实数,恒有“当时,都存在满足方程”,则实数的取值构成的集合为 .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15(本小题满分14分)已知角、是的内角，分别是其对边长，向量，. (1)求角的大小； (2)若,求的长.16(本小题满分14分)如图，在四面体中,是的中点(1)求证:平面；(2)设为的重心,是线段上一点,且.求证:平面.17(本小题满分14分)如图,有三个生活小区(均可看成点)分别位于三点处,到线段的距离,(参考数据: ). 今计划建一个生活垃圾中转站,为方便运输,准备

4、建在线段(不含端点)上. (1) 设,试将到三个小区距离的最远者表示为的函数,并求的最小值；(2) 设,试将到三个小区的距离之和表示为的函数,并确定当取何值时,可使最小?18(本小题满分16分)如图,是椭圆的左、右顶点,椭圆的离心率为,右准线的方程为. (1)求椭圆方程； (2)设是椭圆上异于的一点,直线交于点,以为直径的圆记为. 若恰好是椭圆的上顶点,求截直线所得的弦长;设与直线交于点,试证明:直线与轴的交点为定点,并求该定点的坐标.19(本小题满分16分)已知数列是等差数列,数列是等比数列,且对任意的,都有. (1)若的首项为4,公比为2,求数列的前项和; (2)若. 求数列与的通项公式;

5、试探究:数列中是否存在某一项,它可以表示为该数列中其它项的和？若存在,请求出该项；若不存在,请说明理由20(本小题满分16分) 已知函数,其中.(1) 当时,求函数在处的切线方程;(2) 若函数在区间(1,2)上不是单调函数,试求的取值范围;(3) 已知,如果存在,使得函数在处取得最小值,试求的最大值.数学附加试题 (总分40分，考试时间30分钟)21选做题 在a、b、c、d四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.a.（选修41：几何证明选讲）在直角三角形中,是边上的高, ,分别为垂足,求证：.b（选修42：矩阵与变换）已知曲线,现将

6、曲线绕坐标原点逆时针旋转,求所得曲线的方程.c（选修44：坐标系与参数方程）在极坐标系中,已知圆的圆心坐标为,半径为,试写出圆的极坐标方程.d.（选修45：不等式选讲）已知为正数，求证：.必做题 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.22.如图,在四棱锥中,底面,底面为梯形,点在棱上,且(1)求证：平面平面；(2)求平面和平面所成锐二面角的余弦值23.已知数列满足,试证明: (1)当时,有；(2).数学参考答案又，,则由正弦定理,得=,即4 14分16证明:(1)由 3分同理，,又,平面,平面7分(2)连接ag并延长交cd于点o,连接eo

7、.因为g为的重心,所以,又,所以 11分又,所以平面11分因为,令,即,从而,当时,;当时, . 6分 又直线的方程为,故圆心到直线的距离为 8分 从而截直线所得的弦长为10分 证:设,则直线的方程为,则点p的坐标为, 又直线的斜率为,而,所以, 从而直线的方程为13分 令,得点r的横坐标为14分 又点m在椭圆上,所以,即,故, 所以直线与轴的交点为定点,且该定点的坐标为16分19.解: (1)因为,所以当时, ,两式相减,得,而当时,适合上式,从而3分又因为是首项为4,公比为2的等比数列,即,所以4分从而数列的前项和6分(2)设,则,所以,设的公比为,则对任意的恒成立 8分即对任意的恒成立,

8、又,故,且10分从而11分假设数列中第k项可以表示为该数列中其它项的和,即,从而,易知 (*)13分又,所以,此与(*)矛盾,从而这样的项不存在16分20解:(1)当时,则,故2分又切点为,故所求切线方程为,即4分(2)由题意知,在区间(1,2)上有不重复的零点,由,得,因为,所以7分令,则,故在区间(1,2)上是增函数,所以其值域为,从而的取值范围是9分 (3), 由题意知对恒成立,即对恒成立,即 对恒成立 11分 当时,式显然成立; 当时,式可化为 , 令,则其图象是开口向下的抛物线,所以 13分 即,其等价于 , 因为在时有解,所以,解得,从而的最大值为16分附加题21（a）证明：为直角三角