28.与等差数列相关的根式裂项模型

1、中国高考数学母题一千题(第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明与等差数列相关的根式裂项模型含根式的数列求和不等式的母题 与等差数列相关的裂项模型除分式模型外,还有常见的根式模型,由此可生成一类含根式的数列求和或求和不等式试题.为此,我们构造根式裂项模型如下.母题结构:己知an是公差为d的正项等差数列,则:()=(-);()=(-);()=-.母题解析:()由=(-);()由=(-);()由=-. 1.求和公式 子题类型:(2011年全国高考试题)设数列an满足a1=0,-=1.()求an的通项公式;()设bn=,记sn=,证明:sn1.解析:()由-=

2、1=nan=1-;()由an=1-bn=-sn=1-0时,sn0,yn0)是曲线cn上的点(n=1,2,).()试写出曲线cn在点pn处的切线ln的方程,并求出ln与y轴的交点qn的坐标;()若原点o(0,0)到ln的距离与线段pnqn的长度之比取得最大值,试求试点pn的坐标(xn,yn);()设m与k为两个给定的不同的正整数,xn与yn是满足()中条件的点pn的坐标,证明:|-|(s=1,2,).解析:()由y=nx2=2nx|x=2nxn切线ln:y-yn=2nxn(x-xn),即y=2nxnx-nxn2qn(0,-nxn2);()由o(0,0)到ln的距离与线段pnqn的长度之比=,当且

3、仅当2nxn=1,即xn=时,等号成立,此时yn=;()由xn=,yn=|-|=|-|-|(-)-|-|=|-|;又|-|-|-|-|+成立.故|-|.点评:关于有如下放缩不等式:2(-)2(-). 3.放缩思想 子题类型:(2008年福建高考试题)已知函数f(x)=ln(1+x)-x.()求f(x)的单调区间;()记f(x)在区间0,n(nn*)上的最小值为bn,令an=ln(1+n)-bn.(i)如果对一切n,不等式恒成立,求实数c的取值范围;(ii)求证:+ +-1.解析:()f(x)的定义域是(-1,+),(x)=-1=-f(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,+)上单调递减;()由

4、()知,f(x)在区间0,n单调递减bn=f(n)=ln(n+1)-nan=ln(1+n)-bn=n;(i)由-c(-)cc1.故c的取值范围是(-,1;(ii)令数列xn的前n项和sn=-1=-1,则xn=sn-sn-1=-(n1);而=(1-)(1-)(1-)(-)-+ +-1.点评:若an是公差为d的正项等差数列,则:(-)(-). 4.子题系列:1.(2008年上海交通大学保送生考试试题)数列an的通项公式为an=,则这个数列的前99项和s99= .2.(2003年复旦大学自主招生数学试题)已知数列an的前n项和为sn,an=.求s2003.3.(2008年全国高中数学联赛山东初赛试题

5、)对于实数x,x表示不超过实数x的最大整数.已知正数数列an满足a1=1,sn=(an+),其中,sn为数列an的前n项和.则+=( )(a)17 (b)18 (c)19 (d)204.(1992年全国高中数学联赛试题)求证:1617.5.(2011年全国高中数学联赛河北初赛试题)求证:n23时,总有21+3成立.6.(2006年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知数列ak定义如下:ak(k=1,2,),求证:()an+1; ()对任意的正整数n,都有-1成立.7.(2008年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知函数f(x)=ln(1+x)-x在区间0,n(nn*)上的最小值为bn,令an=ln(1+n)-bn,pk=(kn*),求证:p1+p2+pn-1. 5.子题详解:1.解:由an=-a1+a2+an=1-.2,解:由an=(-)sn=(1-).3,解:由sn=(an+)2sn=(sn-sn-1)+sn2-sn-12=1sn2=nsn=2(-)2(-)2(-1)+1+2(10-1)+=18,选(b).4,解:=2(-)2(-)1617.5,解:由=2=2(-)(k2)1+1+2(1-)=2=2(-)1+1+2(-)2n23.6,解:()令a=an+1=,作对偶式b=,由aba2ab=;令数列xn的前n项积=xk=,;()由akak+1=ak2(k+1)