河北省衡水中学2020高三上学期第二次调研考试(理数)

1、河北省衡水中学2020届高三上学期第二次调研考试数学（理科）本试卷分第i卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。共 4页，满分150分，考试时间120 分钟。第i卷（选择题共60分）、选择题（本题共 12小题，每小题5分，共 合题目要求的）60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符已知cosx3 口一，且一x,则 tanxsin x的值是2.3.4.3215b.815c.8153215已知a 0.23,ba. a b已知奇函数4a .3已知圆o:xlog2 0.3, cb. af (x)满足 f (x)23 b.32c bf (x 4),当c.x (0,1)时,3c.一4cf(x)cabx

2、.2 ,贝u f(log212)()3d.84与y轴正半轴的交点为m,点m沿圆0顺时针运动 三弧长达到点n,以z轴的正半轴为始边,on为终边的角记为，则sin3 at,31b.一25.函数f（x）2sinx,x （,0） （0,）的图象大致为6.一 在区间 一26如图是函数y sin（)0,0上的图象，将该图象向右平移m（m 0）个单位长度后，所得图象关于直线对称，则4的最小值为（）a . 一12b.一6c.一4a.充分不必要条件c.充要条件8.已知0,2,sin1 cos2b. 19.已知函数f(x)cos2 cos sin 22 2c- -3-d.2 23sin x cosx, g(x)是

3、f (x)的导函数，则下列结论中错误的个数是函数f (x)的值域与g(x)的值域相同；若x0是函数f(x)的极值点，则x0是函数g(x)的零点；把函数f (x)的图象向右平移 ,个单位长度，就可以得到函数g(x)的图象；函数f(x)和g(x)在区间上都是增函数.4 4b. 1c. 2d.cosx ,若存在实数xi ,x2, , xn满足0 xix2xn| f(x1)为 (a . 3f(x2)|)| f(x2) f (x3) | f(xn 1)f(xn)| 8,n 2,4,且n的最小值b.c. 5d.11 .已知函数f(x)12 .已知0,| |xf (xb.1|,x (2),x 2,在函数f

4、(x)邻两个交点的横坐标之差的绝对值为,2),则函数f(x) xf(x) 1的零点个数为( ),c. 5d. 4sin(x )与函数g(x)cos( x )图象的交点中，相一,一时,6 4函数f(x)的图象恒在x轴的上7 .已知函数 f(x) |x|(ex e x),对于实数 a,b,“a b 0” 是 “f(a) f(b) 0” 的()b .必要不充分条件d.既不充分也不必要条件方，则 的取值范围是()c.二、填空题(本题共第ii卷(非选择题共90分)4小题，每小题5分，共20分)13.已知曲线yx在点(xo, yo)处的切线平行于直线 2x y 214.已知定义域为r的函数f(x)满足f

5、(x) f (x),则不等式ex1f(x) f (2x 1)的解集15 .如图阴影部分是由曲线 y 2x2和x2 y2 3及x轴围成的部分封闭图形，则阴影部分的面积1bc16 .已知 abc的内角a, b, c的对边长a, b, c成等比数列，cos(a c) cosb -,延长至d ,若bd = 2 ,则4 acd面积的最大值为三、解答题(共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17 . (10 分)将函数y 3sin2x的图象向左平移 一个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 6倍(纵坐标不变)，得到函数f (x)的图象.求f (x)的单调递增区间;18.(2)若对任意

6、的x一,一,不等式| f (x) 2 2m | 3恒成立，求实数 m的取值范围.(12 分)已知 abc中，内角a, b, c的对边分别为22 .a, b, c,且 sin asin b sin a sin c.4 tsinc(1)求证：sin a;2cosa(2)若b为钝角，且 abc的面积s满足s2.(bsin a),求 a.19. (12分)已知函数 f(x) a sin x xcosx, x 0,一2(1)当 a 1 时，求证：f (x) 0;(2)如果f (x)0恒成立，求实数 a的最小值.20. (12 分)bcosc.在4abc中，角 a, b, c的对边分别为 a, b, c.

7、已知4acosa ccosb若a 4, abc的面积为j15,求b,c的值；(2)若sinb ksinc(k 0),且 abc为钝角三角形，求 k的取值范围.(12 分)22.已知函数f(x) e2x若f (x)在区间(0,(2)若f (x)在区间(0,(12 分)已知函数f(x)求证:f(x)(2)若 12ax ,a r.+丐上单调递增，求 a的取值范围;+oo)上存在极大值 m ,证明:a(ln x 1)(x 1)2.x ;求证：01 ,一 ，的图象与x轴相切, x2g(x) yg(x) (b 1) logbxx2 12数学(理科)参考答案一、选择题1. b2. d3. a10. c11.

8、 b12. d二、填空题13. 114. x | x 1三、解答题4. d5. d15.6. b 7. c8. a 916.317.解：(1)将函数y 3sin2x的图象向左平移 至个单位长度，可得y 3sin 2x 一 3的图象，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到f(x) 3sin x 的图象， 3令 2k x 2k (k z), 232.一 5求得 2k x 2k (k z), 665可得函数f ( x )的单调递增区间为2k ,2k- ,k z.(5分)66(2)因为x故当x 32时，f (x)取得最大值3；3当x时，f(x)取得最小值一.362因为不等式| f

9、(x) m| 3恒成立，所以 m 3 f (x) m 3.一一一3所以3 m 3,且 -m3,23 3求得0 m 一,即实数m的取值范围为0,- .(10分)2222 -18. (1)证明： abc 中，sin asin b sin a sin c,所以 ab a2 c2,即 c2 a2 ab,所以cos a.222b c a2bc,2b ab b a sin b sin a2bc 2c 2sinc所以sincsin2c2cosasin b sin a2c(wb a2r2rab a2b aasin a, 2r2r 2r其中r为 abc外接圆的半径，即证得 网邑 sina. (5分)2cosa2

10、(2)解：因为 abc的面积s满足s (bsin a),sin c2sinb一 1o . oc即一 bcsina b sin a,所以 sin a 一22b又 cosasinc2sin a所以sin acosasinaa,所以cosa sin bsin b.由b为钝角，得b a. (8分)2又abc ，所以a ac 2解得c 2 a, 2所以sin c2 cos asin 2a22 cos acos2a2 cos asin a,所以 cos2a sin 2a,所以 tan2a 1.又a为锐角，所以2a (0,),所以2a 一,所以a .(12分)4819. (1)证明：因为 a 1,所以 f(

11、x) sin x xcosx,则 f (x) xsin x.f (x) 0恒成立，所以f(x)在区间0,一上单调递增,2所以 f (x)f(0) 0.(5分)(2)解: 因为 f (x) a sin x x cosx, x 0,1 , 2(6分)所以 f (x) (a 1)cosx xsin x.当a=l 时，由(1)知,f (x) 0 对 x0,恒成立;2当1时，因为x 0,所以2f (x) 0 ,因此f(x)在区间0,上单调递增,2所以f(x) f(0) 0对任意x 0,-恒成立;2当 a 1 时，令 g(x) f (x),贝u g (x) (2 a)sin x xcosx.因为x 0,一

12、,所以g (x) 0恒成立, 2因此g(x)在区间0, 上单调递增，且g(0) a 1 0, g - 0,222所以存在唯一 20,-使彳#g(x0),即“。) 0,所以当x (0,%)时，f (x) 0 ,所以f(x)在区间(0, x。)上单调递减，所以f(x) f (0) 0,不合题意.(11分)综上可知，a的最小值为1.(12分)20.解： abc 中，4acosa ccosb bcosc,所以 4sinacosa sin ccosb sin bcosc sin(c b) sin a,12-15所以 cos a ,所以 sin a v1 cos a .(2 分)44(1)因为 a = 4

13、,所以 a2b2 c2 2bccos a b2 c2 bc 16 .一 .一一 .11,15又 abc的面积为s abcbcsin a bc-v 15 ,所以 bc 8.abc224由组成方程组，解得b 4,c 2或b 2,c 4.(6分)(2)因为 sin b ksin c(k 0),所以 b kc ,所以a2b222c 2bccos a (kc)2kcc -k241 c2.(8分)当b为钝角时,22b2,即 k21k 221 k2,解得4；当c为钝角时,22a bc2,即 k21k 2k2 1,解得所以 abc为钝角三角形,k的取值范围为0,4(4,).(12 分)21 . (1)解：解法

14、1:因为f(x)2x 2e ax ,所以f (x) 2e2x2ax.因为f (x)在区间(0+丐上单调递增,所以f (x) 0 在(0+oo)上都成立,2xe ,.丫在(0, +8)上都成立.(2分)2x2x 2xg(x)/，则 g (x) xe 2 e x(2x 1)e2xx故当所以解法1 ,，、，、一、x 一时，g (x) 0, g(x)在区间21 ,一、12时，g (x) 0, g(x)在区间 21 ，0,-上单调递减;2上单调递增1x 一时，g(x)取得极小值也是最小值, 2a 2e所以a的取值范围为(,2e.2：当a 0时，函数f (x)其值为(5分)e2x ax2在区间(0,2e.

15、+丐上单调递增;0时，f (x) 2e2x 2ax,令 h(x) 2e2x 2ax,则 h(x)4e2x 2a.(1 分)若a 2,则x 0时，h(x)4 2a 0,则h(x)在(0, +川 上单调递增,此时，h(x) h(0) 2 0,即f (x) 0,则f (x)在(0, +8)上单调递增;1 a若 2,令 h(x) 4e2x 2a 0,得 x -ln-.2 21 a1a当0 x ln时，h (x) 0,h(x)在区间 0, ln 上单倜递减；2 222,1a1a当x ln时，h (x) 0, h(x)在区间 一ln ,上单倜递增，2222- a1 a1nxaa则当 xln-时，hmm(x

16、)2e 2aln aa ln .2 222一 a当 a aln- 0,即 2 a 2e时，h(x) 0,即 f (x) 0.则f (x)在(0, +8)上单调递增.故2 a 2e综上所述，所求 a的取值范围为(,2e.(5分)(2)证明：由(1)知，当a 2e时，f(x)在(0, +00)上单调递增，则不存在极大值.(6分)当 a 2e时，1 1 ln a, ln a 1 ln a .2 2 22 2由(1)知函数f(x)在区间0,1lna上单调递减，在区间 1lna, 上单调递增. 2222一1又 f (0) 2 0, f 2e a 0,2f (ln a) 2e2lna 2aln a 2a(

17、a ln a) 0 (易证明 a- ln a 0),故存在 x10,1 使得 f (x1) 2e2x1 2ax1 0.21存在 x2，ln a ,使得 f (x2) 0.2则当 x (qxj 时，f (x) 0, x (x1,x2)时，f (x) 0,x (x2,)时，f (x) 0.故f (x)在区间(qx)上单调递增，在区间(x1,x2)上单调递减，在区间(x2,)上单调递增.所以当x x1时，f(x)取得极大值，即 m e2x1 ax2.(10分)一1 一.一由 0x1一，得 1x10, x11 x1,2由 2e2x1 2ax1 0 ,得 e2x1 ax1,故 me2xi ax12ax1

18、2ax1ax1(1x1)axixi所以m a.(12分)4. a 122.证明：(1)由题意得f (x).x x设f(x)的图象与x轴相交丁点(x0,0),1a(lnxo1) qf (x0)0,x0则 ，,即0f(%) 0, a 1一0，x。x。解得a x0 1.(2分)所以f(x)in x(x x1)等价于in x1.,1设 h(x) in x x 1 ,则 h (x) 1, x当0 x 1时，h (x) 0,h(x)单调递增；当x 1时，h(x) 0,h(x)单调递减,所以 h(x) h(1) 0,即 inx x 1,所以 f(x) j1-(5 分)x(2)先证：g(x) 0,1in x - 1设 t(x) x(x 1),则 t(x) 2.inxin2 x1. _勿知，当x 1时，inx - 1 0,从而有t (x) 0,x所以t(x)在(1, +8)上单调递增.又 1x2 b2一 x2 1,从而