数列知识点总结及题型归纳,推荐文档

1、数列一、数列的概念(1)数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作an ,在数列第一个位置的项叫第 1项(或首项)，在第二个位置的叫第2项，序号为 n的项叫第n项(也叫通项)记作 an； 数列的一般形式：ai,a2,a3,，an,，简记作an。(2)通项公式的定义：如果数列 an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如：1 , 2 , 3 , 4, 5 ,：1口 h.2345说明:an表示数列，an表示数列中的第n项，an= f n表示数列的通项公式;1.n 2k 1 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，an

2、= ( 1)n=,(k z)；1,n 2k不是每个数列都有通项公式。例如，1, 1.4, 1.41 ,1.414, (3)数列的函数特征与图象表示：从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集n (或它的有限子集)的函数 f(n)当自变量n从1开始依次取值时对应的一系列函数值f(1), f(2), f(3),，f(n),.通常用an来代替f n ,其图象是一群孤立点。(4)数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关 系分：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？(1) 1, 2, 3, 4, 5,

3、6,(2)10, 9, 8, 7, 6, 5,s (n 1)sn sm(n2)(3) 1,0, 1,0, 1,0,(4)a, a, a, a, a,(5)数列 an的前n项和sn与通项an的关系：an二、等差数列(一)、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为an an 1 d(n 2)重an 1 an d(n 1)例：等差数列an 2n 1 , an an 1 (二)、等差数列的通项公式：an a1 (n 1)d ；说明：等差数列(通常可称为a p数列)的单

4、调性：d 0为递增数列，d 0为常数列，d 0为递减数列。例：1.已知等差数列 an中，a7 a9 16, a4 1,则a12等于()a. 15 b . 30 c . 31 d . 642. an是首项a1 1,公差d 3的等差数列，如果 烝 2005,则序号n等于(a) 667(b) 668(c) 669(d) 6703. 等差数列an 2n 1,bn2n 1 ,则an为 bn为 (填“递增数列”或17“递减数列”）（三）、等差中项的概念:定义：如果a, a, b成等差数列，那么 a叫做a与b的等差中项。其中 aa ba, a, b成等差数列a ab 即：2an1 an an 22(2ana

5、n m )例：1 .（全国i）设an是公差为正数的等差数列,a. 120. 105名a a2 a15c. 90 daa2a3. 7580,则a11a2a13（四）、等差数列的性质:(1)在等差数列an中,从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项;(2)在等差数列an中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列；(3)在等差数列an中,对任意mn , an am(nm)ddanam /(mn)；(4)在等差数列an中,p,p q,则aman ap（五）、等差数列的前n和的求和公式:snn(a an)na1n(n-n2(a1-) no22(sn an2 bn（a,b为常数）是等差数列递推公式：sn(a

6、an)n2(a man (m 1) )n例：1.如果等差数列 an中,a3a4a512,那么aa2a7(a) 14(b) 21(c) 28(d) 352.（湖南卷文）设sn是等差数列an的前n项和，已知a23a6 11,则s7等于（）a. 13633.（全国卷i）设等差数列 an的前n项和为sn,若s9 72 ,则a2 a4a9 =4.若一个等差数列前 3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为a.13 项b.12 项c.11 项390,则这个数列有（d.10 项5.已知等差数列an的前n项和为sn ,若&221,则 a2 a5 a86.（全国卷h）设等差数列an的前n项和为sn,若

7、 a5 5a3 贝u s57.已知an数列是等差数列,a10 10 ,其前10项的和&070,则其公差d等于（）c.-d. 38.（陕西卷文）设等差数列an的前n项和为sn 若 a6 s3 12 则 anss=7, s15= 75, tn为数列 nan9.（全国）设 an为等差数列，&为数列 an的前n项和，已知 前n项和，求tn。（6） .对于一个等差数列:（1）若项数为偶数，设共有 2n项，则s偶 s奇 nd ;（2）若项数为奇数，设共有 2n 1项，则s奇 s偶 an a中；1 .一个等差数列共 2011项，求它的奇数项和与偶数项和之比 2 .一个等差数列前 20项和为75,其中奇数项和

8、与偶数项和之比1: 2,求公差3 .一个等差数列共有10项，其偶数项之和是 15,奇数项之和是25,则它的首项与公差分别是2（7） .对与一个等差数列，sn,s2n sn,s3n s2n仍成等差数列。例：1.等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为（）a.130b.170c.210d.2602.一个等差数列前n项的和为48,前2 n项的和为60,则前3n项的和为10,则前110项和为3.已知等差数列 an的前10项和为100,前100项和为4 .设sn为等差数列 an的前n项和，s414, s10s730,贝1j s9 =5 .（全国ii ）设&是等差数列 an的前

9、n项和，若s3s6s6 =s12d.a. a10（8） .判断或证明一个数列是等差数列的方法:定义法：an是等差数列中项法:2an 1 an an 2(n n )an是等差数列通项公式法:an kn b(k,b为常数)是等差数列前n项和公式法:sn an2 bn (a, b为常数)an是等差数列例：1.已知数列an满足an ana.等差数列 b.等比数列2.已知数列an的通项为an2, c.则数列an为a.等差数列3 .已知一个数列a.等差数列4 .已知一个数列b.等比数列2nc.an的前n项和s b.等比数列 c. an的前n项和s既不是等差数列也不是等比数列5,则数列an为（） 既不是等差

10、数列也不是等比数列2n2 4,则数列an为（既不是等差数列也不是等比数列22n2,则数列*口为（）d.d.d.无法判断无法判断无法判断a.等差数列b.等比数列c.既不是等差数列也不是等比数列d.无法判断5 .已知一个数列an满足an 2 2an 1 an 0 ,则数列an为()a.等差数列b.等比数列c.既不是等差数列也不是等比数列d.无法判断6 .数列 an 满足 a1 =8, a42,且 an 2 2an 1 an 0 ( n n)求数列an的通项公式；7 .(天津理，2)设&是数列an的前n项和，且 s=n2,则an是()a.等比数列，但不是等差数列b.等差数列，但不是等比数列c.等差数

11、列，而且也是等比数列d.既非等比数列又非等差数列(九).数列最值(1) a10, d 0时，sn有最大值；a10, d 0时，sn有最小值；2(2) sn最值的求法：若已知 sn, sn的最值可求二次函数 sn an bn的最值;可用二次函数最值的求法(nn)；或者求出中的正、负分界项，即:若已知an ,则sn最值时n的值(n n )可如下确定anan 1an0an 10项的和最大。例：1.等差数列 an中，a1 0, s9 s12,则前2 .设等差数列an的前n项和为sn ,已知a3 12, s12 0, s13 0求出公差d的范围，3 .(上海)设 an (ncn*)是等差数列,( )a.

12、dv0b.a7=0c.s9s5一，一一n 984 .已知数列 an的通项398 (nn % 99指出s1, s2, , s12中哪一个值最大，并说明理由。s是其前n项的和，且 svs,则下列结论错误 的是 d.s6与s7均为sn的最大值n )，则数列 an的前30项中最大项和最小项分别是 5.已知an是等差数列，其中a131 ,公差d 8。(1)数列an从哪一项开始小于0?(2)求数列an前n项和的最大值，并求出对应 n的值. (n 1)(十).利用an,求通项.& & 1 (n 2)1 .数列an的前n项和sn n2 1.（1）试写出数列的前5项；（2）数列劣是等差数列吗？ （ 3）你能写出

13、数列an的通项公式吗？2 .设数列an的前n项和为9=2n2,求数列an的通项公式；3 .（安徽文）设数列an的前n项和sn n2,则a8的值为（）(a) 15(b) 16(c) 49(d) 64，求a2, a3, a4的值及数列an14、北卷)数列an的刖n项和为3,且a1=1, an 1- sn, n=1, 2, 3,3的通项公式.三、等比数列等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数* * * * * *列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q 0）,即：an 1 - an q（q 0）（一）、递推关系与通项

14、公式递推关系：an 1 anq通项公式：ana1 qn 1推广：an am qn m1 .在等比数列 an中，a1 4,q 2,则an 2 .在等比数列 an中，a7 12,q 3/2，则a19 .3 . （07重庆文）在等比数列an中，a2=8, a1 = 64,则公比0为（）（a） 2（b） 3（c） 4（d） 84 .在等比数列an中，a22 , a5 54,则a8=5 .在各项都为正数的等比数列an中，首项a1 3,前三项和为21,则a3 a4 a5（）a 33 b 72 c 84 d 189（二）、等比中项：若三个数 a,b,c成等比数列，则称b为a与c的等比中项，且为b 右 注：b

15、2 ac是成 等比数列的必要而不充分条件.例：1. 2 j3和2 j3的等比中项为（）(a)1(b) 1(c) 1(d)22.（重庆卷文）设an是公差不为0的等差数列,ai2且ai,a3,a6成等比数列，则an的前n项和sn =2 r2“ n 7nn 5na. 7 -bl. y c.2n 3n242d. n n（三）、等比数列的基本性质,1. (1)若m n p q,贝i am anap aq (其中 m,n, p,q n ) qn m a-，an2 an m an m （n n ） a m（3） an为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.（4） an既是等差数列又是等比数列an是各

16、项不为零的常数列例：1 .在等比数列 an中，a1和a10是方程2x2 5x 1 0的两个根，则a4 a7 （）5,2_11(a) -(b)(c) -(d)-22222 .在等比数列 an ,已知a15, a9a10 100 ,则a18 =3.等比数列an的各项为正数，且 a5a6 a4a7 18,则log 3 a1log 3 a2 llog3 a10a . 12 b . 10 c . 8 d . 2+|og354.（广东卷）已知等比数列an满足an0, n 1,2, l 且 a5 a2n 502n2 (n 3),则当n 1时,log 2 a log 2 a3 l log 2 a2n 1一 一

17、，,、2ca. n(2n 1) b. (n 1) c. n d.(n 1)2（四）、等比数列的前 n项和,snna (q 1)a1(1 qn)a anq(q 1)1 q 1 q例:1 .已知等比数列an的首相a15 ,公比q 2 ,则其前n项和sn 2 .(北京卷)设 f (n) 2 24 27 210 l23n 10(n n),则 f(n)等于().2 n2 n 12 n 32 n 4a. -(81)b. y(81) c . -(81) d . -(81)3 .(全国文，21)设等比数列 an的前n项和为s,若s3+s6=2s9,求数列的公比 q；（五）.等比数列的前n项和的性质若数列an是

18、等比数列，sn是其前n项的和,sk, s2ksks3ks2k成等也数列.例：1.(辽宁卷)设等比数列 an的前n项和为sn,若s6s3 =3 ,则s9sa. 2 b.c.d.32. 一个等比数列前n项的和为48,前2 n项的和为60,则前3 n项的和为()a. 83 b108 c . 75 d . 63则s3m3 .已知数列an是等比数列，且 sm 10, s2m 30,(六)、等比数列的判定法(1)定义法：亘q (常数)an为等比数列；an 2(2)中项法：an 1an an 2 (an 0)an为等比数列；(3)通项公式法：an k qn (k,q为常数)an为等比数列；(4)前n项和法：

19、sn k(1 qn) (k,q为常数)an为等比数列。snk kqn (k,q为常数)an为等比数列。例：1.已知数列an的通项为an 2n,则数列an为()a.等差数列b.等比数列c.既不是等差数列也不是等比数列d.无法判断22 .已知数歹u an满足an 1an an 2(an 0),则数列an为()a.等差数列b.等比数列c.既不是等差数列也不是等比数列d.无法判断3 .已知一个数列an的前n项和sn2 2n 1 ,则数列an为()a.等差数列b.等比数列c.既不是等差数列也不是等比数列d.无法判断四、求数列通项公式方法(1).公式法(定义法)根据等差数列、等比数列的定义求通项例：1已知

20、等差数列an满足：a37,a5 a726,求a0;2 .等比数列an的各项均为正数，且 2al 3a2.2- .1, a3 9a2a6,求数列an的通项公式3 .已知数列an满足a1 2, a2 4且an 2 an2an 1( n n ),求数列an的通项公式;n 14 .已知数列an满足a1 2,且an1 52(an 5n) ( n n ),求数列an的通项公式;15.数列已知数列 an满足a -,an 4an 1 1(n 1).则数列 an的通项公式= 2(2)累加法1、累加法适用于：an i an f(n)a2ai若 ani anf(n)(n 2),则f(1) f(2) lan 1 an

21、 f (n)n两边分别相加得an 1 af (n)k 11例：1.已知数列an满足a-, 21an 1 an 2，求数列an的通项公式。4n 12 .已知数列an满足an 1an 2n 1, a1 1 ,求数列an的通项公式。3 .已知数列an满足an 1an 2 3n 1, a1 3,求数列an的通项公式。(3)累乘法适用于：an 1f(n)an若包f(n),则 a2 f(1),a3 ana1a2f(2),l l 4anf (n)n两边分别相乘得，a a1f(k)例：1.已知数列an满足an 1ak 12(n 1)5n烝，a1 3,求数列an的通项公式。2.已知数列an满足a1nn 1an，求 an。3.已知 a13 , an 13n 1- an3n 2(n1),求 an。(4)待定系数法适用于 an 1 qan f (n)例：1.已知数列an中，a11,an 2an 1 1(n 2),求数列 an的通项公式。2.(重庆，文,14)在数列an中，若a11,an 1 2an 3(n 1),则该数列的通项an 3.已知数列 an满足a1 1,an 12an 1(n*、 n ).求数列an的通项公式;(5)递推公式中既有sns,n 1分析：把已知关系通过 an转化为数列 an或sn的递推关系，然后采用相应的方法求解。sn sn