川省高考数学试卷理科

1、2021 年四川省高考数学试卷理科一、选择题：每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 5分2021?四川1+x 7的展开式中x2的系数是D. 21A. 42B 35C 282. 5 分2021?四川复数A. 1B - 1CiD. - i3.5 分f 工R*2-9,3y - 3In k _ 22021?四川函数在x=3处的极限是A.不存在B等于6C等于3D.等于04. 5 分 2021?四川如图，正方形 连接 EC EDJ那么 sin / CED=A. BABCD勺边长为1,延长BA至 E,使AE=1,CD.5. 5分2021?四川函数J 一I .-1 的图象可能是aABCD

2、.6. 5分2021?四川以下命题正确的选项是A. 假设两条直线和同一个平面所成的角相等，那么这两条直线平行B. 假设一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，那么这两个平面平行C. 假设一条直线平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线平行D. 假设两个平面都垂直于第三个平面，那么这两个平面平行7. 5分2021?四川设云、帀都是非零向量，以下四个条件中，使 上二戈成立的充分条件是D.A.8. 5分2021?四川抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点 O,并且 经过点M2，y。.假设点M到该抛物线焦点的距离为3,那么|OM|=A.BC 4D.9. 5分2021?四川某公司生产甲、乙两

3、种桶装产品.生产甲产品 1桶需 耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元公司在生产这两种产品的计 划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克通过合理安排生产方案，从每天生 产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是A. 1800 元B 2400 元C 2800 元D. 3100 元10. 5分2021?四川如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面a内，过点 O作平面a的垂线交半球面于点A,过圆O的直径CD乍平面a成45角的平面与 半球面相交，所得交线上到平面 a的距离最大的点为B,该交线上的一点P满足

4、/ BOP=60，贝U A、P两点间的球面距离为A.BCD.11. 5 分2021?四川方程 ay=b2x2+c 中的 a，b，c - 3，- 2, 0，1, 2, 3，且a, b, c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有A. 60 条B 62 条C 71 条D. 80 条12. 5分2021?四川设函数f x =2x- cosx, an是公差为一的等差数列，8f a1+f a2+ +f a5=5n,那么訂2 -勺啊=A. 0BCD.二、填空题本大题共4个小题，每题4分，共16分.把答案填在答题纸的相应 位置上.13. 4 分2021?四川设全集 U=a, b, c, d，

5、集合 A=a, b, B=b, c, d, 那么？uaU ?uB =.14. 4分2021?四川如图，在正方体 ABC- ABCD中，M N分别是CD CC的中点，那么异面直线 AM与DN所成的角的大小是 .2 215. 4分2021?四川椭圆1的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点AB, 当AFAB的周长最大时， FAB的面积是.16. 4分2021?四川记X为不超过实数x的最大整数，例如，2=2 , =1 ,划 X-=-1 .设a为正整数，数列xn满足X1=a，耳时二n6 N* ，现有以下命题： 当a=5时，数列xn的前3项依次为5, 3, 2; 对数列xn都存在正整数k，当n?k时总有X

6、n=Xk; 当n?l时，“A诟-1； 对某个正整数k，假设xk+1xk，那么私二碍 .其中的真命题有 .写出所有真命题的编号三、解答题(本大题共6个小题，共74分解容许写出必要的文字说明，证明过程 或演算步骤)17. (12分)(2021?四川)某居民小区有两个相互独立的平安防范系统 (简称系统) A和B,系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为二和p.10(I)假设在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 一求p的值；50(n)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量E,求E的概率分布列及数学期望EE.18. ( 12 分)(2021?四川)函数 f (x) =6cos_

7、-：si n w x-3 (w 0)在一个周期内的图象如下图，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且 ABC为 正三角形.(I)求w的值及函数f (x)的值域；(n)假设 f(X。)=且 x(-)，求 f(X0+1)的值.5- 319. (12 分)(2021?四川)如图，在三棱锥 P-ABC中, Z APB=90，/ PAB=60， AB=BC=CA平面 PABL 平面 ABC(I)求直线PC与平面ABC所成角的大小；(n)求二面角B-AP- C的大小.20. ( 12分)(2021?四川)数列an的前n项和为S，且a2an=S+S对一切正整 数n都成立.(I)求a1，a2的值；10

8、&1 、(n)设a1 0，数列1 的前n项和为Tn，当n为何值时，Tn最大？并求出anTn的最大值.21. (12分)(2021?四川)如图，动点M到两定点A(- 1，0)、B(2, 0)构成 MAB 且Z MBA=Z MAB设动点M的轨迹为C.(I)求轨迹C的方程；(n)设直线y=-2x+m与 y轴交于点P,与轨迹C相交于点Q R,且|PQ| v|PR| , 求王的取值范围.pqII22. ( 14分)(2021?四川)a为正实数，n为自然数，抛物线 尸 +耳与x 轴正半轴相交于点A,设f (n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距.(I)用a和n表示f (n )；(n)求对所有n都有成立

9、的a的最小值；f 5 丿 +1 n +1川当。a 1时，比拟与 | - - - n(0)- f 的大小，并说明理由.2021年四川省高考数学试卷理科答案解析一、选择题：每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 5分2021?四川1+x 7的展开式中x2的系数是A. 42B 35C 28D. 21分析：由题设，二项式1+x 7,根据二项式定理知，X2项是展开式的第三项，由此得展开式中X2的系数是c,计算出答案即可得出正确选项解答：解：由题意，二项式1+x 7的展开式通项是Tr+1p；X故展开式中x2的系数是C2=21应选D点评：此题考查二项式定理的通项，熟练掌握二项式的性质是解

10、题的关键/ 1 _ - 22. 5 分2021?四川复数一=A. 1B - 1CiD. - i分析：由题意，可先对分子中的完全平方式展开，整理后即可求出代数式的值，选出正确选项 解答：解：由题意得，亠应选BD.等于0C等于3点评：此题考查复合代数形式的混合运算，解题的关键是根据复数的运算规那么化简分子IV-91 y3在x=3处的极限是A.不存在B等于6分析：对每一段分别求出其极限值，通过结论即可得到答案. 解答：=x+3;解：1 im f (x)x-3=I. :i3而 f x = In x 2 =0 .*即左右都有极限，但极限值不相等.故函数在x=3处的极限不存在.应选：A.点评：此题主要考察

11、函数的极限及其运算.分段函数在分界点处极限存在的条件是：两段的极限都 存在，且相等.4. 5分2021?四川如图，正方形 ABCD勺边长为1,延长BA至 E,使AE=1,连接 EC EDJ那么 sin / CED=A.BCD.考点：两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义.专题：计算题.分析：由题意，可得/ CEDM AED-Z AEC根据图象可得tan / AED=1 tan / AEC=，从而有tan /_丄CED=ta nZ AED-Z AECtanf AEC =_，再由三角函数的定义即可求出 sinlHanZAEDtanZAEC W2Z CED选出正确选项解答：解：由题设及图知Z

12、CEDZ AED-Z AEC又正方形ABCD勺边长为1,延长BA至 E,使AE=1二 tan Z AED=1 tan Z AEC=tanzAED tanAECH-tanzAEDtanzAEC,13: tan Z CED=ta n (Z AED-Z AEC由图知，可依EC所在直线为X轴，以垂直于EC的线向上的方向为丫轴建立坐标系，又Z CE 锐角，由三角函数的定义知，Z CED终边一点的坐标为3, 1，此点到原点的距离是 E故 sin Z CED= - = 1；10 10应选B点评：此题考查任意角三角函数的定义及两角各与差的正切函数，解题的关键是根据图象求出tanZ CED此题综合考查了正切的差

13、角公式及三角函数的定义，综合性强，知识性强，题后要注 意总结做题的规律5. 5分2021?四川函数l：， - :的图象可能是aD.A.考点：指数函数的图像变换.专题：计算题.分析：根据指数函数的图象变换以及指数函数的单调性和特殊点，分a 1和1a0两种情况，结合所给的各个选项，排除不符合条件的选项，从而得到结论.解答：解：函数尸穿-2冷山可以看成把函数y=ax的图象向下平移2个单位得到的.aa当a 1时，函数尸-丄冷0,捋=1是增函数，图象过点0, 1-丄，aa且1 1 丄0,故排除A、B.a当1 a0时，函数玄-丄且0*目工1是减函数，图象过点且1-丄V0,故排除C,a应选D.点评：此题主要

14、考查指数函数的单调性和特殊点的应用，指数函数的图象变换，表达了分类讨论的 数学思想，属于中档题.6. 5分2021?四川以下命题正确的选项是A. 假设两条直线和同一个平面所成的角相等，那么这两条直线平行B. 假设一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，那么这两个平面平行C. 假设一条直线平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线平行D. 假设两个平面都垂直于第三个平面，那么这两个平面平行考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系.专题：证明题.分析：利用直线与平面所成的角的定义，可排除 A;利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关 系可排除B;利用线面平行的判定定理和

15、性质定理可判断 C正确；利用面面垂直的性质可排除D解答：解：A,假设两条直线和同一个平面所成的角相等，那么这两条直线平行、相交或异面；排除A;B, 假设一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，那么这两个平面平行或相交，排除B;C, 设平面aAp =a, l /a, I B,由线面平行的性质定理，在平面a内存在直线 b/ l , 在平面B内存在直线c / I，所以由平行公理知b / c,从而由线面平行的判定定理可证明 b/ B,进而由线面平行的性质定理证明得 b/ a,从而I / a；故C正确；D, 假设两个平面都垂直于第三个平面，那么这两个平面平行或相交，排除D； 应选C点评：此题主要考查了

16、空间线面平行和垂直的位置关系，线面平行的判定和性质，面面垂直的性质 和判定，空间想象能力，属根底题7. 5分2021?四川设；、E都是非零向量，以下四个条件中，使寻4-成 |a| |b |立的充分条件是A.考点：充分条件.专题：证明题.分析：利用向量共线的充要条件，求等式的充要条件，进而可利用命题充要条件的定义得其充 分条件解答：一匸-解：二-?吕J 创 ？日与b共线且同向？色=汇b且入0,m bi iTj应选C点评：此题主要考查了向量共线的充要条件，命题的充分和必要性，属根底题8. 5分2021?四川抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点 0,并且 经过点M2，yo.假设点M到该抛物线焦点的

17、距离为3,那么|0M|=A.BC 4D.考点：抛物线的简单性质.专题：计算题.分析：关键点M2，yo到该抛物线焦点的距离为3，利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可 得点M的坐标，由此可求|0M|.解答：解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y2=2pxp0点M2, y至V该抛物线焦点的距离为3， 2+上=32 p=2抛物线方程为y2=4x- M2, yo |OM|= :二:应选B.点评：此题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，解题的关键是利用抛物线的定义求出抛物线方 程.9. 5分2021?四川某公司生产甲、乙两种桶装产品.生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产

18、品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克.每 桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计 划中，要求每天消耗A B原料都不超过12千克.通过合理安排生产方案，从每天生 产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是A. 1800 元B 2400 元C 2800 元D. 3100 元 考点：简单线性规划.专题：应用题.分析：根据题设中的条件可设每天生产甲种产品 x桶，乙种产品y桶，根据题设条件得出线性约束条 件以及目标函数求出利润的最大值即可.解答：解：设分别生产甲乙两种产品为x桶，y桶，利润为y元FK2y12，z=300x+400y那么根据题意可得* 2K+yL

19、2Ki孑?0且工yN作出不等式组表示的平面区域，如下图作直线L： 3x+4y=0,然后把直线向可行域平移，由一可得x=y=4，此时z最大z=2800|2x+y=12点评：此题考查用线性规划知识求利润的最大值，这是简单线性规划的一个重要运用，解题的关键 是准确求出目标函数及约束条件10. 5分2021?四川如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面a内，过点O 作平面a的垂线交半球面于点 A,过圆O的直径CD作平面a成45角的平面与半球 面相交，所得交线上到平面a的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足/BOP=60，那么A P两点间的球面距离为A.BCD.考点：反三角函数的运用；球面距离及相关计算

20、.专题：计算题.分析：由题意求出AP的距离，然后求出/ AOP即可求解A P两点间的球面距离.解答：解：半径为R的半球O的底面圆O在平面a内，过点O作平面a的垂线交半球面于点 A,过圆 O的直径CD乍平面a成45角的平面与半球面相交，所得交线上到平面a的距离最大的点为 B,所以CDL平面AOB因为/ BOP=60，所以 OPB为正三角形，P到BO的距离为PE=LE为BQ的中点，AP=OP+OA- 2OP?OAcog AOP- 2r2cosZA0P，AOP=arccoAP=A P两点间的球面距离为p , i ，应选A.点评：此题考查反三角函数的运用，球面距离及相关计算，考查计算能力以及空间想象能

21、力.11. 5 分2021?四川方程 ay=b2x2+c 中的 a，b，c - 3，- 2, 0，1, 2, 3，且a, b, c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有A. 60 条B 62 条C 71 条D. 80 条考点专题分析解答:点评:排列、组合及简单计数问题. 综合题.一 一 1 2 I方程变形得 沪工/+，假设表示抛物线，那么a0,0,所以分b=-3,- 2, 1, 2, 3五种情a a.况，利用列举法可解.一 一 _解：方程变形得，假设表示抛物线，那么a0,0,所以分b=-3,- 2, 1, 2, 3五a a种情况：(1) 当 b=- 3 时，a=- 2, c=

22、0, 1, 2, 3 或 a=1, c= - 2, 0, 2, 3 或 a=2, c=- 2, 0, 1, 3 或 a=3, c= 2, 0, 1, 2;(2) 当 b=3 时，a= 2, c=0, 1, 2, 3 或 a=1, c= 2, 0, 2, 3 或 a=2, c= 2, 0, 1, 3 或 a= - 3, c= 2, 0, 1, 2;以上两种情况下有9条重复，故共有16+7=23条；(3) 同理当b= 2或b=2时，共有16+7=23条；(4) 当 b=1 时，a= 3, c= 2, 0, 2, 3 或 a= 2, c= 3, 0, 2, 3或 a=2, c= 3, 2, 0, 3

23、 或 a=3, c= 3， 2, 0, 2;共有16条.综上，共有23+23+16=62种应选B.此题难度很大，假设采用排列组合公式计算，很容易无视重复的9条抛物线.列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的方法.要能熟练运用12. (5分)(2021?四川)设函数f (x) =2x cosx, an是公差为一的等差数列,Sf (a +f (a2)+ +f (a5)=5n,那么f ( a丿2 - a2a3=(D.A. 0考 数列与三角函数的综合.占八、:专题：分析：计算题；综合题.由f (x) =2x cosx，又an是公差为丄的等差数列，可求得f (a +f (a?) +f (a5)=10aa

24、| 8题意可求得a3二，从而可求得答案.解解：f (x) =2x cosx,答 二f (a +f (a?) + +f (a5)=2 (+&+ +a5) ( cosa1+cosa2+cosa5),:t an是公差为鲁的等差数列，sa计&+a5=5a3，由和差化积公式可得，cosa1+cosa2+cosa5= (cosa1+cosa5)+ (cosa2+cosa4)+cosaa71=cos (a3-厶x 2) +cos (a3+ x 2) +cos (a3) +cos (8=2cos+d 42cos兀1 -$4287Ta3+T+cosa 3广n 、i + 0)在一个数学期望EE =0X+1 xx2

25、4310007291000102点评：18.( 12 分)(2021?四川)函数 f (x) =6cos:sin co x 周期内的图象如下图，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且 ABC为 正三角形.(I)考点:专题:分析:求o的值及函数f (x)的值域；假设 f (X。)二注，且 x(-二)，求 f (X0+1)的值.553由y=Asin (o x+ )的局部图象确定其解析式；三角函数的化简求值；正弦函数的定义域和 值域.计算题；综合题.(I)将 f (x)化简为 f (x) =2J；sin (o10 27T2,利用正弦函数的周期公式与性质可求o解答:的值及函数f (x)的值域;

26、(n)由10 23 3|)，知弓x0+(x旦)解：)，由S普JT2oe (-=-，利用两角和的正弦公式即可求得f (Xo+1).,可求得即sin3(I)由可得,f (x) =3cosox+一 ：si兀、3又正三角形ABC的高为2二从而BC=4,函数f (x)的周期T=4X 2=8,即卩=2 _;sin (3 x+ ),2K=8,CD7L7数 f (x)的值域为-2 126分(n)V f (X。)=:;，由(I)有 f (X0)5J 4即 sin (Xo+芈)M，由 Kn (一10 23 3=2 :sin (丄)=J *57124二知一x7T2),cos5f (xo+1) =2 :sin (一

27、X0+-4+_3)=2 nsin(X0丄3)+=2sin (*Xo+-3+cos(卫x+卫)sin-4344=2. ; ( = x 片x=12分5点评：此题考查由y=Asin (3 x+ )的局部图象确定其解析式，着重考查三角函数的化简求值与正 弦函数的性质，考查分析转化与运算能力，属于中档题.19. (12 分)(2021?四川)如图，在三棱锥 P-ABC中, Z APB=90，/ PAB=60，AB=BC=CA平面 PABL 平面 ABC(I)求直线PC与平面ABC所成角的大小；(U)求二面角B-AP- C的大小.考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面所成的角；用空间向量求直线与平面的

28、夹角.分析：解法一(I)设AB中点为D, AD中点为O,连接OC OP CD可以证出Z OCP为直线PC与平 面ABC所成的角.不妨设 PA=2贝U OD=1 OP羽,AB=4在RTOCP中求解.(U)以O为原点，建立空间直角坐标系，利用平面 APC的一个法向量与面ABP的一个法向量 求解.解法二(I)设AB中点为D,连接CD.以O为坐标原点，OB OE OP所在直线分别为x, y, z轴建立空间直角坐标系 o- xyz 利用：与平面ABC勺一个法向量夹角求解.(U)分别求出平面APC平面ABP的一个法向量，利用两法向量夹角求解. 解答：解法一(I)设AB中点为D, AD中点为O,连接OC O

29、P CD因为 AB=BC=CA所以 CDL AB因为/ APB=90，/ PAB=60，所以 PAD为等边三角形，所以POLAD又平面PABL平面ABC 平面 PABH 平面 ABC=ADPOL平面ABC / OCP为直线PC与平面ABC所成的角不妨设 PA=2 那么 OD=1 OP= ，AB=4所以 CD=23, OC=o於 +CD屮1+12在 RT OCF中，tan / OCP丄 OC Vis 13故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan ，d.13nM D作 DEIAP于 E,连接 CE由，可得CD!平面PAB根据三垂线定理知，CE1 PA所以/ CED为二面角B- AP- C

30、 的平面角.由I知，DE=：-;，在 RT CDE中, tan / CE山 一=2,故二面角 EDE V3-AP- C 的大小为 arctan2 .解法二：I设 AB中点为D,连接CD因为O在AB上，且O为P在平面ABC内的射影， 所以POL平面ABC所以POL AB,且POL CD因为AB=BC=C,所以CDL AB 设E为AC中点， 那么 EO/ CD 从而 OEL PO OELAB.如图，以O为坐标原点，OB OE OP所在直线分别为x, y, z轴建立空间直角坐标系O-xyz.不妨设PA=2由可得，AB=4 OA=OD=1 OP爲,CD=2 ；,所以 O0, 0, 0, A - 1,

31、0, 0, C 1, 2 一；，0, P 0, 0, -；，所以：=-1,- 2；，：；i = 0, 0, ；为平面 ABC的一个法向量.设a为直线PC与平面ABC所成的角，贝U sinI CP I -Top I=n |=.；J16-V3 4.故直线PC与平面ABC所成的角大小为arcsin 4(U)由(I)知，卜= (1, 0, =),2= (2, 2 :；, 0)设平面APC的一个法向量为n= x, y, z，那么由匚丄忑Lnllc得出fn-AP=6 口芷+逅沪0rL-AC=0L2x+2V3y=0 = 731取x=-碩，贝U y=1, z=1，所以n =-鹿，1, 1.设二面角B- AP-

32、 C的平面角为B,易知而面ABP的一个法向量为，0, 1, 0,贝U cos B =| | 口卜 | JD |故二面角B- AP- C的大小为arccos二-点评：此题考查线面关系，直线与平面所成的角、二面角等根底知识，考查思维能力、空间想象能 力，并考查应用向量知识解决数学问题能力.20. 12分2021?四川数列an的前n项和为S，且a2&=S+S对一切正整 数n都成立.I求a1, a2的值；(U)设 ai0,数列1的前n项和为Tn,当n为何值时，Tn最大？并求出Tn的最大值. 考点 专题 分析数列递推式；数列的函数特性；数列的求和.计算题.解答:10“合数列的单调性可求和的最大项解：1

33、当 n=i 时，a2ai=S2+si=2ai+a2当n=2时，得(II ) 由 ai0,令b =lg,可知bf 1 -1 (屈tL- 12 - -且？ 2 3+2 3.2得，a2 (a2 ai) =a2 假设 a2=0,那么由(I )知 ai=0, 右a2工0,那么a2 ai=i联立可得, ：.一_ :或|-I由题意，n=2时，由可得，a2 a2- ai =a2,分类讨论：由 比=0，及a2工0,分别可 求 ai, a2综上可得，ai=0, a2=0 或 | 一 .：:或亠一- -:II 当ai0,由丨可得巧二逅+1社尸近+2当 n2 时，2+血an=s+sn，弘伍_1“2十5_1A 1 ：

34、: : !n 2务f何旷匚1+近近10a令卜、，一,. 由I 可知b =1 -為逅J冷旷11成却半n2.J 2口bn是单调递减的等差数列，公差为-丄Ig2 - bib2 b7= I10当n?8时,数列lg_L j的前7项和最大,tJ弓b J(141 31吆)=7-旦理2 an222点评：此题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及利用数列的单调性求解数列的和的最大项，还考查了一定的逻辑运算与推理的能力.21. ( 12分)(2021?四川)如图，动点 M到两定点A (- 1, 0)、B( 2, 0)构成MAB且/ MBA=ZMAB设动点 M的轨迹为C.(I)求轨迹C的方程；(U)设直线y=-2x+m与y轴交于点P,与轨迹C相交于点Q R,且|PQ| v|PR| , 求卫_的取值范围.fq|考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题.专题：综合题.分析：(I)设出点M(x, y)，分类讨论，根据/ MBA=2MAB利用正切函数公式，建立方程化简 即可得到点M的轨迹方程；(H)直线y= - 2x+m与3x2- y2- 3=0(x 1)联立，消元可得x2- 4mx+m+3=0，利用有两 根且均在(1, +x)内可知，m 1, m2设Q, R的坐标，求出Xr, Xq,利用亠，即可确定車的取值