2021年人教版高中数学必修第一册随堂练习：第5章《5.5.1第1课时两角差的余弦公式》(含答案详解)

1、5.5三角恒等变换5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式第1课时两角差的余弦公式学 习 目 标核 心 素 养1.了解两角差的余弦公式的推导过程(重点)2理解用向量法导出公式的主要步骤(难点)3熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算(重点、易混点)1. 通过两角差的余弦公式的推导，培养数学运算素养2. 借助公式的变形、正用、逆用，提升逻辑推理素养.两角差的余弦公式公式cos()cos_cos_sin_sin_适用条件公式中的角，都是任意角公式结构公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反1sin 14cos 16sin 76cos 74()A

2、.B.C DBsin 14cos 76，cos 74sin 16，原式cos 76cos 16sin 76sin 16cos(7616)cos 60.2cos(15)的值是()A. B.C. D.Dcos(15)cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30.3cos 65cos 20sin 65sin 20_.cos 65cos 20sin 65sin 20cos(6520)cos 45.给角求值问题【例1】(1)cos的值为()A.B.C. D(2)求下列各式的值：cos 75cos 15sin 75sin 195；sin 46cos 14sin 44cos

3、 76；cos 15sin 15.(1)Dcoscoscoscoscoscossinsin.(2)解：cos 75cos 15sin 75sin 195cos 75cos 15sin 75sin(18015)cos 75cos 15sin 75sin 15cos(7515)cos 60.sin 46cos 14sin 44cos 76sin(9044)cos 14sin 44cos(9014)cos 44cos 14sin 44sin 14cos(4414)cos 30.cos 15sin 15cos 60cos 15sin 60sin 15cos(6015)cos 45.1解含非特殊角的三角

4、函数式的求值问题的一般思路是：(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值2两角差的余弦公式的结构特点：(1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦(2)把所得的积相加1化简下列各式：(1)cos(21)cos(24)sin(21)sin(24)；(2)sin 167sin 223sin 257sin 313.解(1)原式cos21(24)cos 45.(2)原式sin(18013)sin(18043)sin(18077)sin(36047)sin 13sin 43sin 77sin 47sin

5、 13sin 43cos 13cos 43cos(1343)cos(30).给值(式)求值问题探究问题1若已知和的三角函数值，如何求cos 的值？提示：cos cos()cos()cos sin()sin .2利用()可得cos 等于什么？提示：cos cos()cos cos()sin sin()【例2】(1)已知sin sin 1，cos cos ，则cos()()AB C.D.(2)已知sin，求cos 的值思路点拨(1)先将已知两式平方，再将所得两式相加，结合平方关系和公式C()求cos()(2)由已知角与所求角的关系即寻找解题思路(1)D因为sin sin 1，所以sin22sin

6、sin sin22，因为cos cos ，所以cos22cos cos cos22，两式相加得12cos()11所以2cos()所以cos().(2)解，cos.，cos coscoscossinsin.1将例2(2)的条件改为“sin，且”，如何解答？解sin，且，cos，cos coscoscos sinsin .2将例2(2)的条件改为“sin，”，求cos的值解，又sin0，0，cos，coscoscoscossin.给值求值问题的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角.(2)由于和、差角与单角是相对的，因

7、此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角.常见角的变换有：()；2()()；2()().给值求角问题【例3】已知sin()，cos()，0，求角的大小思路点拨解因为sin()，所以sin .因为0，所以cos .因为cos()，且0，所以0，所以sin()，所以cos cos()cos cos()sin sin().因为0，所以.已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围.(2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数.(3)结合三角函数值及角的范围求角.提醒：在根据三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案.2已知，均为锐角，

8、且cos ，cos ，求的值解，均为锐角，sin ，sin ，cos()cos cos sin sin .又sin sin ，0，0，故.1给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧2“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：求角的某一三角函数值；确定角所在的范围(找一个单调区间)；确定角的值确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定1思考辨析(1)cos(6030)cos 60cos

9、 30.()(2)对于任意实数，cos()cos cos 都不成立()(3)对任意，R，cos()cos cos sin sin 都成立()(4)cos 30cos 120sin 30sin 1200.()提示(1)错误cos(6030)cos 30cos 60cos 30.(2)错误当45，45时，cos()cos(4545)cos(90)0，cos cos cos(45)cos 450，此时cos()cos cos .(3)正确结论为两角差的余弦公式(4)正确cos 30cos 120sin 30sin 120cos(12030)cos 900.答案(1)(2)(3)(4)2已知为锐角，为第三象限角，且cos ，sin ，则cos()的值为()ABC.D.A为锐角，cos ，sin ，为第三象限角，sin ，cos ，cos()cos cos sin sin .3cos(35)cos(25