变量间的相关关系教案

1、名师精编优秀教案变量间的相关关系教学设计（2课时）一、教材分析学生情况分析：学生已经具备了对样本数据进行初步分析的能力，且掌握了一定的计算机基础，主要是电子表格的使用。教材地位和作用：变量间的相关关系是高中新教材人教 A版必修3第二章2.3节的内容，本节课主要探讨如何利用线性回归思想对实际问题进行分析与预测。为以后更好地研究选修2-3第三章3. 2节回归分析思想的应用奠定基础。 结合教材特点及学情，特制定三维教学目标如下：二、教学目标1、知识与技能：利用散点图判断线性相关关系，了解最小二乘法的思想 及2回归方程系数公式的 推导过程，利用电子表格求出回归直线的方程并对实际问题进行分析和预测，通过

2、实例加强对回归直线方程含义的理解2、过程与方法：通过自主探究体会数形结合、类比、及最小二乘法的数学思想方法。通过动手操作培养学生观察、分析、比较和归纳能力，引出利用计算机等现代 化教学工具的必要性。3、情感、态度与价值观：类比函数的表示方法，使学生理解变量间的相关关系，增强应用回归直线方 程对实际问题进行分析和预测的意识。利用计算机让学生动手操作，合作交流 激发学生的学习兴趣。三、教学重点、难点重点：利用散点图直观认识两个变量之间的线性相关关系 ，了解最小二乘 法的思想并利用此思想借助电子表格求出回归方程。教学内容的难点：对最小二乘法的数学思想和回归方程的理解教学实施过程中的难点： 根据给出的

3、线性回归方程的系数公式建立线性回 归方程。四、教学媒体设计本节课涉及大量数据计算及分析，用传统方法很难突破，故我主要采用电子 表格和几何画板，通过学生动手操作、教师动画演示、师生合作交流来突出重 点、突破难点。学生学习效果有明显提高。五、教学设计（具体如下表）（一）、创设情境 导入新课1、相关关系的理解师：我们曾经研究过两个变量之间的函数关系：一个自变量对应着唯一的一个函数值， 这两者之间是一种确定关系。生活中的任何两个变量之间是不是只有确定关系呢？让学生举例，教师总结如：生：不是。师：能否举出反例？比如，年龄与身高。生：身高与体重生：教师水平与学生成绩。生：网速与下载文件所需时间师：不妨以教

4、师水平与学生成绩为例，学生成绩与教师水平有关吗？生：有，一般来说，教师水平越高，学生成绩越好师：即“名师出高徒”，名师一定出高徒吗？生：不一定。师：即学生成绩与教师水平之间存在着某种联系，但又不是必然联系，对于学生成绩与教师水平之间的这种不确定关系，我们称之为相关关系。这就是我们这节课要共同探讨的内容 变量间的相关关系。（板书）生活中还有很多描述相关关系的成语，如：“虎父无犬子”，“瑞雪兆丰年”设计意图：通过学生熟悉的函数关系，引导学生关注生活中两个变量之间还存在的相关关系。让学生体会研究变量之间相关关系的重要性。感受数学来源于生活。（二）、初步探索，直观感知1、根据样本数据利用电子表格作出散

5、点图，直观感知变量之间的相关关系师：在研究相关关系前，同学们先回忆一下：函数的表示方法有哪些？生：列表，画图象，求解析式。师：下面我们就用这些方法来研究相关关系。请同学们看这样一组数据：探究：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：根据上述数据，人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？年 龄2327394145495053545657586061脂 肪9.517.821.225.927.526.328.229.630.231.430.833.535.234.6生：随着年龄增长，脂肪含量在增加师：有没有更直观的方式？生：画图师生：用x轴表示年龄，y轴表示脂肪。一组样本数

6、据就对应着一个点。由于数据比较多, 我们借用电子表格来作图，请大家注意观察。教师演示作图方法，学生观察年龄脂肪239.52717.83921.24125.94527.54926.35028.25329.65430.25631.45730.85833.56035.26134.6散点图师：这个图跟我们所学过的函数图象有区别，它叫作散点图。2、判断正、 师:负相关、线性相关学生观察，比较，讨论请同学们观察这 4幅图，看有什么特点？生：图1脂肪含量40.35302520151050图141.i0.：0., 0.10.0-006 /893510图15 220 r 25 335 墓.845055 60 6

7、5年龄198765400210呈上升趋势，图2呈下降趋势。图200.0.0.0.11.图4师生：这就像函数中的增函数和减函数。即一个变量从小到大，另一个变量也从小到大，或从大到小。对于图1中的两个变量的相关关系，我们称它为正相关。图2中的两个变量的 相关关系，称为 负相关。师：我们还可以判断出：年龄与身高是正相关，网速与下载文件所 需时间是负相关。生：后面两个图很乱，前面两个图中点的分布呈条状。师：从数学的角度来解释：即图1、2中的点的分布从整体上看大致在一条直线附近。我们称图1、2中的两个变量具有线性相关关系。这条直线叫做回归直线。图3、4中的两个变量是非线性相关关系师：这节课我们重点研究线

8、性相关关系。（板书）设计意图：数形结合，扫清了学生的思维障碍，体现数学的简约美。教师展示学生画图情况，学生说明理由脂肪含量I脂肪含量学生方案二学生方案一生总结： 第二种方法好，因为所有 的点离这条直线最近。学生方案三师：即，从整体上看，各点与此直线的距离和最小。2、利用最小二乘法推导回归系数公式。师：我们现在来求距离和。怎么求?生：利用点到直线的距离公式（三）、循序渐进、延伸拓展1、找回归直线师：下面我们再来看一下年龄与脂肪的散点图，从整体上看，它们是线性相关的。如果可以求出回归直线的方程， 我们就可以清楚地了解年龄与体内脂肪含量的相关性。这条直线可以作为两个变量具有线性相关关系的代表。 同学

9、们能否画出这条直线？ 请完成数学实 验1、画出回归直线。 （学生在计算机上用电子表格画回归直线）数学实验1:画出回归直线师生共同：只要求出使距离和最小的a、b即可。但是，我们知道点到直线的距离公式计算复杂。怎么办呢？以样本数据点A为例， 可以看出：时，可以得到 ？ = bXi+a(i=i, 2,n),它与实际收集到的 V之间的偏差是y -y =y -(bx +a) (i =1, 2,n)这样用n个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的。总的偏差为nn1y (y -?),偏差有正有负，易抵消，所以采用绝对值Z |yi-y?,由于带绝对值计算不i 1i 1n2方便所以换成平方，Q =

10、 (y -?) =(y -bx -a)2 )(y2 bx -a)2 +(y3 bx a)2 +, , ,+ (yn bx -a)2 i 1现在的问题就归结为：当 a , b取什么值时Q最小。将上式展开、再合并，就可以得到可以求出Q取最小值时+ (x -x)2 bn工(x -x)(yi -y)i 1n_(x -x)2i 1n-2庐(xi -x)(y -y)n_工(x -x)2i 1n_+ (y -y)2idn_ (x -x)(yi -y) b)Z (X -x)2i 1a = y - bx推导过程用到偏差的平方,n xv -nxyi 1V 2-2 (其中xxi - nxi=1xi1 /y = 一乙

11、 yi)n id由于平方又叫二乘方，所以这种使“偏差的和”最小的方法叫“最小二乘法”。设计意图：培养学生的动手操作能力，最小二乘法的思想是本节课的教学难点，先让学生动手操作画回归直线，教师动画演示，进一步演绎推理来分解难点、突破难点3、利用电子表格的计算功能求出回归直线方程，并分析它的意义师：利用最小二乘法就可以求出回归系数，进一步求出回归方程。下面我们具体操作一下。我们先明确几个符号的含义：xi表示年龄，X1是23, 乂2是27,直到x14是61。i从1到142,V表小脂肪，yi是9.5, y2是17.8 。 xy表布年龄与脂肪的成绩，X 表本 年龄的平万x iy i年龄脂肪239.5271

12、7.83921.24125.94527.54926.35028.25329.65430.25631.45730.85833.56035.26134.648.07127.264286xi y ix2 i218.5529480.6729826.815211061.916811237.520251288.72401141025001568.828091630.829161758.431361755.6324919433364211236002110.6372119403.234181-1X = 1 xi表不自变量年龄的平均数,-1y =1 yi表不因变量脂肪的平均数, n imn 2Z Xi表小 i

13、 1n自变量的平方和，工xi yi表示自变量与因变量乘积的和。要求出a, b,必须先求出这些量。i 1由于计算量大，我们用 EXCEL来计算。请大家注意观察教师利用电子表格完成数学实验2、学生观察名师精编优秀教案数学实验2:求出下列各式的值（n=14）-1n1 nx =“ xi =一 y =，yi =ni 1n i 4nn 乙 xx= 为=i =1i 1nv - nxy_b =14 =a=ybX=?= bx a 、:22、xi - nxi 1师： 通过计算，求出了 a =4448,b= 0.5765? = 0.5765x_0.448 （板书）求出回归直线方程有什么用呢？生：知道x的值可以求？的

14、值，师：请同学们从表格中选取年龄x的一个值代入上述回归直线的方程，看看得出的数据与真实数值之间的关系。学生代人检验?=0. 5765 50 0. 448 = 29.272生；估计值是29.272,与实际值28.2有偏差，师；为什么会出现这样的结果?生：回归直线是估计出的，把 a带入肯定有误差师：试预测某人37岁时，他体内的脂肪含量。并说明结果的含义。学生代入计算？ = 0. 5765 37 0.448= 20.882师：我们能不能说他的体内脂肪含量的百分比一定是20.882%, ?生：不能。只能说他体内的脂肪含量在20.90%,附近的可能性比较大设计意图：回归方程的求法是本节课的教学重点，利用

15、电子表格计算繁杂数据，激发学生 的兴趣，通过教师演示，学生动手操作突出重点，引出利用现代技术工具解决问题的必要 性。（四）、线性回归分析思想在实际中的应用总结：我们利用回归直线对年龄与脂肪的关系做了上述分析， 这种分析方法叫做线性回归分 析。利用这种分析方法可以对生活中的很多问题进行分析与预测。 下面请同学们自己动手解 决这样一个问题例2有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对销售热饮的影响，经过统计，摄氏温度/ C-504712151923273136热饮杯数15615013212813011610489937654得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表，(1)画出散点图(2)从散点图

16、中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律(3)求回归方程(4)如果某天的气温是 2C,预测这天卖出的热饮杯数采用分组合作方式，学生分机操作，(一个学生操作，一个记录)展示学生操作情况数学实验2:求出下列各式的值(n=11)-1 /x = -Xi =n i注nn 乙 xx= 为=i ai 1n -nxy_b = 1Jn二a = y _ bx =? = bx a 、22xi - nxi W设计意图：发展学生的应用意识，是高中数学课程标准所倡导的重要理念之一。在教学中以 具体问题为载体，加深学生对回归方程的理解，体验数学在实际生活中的应用(五)利用相关系数判断线性相关程度师：利用最小二乘法求出回归

17、直线的方程后，可以对上面两个变量的关系进行分析与预测。是不是所有的相关关系都可以求出回归直线的方程？请大家观察这4幅图府出403530252015105010008006004002000050100150图 1r =0.974 图 53r 6 = 70.27 8911图 2 r -0 .8 4-0.00.0.0.0.11.图 4 r 二 一 0.051.10.0.0.0.0生；前两个是线性相关， 可以求回归方程，后两个是非线性相关，直线不能很好地反映图中两个变量之间的关系。 显然求回归直线的方程是没有意义的。有些变量线性相关， 有些非线性相关，怎样衡量变量的线性相关程度呢?n这时我们引入一个

18、量：相关系数注意它的符号：当r0时,% (Xi x)(yi y)r ：Lz,nn(x -X)2- (yi -y)2, i 1j 闫X, y正相关，当r0时，X, y负相关，统计学认为:对于r,若r三I： 1,-0.75,那么负相关很强，若 r三0.75,1,那么正相关很强,若r w （0.75,0.30或r w D.30,0.75 ）,那么相关性一般，若r三0.25,0.25,那么相关性较弱，师：不同的相关性可以从散点图上直观地反应出来。请同学们再观察这几幅散点图，判断图中的两个变量的相关关系的强弱。生：图1、2正线性相关，图1中的点密集，相关性比图 2好师：利用相关系数也可以看出相关性，图 1中r=0.97接近1。图2中r=-0.85所以可以总结出相关系数的绝对值越大，线性相关关系就越强。设计意图：通过观察比较：使学生体会：相关系数的绝对值越大，用线性回归模型拟合样 本数据的效果就越好（五）、归纳总结，内化知识师生：1、回归直线方程的求法先判断变量是否线性相关若线性相关，利