(完整版)1-7两个重要极限练习题最新（精华版）

1、严谨规范求真铸魂1-7 两个重要极限练习题教学过程：引入：考察极限limsin xx0x问题 1：观察当 x0 时函数的变化趋势：0.500.100.050.040.030.02.0.95850.99830.99960.99970.99980.9999.x( 弧度)sin x x当 x 取正值趋近于 0 时，sin x1，即limsin x=1 ；xx0x当 x 取负值趋近于 0 时， -x0, - x 0, sin(- x )0 于是limsin xlimsin(x) x0xx0( x )综上所述，得一 limsin x1xlim0xsin x1的特点：x0x(1) 0 ”型，即若形式地应用

2、商求极限的法则，得到的结果是0 ；它是“00(2) 在分式中同时出现三角函数和x 的幂推广如果 lim(x )=0,( a 可以是有限数x 0,或 )，xa则limsinx= limsinx=1xaxx0x例1求 limtanx x0xsin x解limtan x= limcosxlimsin x1limsinxlim11 11x0xx0xx0xcosxx0xx0 cosx例2求 limsin 3x x0x解limsin 3x= lim3sin 3x(令3xt ) 3limsin t3x0xx03xt0t例3求 lim 1cosx 2x0x2sin 2 xsin 2 xsin xsin x1解

3、limcosx= lim2lim2lim 1221 x0x 2x0x 2x0 2( x ) 22x0 2xx222例4求 limarcsinx x0x解令 arcsinx =t，则 x =sint 且 x0 时 t0所以 limarcsin x = limt1x0xt0 sint例5求 limtanxsin x x0x 3sin xsin xsin x1cosx解limtan xsin x= limcosxlimcosxx0x 3x0x 3x0x 3= limsin xlim1lim 1cosx1 2考察极限lim (1xx0x1) xe xx0 cosxx0x2问题 2：观察当 x+时函数的

4、变化趋势：1210100010000100000100000.22.252.5942.7172.71812.71822.71828.x(11) xx当 x 取正值并无限增大时，(11 ) xx是逐渐增大的，但是不论x 如何大， (11) x 的值x总不会超过3实际上如果继续增大x即当 x+时，可以验证 (1定的无理数 e 2.718281828. 1 ) x 是趋近于一个确x当 x-时，函数 (1综上所述，得1 ) xx有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于e二 lim (11 ) x =elim (1xx1 ) x =e 的特点：xx（） lim(1+ 无穷小 ) 无穷大案 ；（）“无穷

5、小”与“无穷大”的解析式互为倒数推广（）若 lim(x )=,(a 可以是有限数 x 0,或 )，则xalim (11) ( x)lim11( x)=e；xa( x)x( x)（）若lim(x )=0,( a 可以是有限数 x 0,或)，则xalim11x( x)lim11x( x ) =exax011变形令=t，则 x时 t0，代入后得到lim 1t te xt0如果在形式上分别对底和幂求极限，得到的是不确定的结果1 ，因此通常称之为1 不定型例6求 lim (1x2 ) x x解令 x =t ，则 x = t22 当 x时 t0，于是lim (1x2 )x = lim (12txt0t )

6、 lim (1t01t ) t 2 =e 2例7求 lim ( 3x2x ) x x解令 32x =1+ u ，则 x =2 1 xu当 x于是时 u0，lim ( 3x2x )x = lim (1u ) 2 u11uxu0lim (1u0u )(1u ) 2 1= lim (1u ) u 1u0 lim (1u0u ) 2 =e -1例8求 lim (1x0tanx )cot x 解设 t=tanx，则 1 cotxt当 x0 时 t0，1于是lim (1tanx )cot x = lim (1t ) t=ex0t0小结：两个重要极限在求极限过程中有着很重要的作用，特别要注意其变式。作业：见

7、首页t (s )s (m)s (m/ s )t0.11.02910.290.010.098499.8490.0010.00980499.80490.00010.0009800499.800490.000010.000098000499.800049上表看出，平均速度s 随着tt 变化而变化，当t 越小时，s 越接近于一个定值t9.8m/ s考察下列各式：s = 1 g2(1+t) 2 1 g 12= 1 g2t+(t)2，2- 1 导数的概念教学过程：引入：一、两个实例实例 1瞬时速度考察质点的自由落体运动真空中，质点在时刻t=0 到时刻 t 这一时间段内下落的路程s 由公式s = 1 gt2

8、 来确定现在来求t=1 秒这一时刻质点的速度2当 t 很小时，从 1 秒到 1+ t 秒这段时间内，质点运动的速度变化不大，可以这段时间内的平均速度作为质点在t=1 时速度的近似22s12tt2=g2(t )=t12g(2+t)，思考： 当 t 越来越接近于 0 时，s 越来越接近于t1 秒时的 “速度 ”现在取 t0 的极限，得lim0stlim 1 g 20 2tg=9.8(m/ s )为质点在 t =1 秒时速度为 瞬时速度 一般地，设质点的位移规律是s =f( t+t)- f( t)，在时间段s=f (t)，在时刻 t 时时间有改变量t 内的平均速度为t， s 相应的改变量为v =st

9、f tt 到 t+t tf t，对平均速度取t0 的极限，得v(t)= limslimf ttf t，t0tt0t称 v(t)为时刻 t 的瞬时速。研究类似的例子实例 2曲线的切线设方程为 y =f(x)曲线为 l 其上一点 a 的坐标为 (x 0,f (x 0)在曲线上点 a 附近另取一点b ，它的坐标是 (x 0+x, f (x 0+ x )直线ab是曲线的割线，它的倾斜角记作由图中的严谨规范求真铸魂rtacb ，可知割线 ab 的斜率xxtan = cbacyf x 0xxf x 0 x在数量上，它表示当自变量从x 变到 x + x 时函数 f(x )关于变量 x 的平均变化率 (增长率

10、或减小率 )现在让点 b 沿着曲线 l 趋向于点 a ，此时 x0， 过点 a 的割线 ab 如果也能趋向于一个极限位置直线 at ，我们就称 l 在点 a 处存在 切线 at 记 at的倾斜角为，则为 的极限，若90 ，得切线 atyf (x 0+x)btaf (x 0)cx的斜率为tan =limtan =limylimf ( x0ox)f ( x 0 ) x 0x 0+xx0x0xx0x在数量上，它表示函数f (x)在 x 处的变化率上述两个实例， 虽然表达问题的函数形式y =f(x )和自变量 x 具体内容不同， 但本质都是要求函数 y 关于自变量 x 在某一点 x 处的变化率1. 自

11、变量 x 作微小变化x，求出函数在自变量这个段内的平均变化率y =x 处变化率的近似；y ，作为点x2. 对 y 求 x0 的极限二、导数的定义limx0y ，若它存在，这个极限即为点x 处变化率的的精确值x1. 函数在一点处可导的概念定义设函数 y=f( x)在 x 0 的某个邻域内有定义对应于自变量x 在 x0 处有改变量x ， 函数 y =f (x )相应的改变量为y=f(x0+x )-f (x 0) ，若这两个改变量的比yf x 0xxf x 0xxx当 x0 时存在极限，我们就称函数y =f (x )在点 x 0 处可导 ，并把这一极限称为函数y =f(x)在点 x 0 处的 导数

12、(或变化率 )， 记作 y |或 f (x 0)或dy或df ( x)即x x 0dxx 0dxx 0y | xx 0 =f (x 0)=limylimf ( x0x)f (x 0 )(2-1)x0xx0x比值y 表示函数 y =f (x )在 x 0 到 x 0+x 之间的平均变化率，导数xy |xx 0 则表示了函数在点 x 0 处的变化率，它反映了函数y =f(x )在点 x 0 处的变化的快慢如果当 x0 时y 的极限不存在， 我们就称函数y =f(x )在点 x 0 处不可导或导数不存在x在定义中，若设 x =x 0+x，则 (2-1) 可写成f (x 0)=f xlimf x 0(

13、2-2)xx 0xx 0根据导数的定义，求函数y =f(x)在点 x 0 处的导数的步骤如下： 第一步求函数的改变量y =f (x 0+ x )-f (x0 )；第二步求比值yf (x 0x)f (x 0 ) ；第三步求极限 f (x 0)=limy x0x例 1求 y =f (x )=x 2 在点 x=2 处的导数2解y =f (2+x)-f (2)=(2+x)2-22=4x+(x)2；y4 xxx所以 y |x=2=4 x=4+x；limy = limx0xx0(4+x )=4当 limf x 0xf x 0存在时，称其极限值为函数y=f(x)在点 x 0 处的左导数 ，记作x0xf (x

14、 0) ；当limf x 0xf x 0存在时，称其极限值为函数y =f (x )在点 x 0 处的右导数 ，记作 fx0x(x 0 ) 据极限与左、右极限之间的关系f (x 0)存在 f( x0 ) , f( x 0 ) ，且 f(x 0 ) = f(x 0 )= f (x 0)2. 导函数的概念如果函数 y=f (x )在开区间 (a ,b)内每一点处都可导， 就称函数 y =f (x )在开区间 (a ,b )内可导这时，对开区间 (a,b)内每一个确定的值 x 0 都有对应着一个确定的导数 f (x 0)，这样就在开区间 (a ,b)内，构成一个新的函数，我们把这一新的函数称为 f(x

15、)的导函数 ，记作等 f (x) 或 y 等根据导数定义，就可得出导函数f (x )=y =limylim f xxf x(2-3)x0xx0x导函数也简称为导数注意（） f (x)是 x 的函数，而 f (x 0)是一个数值（） f(x )在点处的导数f (x 0)就是导函数 f (x )在点 x 0 处的函数值 例 2求 y =c (c 为常数 )的导数解因为 y =c-c =0，y0 =0 ，所以 y =limy =0xxx0x即(c) =0 常数的导数恒等于零） 例 3求 y =x n (nn, xr)的导数n解因为 y =(x+x)n -xn =nx n -1 x+ c 2 xn -

16、2(x )2+.+(x) n，ny = nx n -1 + c 2 x n-2x+.+(x)n -1，x从而有y =limy = limn nx n -1 + c 2 x n-2x+.+(x)n-1= nx n -1x0xx0即(xn ) =nx n -1可以证明，一般的幂函数y=x , (r, x0) 的导数为(x ) =x -1例如(x ) =( x112 ) = 1x 221； ( 12 xx) =(x -1) =-x -2=- 1 x 2例 4求 y =sinx, (xr)的导数严谨规范求真铸魂解y = sin(x xx )sin x x，在 1-7 中已经求得limx0y =cosx

17、 ，x即(sinx ) =cosx用类似的方法可以求得y =cosx , (xr)的导数为(cosx) =-sin x例 5求 y =log ax 的导数 (a 0, a1, x0)解对 a=e、y =ln x 的情况，在 1-7 中已经求得为(lnx ) = 1 x对一般的 a，只要先用换底公式得y=log a x= ln xln a，以下与 1-7 完全相同推导，可得(log ax ) =1x ln a三、导数的几何意义方程为 y =f (x)的曲线，在点 a (x 0,f (x 0)处存在非垂直切线at 的充分必要条件是f (x )在 x 0 存在导数 f (x 0)，且 at 的斜率

18、k=f (x 0)导数的几何意义函数y=f(x)在 x 0 处的导数 f (x 0 )，是函数图象在点(x 0,f(x 0) 处切线的斜率，另一方面也可立即得到切线的方程为y -f (x 0)=f (x 0)( x-x 0)(2-4)过切点 a (x 0,f (x0 )且垂直于切线的直线，称为曲线y =f(x )在点 a (x 0,f (x 0)处的 法线 ，则当切线非水平 (即 f (x 0) 0)时的法线方程为1y -f (x 0)=-f(x0 )(x- x0)(2-5)例 6求曲线 y=sinx 在点(, 1 ) 处的切线和法线方程62解（ sinx）=cosx=3 2xx66所求的切线

19、和法线方程为y 1 =23 (x )，26法线方程y 1 =22 3 ( x)36例 7求曲线 y=ln x 平行于直线 y =2x 的切线方程解设切点为 a (x 0, y 0)，则曲线在点 a 处的切线的斜率为y (x 0)，y (x 0)=(ln x)x x 0 = x，10因为切线平行于直线y =2x， 所以故所求的切线方程为1 =2，即 x 0= 1 ；又切点位于曲线上， 因而 y 0=lnx 021 =-ln2 2y +ln2=2( x -四、可导和连续的关系1 )，即 y =2x -1-ln2 2如果函数 y =f(x)在点 x 0 处可导，则存在极限严谨规范求真铸魂limx0y

20、 =f (x 0)，则xy =f (x 0)+x( limx0=0)，或 y = f (x 0)x +x ( lim=0)，x0所以limx0y = lim f (x 0)x0x +x =0 这表明函数 y =f(x )在点 x 0 处连续但 y =f(x)在点 x0 处连续，在x 0 处不一定是可导的例如：（） y =|x |在 x=0 处都连续但却不可导yy =|x|xo（） y = 3 x 在 x=0 处都连续但却不可导 注意在点 (0,0)处还存在切线， 只是切线是垂直的y1y = 3 x?x-1?o-11学生思考： 设函数 f (x)=x2 ,x x1, x0 ，讨论函数 f(x )

21、在 x=0 处的连续性和可导性0小结：明确导数就是函数相对于自变量的变化率。作业：见首页严谨规范求真铸魂教学过程复习引入1. 不定积分的概念；2. 不定积分的基本公式和性质。新课：一、第一类换元积分法4 2换元积分法例如：cos2xdx，积分基本公式中只有：cosxdx=sin x+c为了应用这个公式，可进行如下变换：cos2xdx1 sin2 x+c,2cos2x1d (2x ) 2令 2x=u1u =2x 回代1 cosudu22sin u+c因为 (1 sin2 x+c) =cos2x ，所以2cosxdx= 1 sin2 x+c 是正确的2定理 1设 f ( u) 具有原函数 f( u

22、) ， ( x ) 是连续函数，那么f (x )( x )dx=f ( x)+ c证明思路因为 f( u ) 是 f ( u) 的一个原函数，所以f ( u )= f ( u ) ； 由复合函数的微分法得：df( x)= f ( u)( x) dx =f ( x )( x) dx ，所以f (x )(x )dx=f( x )+ c基本思想：作变量代换u= ( x ),( d( x )=( x) dx ) ，变原积分为f (u) du，利用已知 f ( u )的原函数是 f( u) 得到积分，称为 第一类换元积分法例 1求(axb) 10 dx, (a, b 为常数 ) 解因为 dx = 1 d

23、 ( ax +b) ，所以a(axb) 10dx1(ax ab) 10 d( axb)令 ax +b=u1au 10du 111au 11 +cu= ax +b 回代1( ax +b) 11+c 11a例 2求ln x dx x解因为1 dx =d (ln x) ，所以x原式 =ln xd (ln x ) 令 ln x=uudu1 u +c22u =lnx 回代1 (ln x) 2+c2例 3求2xxedx 严谨规范求真铸魂解 因为 xdx = 1 d ( x 2) ，所以2原式 = 12ex 2d (x 2 )令 x2=u1eu du = 1 eu +c22u =x 2 回代1 ex 2 +

24、c 2例 4求xdx 22ax解因为 xdx = 1 d ( x 2)= 211 d( a 2- x 2) ，所以2令 a 2-x 2=u原式=212222d( ax)ax 11 du2u= u +ca2-x 2=u 回代2 ax 2 +c 学生思考：求sinxdx 1 cos2 x第一类换元积分法计算的关键：把被积表达式凑成两部分，一部分为d( x ) ，另一部分为 ( x) 的函数 f( x ) ，且 f( u ) 的原函数易于求得因此，第一类换元积分法又形象化地被称为 凑微分法 常用微分式：dx = 1 d ( ax ) ；xdx = 1 d( x 2) ；a1 dx =d (ln|x |) ；x21dx =2d (x ) ；x1dx = d( x 21 ) ；x11x 2dx =d (arctanx) ；1dx