[数学]六年高考真题：天津数学理科

1、2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟第卷1至2页，第卷3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回祝各位考生考试顺利!第卷注意事项：1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号答在试卷上的无效3本卷共10小题，每小题5分，共50分参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式如果事件相互独立，那么其中表示球的半径一、选择题：在每小题列出的四个选项中

2、，只有一项是符合题目要求的1是虚数单位，（） 2设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（）41112143“”是“”的（）充分而不必要条件必要而不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件4设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（）5函数的反函数是（）6设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）若与所成的角相等，则若，则若，则若，则7在上定义的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则（）在区间上是增函数，在区间上是增函数在区间上是增函数，在区间上是减函数在区间上是减函数，在区间上是增函数在区间上是减函数，在区间上是减函数8设等差数列的公差不为0，

3、若是与的等比中项，则（）24689设均为正数，且，则（）10设两个向量和，其中为实数若，中央电视台的取值范围是（）2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第卷注意事项：1答案前将密封线内的项目填写清楚2用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上3本卷共12小题，共100分二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上11若的二项展开式中的系数为，则（用数字作答）12一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为13设等差数列的公差是2，前项的和为，则14已知两圆和相交于两点，则直线的方程是15如图，在中，是边上一

4、点，则16如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共76分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）已知函数（）求函数的最小正周期；（）求函数在区间上的最小值和最大值18（本小题满分12分）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球现从甲、乙两个盒内各任取2个球（）求取出的4个球均为黑球的概率；（）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望19（本小题满分12

5、分）如图，在四棱锥中，底面，是的中点（）证明；（）证明平面；（）求二面角的大小20（本小题满分12分）已知函数，其中（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，求函数的单调区间与极值21（本小题满分14分）在数列中，其中（）求数列的通项公式；（）求数列的前项和；（）证明存在，使得对任意均成立22（本小题满分14分）设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，原点到直线的距离为（）证明；（）设为椭圆上的两个动点，过原点作直线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5分，满分50分123456789

6、10二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题4分，满分24分11212133141516390三、解答题17本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数的性质等基础知识，考查基本运算能力满分12分（）解：因此，函数的最小正周期为（）解法一：因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，故函数在区间上的最大值为，最小值为解法二：作函数在长度为一个周期的区间上的图象如下：yxo由图象得函数在区间上的最大值为，最小值为18本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力满分12分（）解：设“从甲盒内

7、取出的2个球均为黑球”为事件，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件由于事件相互独立，且，故取出的4个球均为黑球的概率为（）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件由于事件互斥，且，故取出的4个球中恰有1个红球的概率为（）解：可能的取值为由（），（）得，从而的分布列为0123的数学期望19本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力满分12分（）证明：在四棱锥中，因底面，平面，故，平面而平面，（）证明

8、：由，可得是的中点，由（）知，且，所以平面而平面，底面在底面内的射影是，又，综上得平面（）解法一：过点作，垂足为，连结则（）知，平面，在平面内的射影是，则因此是二面角的平面角由已知，得设，可得在中，则在中，所以二面角的大小是解法二：由题设底面，平面，则平面平面，交线为过点作，垂足为，故平面过点作，垂足为，连结，故因此是二面角的平面角由已知，可得，设，可得，于是，在中，所以二面角的大小是20本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法满分12分（）解：当时，又，所以，曲线在点处的切线方程为，即（）解：由于，以

9、下分两种情况讨论（1）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：00极小值极大值所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数函数在处取得极小值，且，函数在处取得极大值，且（2）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：00极大值极小值所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数函数在处取得极大值，且函数在处取得极小值，且21本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力满分14分（）解法一：，由此可猜想出数列的通项公式为以下用数学归纳法证明（1）当时，等式成立（2）假设当时等式

10、成立，即，那么这就是说，当时等式也成立根据（1）和（2）可知，等式对任何都成立解法二：由，可得，所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为（）解：设，当时，式减去式，得，这时数列的前项和当时，这时数列的前项和（）证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：由知，要使式成立，只要，因为所以式成立因此，存在，使得对任意均成立22本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力满分14分（）证法一：由题设及，不妨设点，其中由于点在椭圆上，有，即解得，从而得到直线的方程为，整理得由题设，原点到

11、直线的距离为，即，将代入上式并化简得，即证法二：同证法一，得到点的坐标为过点作，垂足为，易知，故由椭圆定义得，又，所以，解得，而，得，即（）解法一：设点的坐标为当时，由知，直线的斜率为，所以直线的方程为，或，其中，点的坐标满足方程组将式代入式，得，整理得，于是，由式得由知将式和式代入得，将代入上式，整理得当时，直线的方程为，的坐标满足方程组所以，由知，即，解得这时，点的坐标仍满足综上，点的轨迹方程为解法二：设点的坐标为，直线的方程为，由，垂足为，可知直线的方程为记（显然），点的坐标满足方程组由式得由式得将式代入式得整理得，于是由式得由式得将式代入式得，整理得，于是由知将式和式代入得，将代入上式

12、，得所以，点的轨迹方程为绝密 启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第卷1至2页，第卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.（1）是虚数单位， (a) (b) 1 (c) (d) （2）设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为 (a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5（3）设函数，则是 (a) 最小正周期为的奇函数 (b) 最小正周期为的偶函数(c) 最小正周期为的奇函数 (d) 最小正

13、周期为的偶函数（4）设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是(a) (b) (c) (d) （5）设椭圆上一点p到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则p点到右准线的距离为 (a) 6 (b) 2 (c) (d) （6）设集合，则的取值范围是(a) (b) (c) 或 (d) 或（7）设函数的反函数为，则(a) 在其定义域上是增函数且最大值为1 (b) 在其定义域上是减函数且最小值为0 (c) 在其定义域上是减函数且最大值为1(d) 在其定义域上是增函数且最小值为0 （8）已知函数，则不等式的解集是(a) (b) (c) (d) （9）已知函数是定义在r上的偶函数，且在区间上是增函数.

14、令，则 (a) (b) (c) (d) （10）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有 (a) 1344种 (b) 1248种 (c) 1056种 (d) 960种第卷注意事项：1答卷前将密封线内的项目填写清楚。2用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上3本卷共12小题，共100分。二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.）（11）的二项展开式中的系数是 （用数字作答）.（12）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为 .（13）

15、已知圆c的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，直线与圆c相交于两点，且,则圆c的方程为 .（14）如图，在平行四边形中，则 .（15）已知数列中，则 .（16）设，若仅有一个常数c使得对于任意的，都有满足方程，这时，的取值的集合为 .三、解答题（本题共6道大题，满分76分）（17）（本小题满分12分）已知.（）求的值；（）求的值.（18）（本小题满分12分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为.（）求乙投球的命中率；（）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望.（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形

16、.已知.（）证明平面；（）求异面直线与所成的角的大小；（）求二面角的大小.（20）（本小题满分12分）已知函数，其中.（）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；（）讨论函数的单调性；（）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围.（21）（本小题满分14分）已知中心在原点的双曲线c的一个焦点是，一条渐近线的方程是.（）求双曲线c的方程；（）若以为斜率的直线与双曲线c相交于两个不同的点m，n，且线段mn的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围.（22）（本小题满分14分）在数列与中，数列的前项和满足, 为与的等比中项，.（）求的值；（ii）求数列an与bn的通项公式；（ii

17、i）设tn=(-1)b1+(-1) b2+(-1) bn ，n 证明|tn|0 （b）存在r, 0 （c）对任意的r, 0 （d）对任意的r, 0（4）设函数则a在区间内均有零点。b在区间内均无零点。c在区间内有零点，在区间内无零点。d在区间内无零点，在区间内有零点。（5）阅读右图的程序框图，则输出的s= a 26 b 35 c 40 d 57(6）设若的最小值为 a 8 b 4 c 1 d （7）已知函数的最小正周期为，为了得到函数 的图象，只要将的图象 a 向左平移个单位长度 b 向右平移个单位长度 c 向左平移个单位长度 d 向右平移个单位长度（8）已知函数若则实数的取值范围是 a b

18、c d （9）设抛物线=2x的焦点为f，过点m（，0）的直线与抛物线相交于a，b两点，与抛物线的准线相交于c，=2，则bcf与acf的成面积之比=（a） （b） （c） （d）（10）.0b1+a,若关于x 的不等式的解集中的整数恰有3个，则（a）-1a0 （b）0a1 （c）1a3 （d）3a6二填空题：（6小题，每题4分，共24分）（11）某学院的a，b，c三个专业共有1200名学生，为了调 查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取 一个容量为120的样本。已知该学院的a专业有380名学生，b专业有420名学生，则在该学院的c专业应抽取_名学生。（12）如图是一个几何体的三视图，

19、若它的体积是，则a=_(13) 设直线的参数方程为（t为参数），直线的方程为y=3x+4则与的距离为_(14)若圆与圆（a0）的公共弦的长为，则a=_(15)在四边形abcd中，=（1，1），则四边形abcd的面积是 （16）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（满分12分）在abc中，bc=，ac=3，sinc=2sina(i) 求ab的值： (ii) 求sin的值（18）（满分12分）在10件产品中，有3件一等品，4

20、件二等品，3件三等品。从这10件产品中任取3件，求：（i） 取出的3件产品中一等品件数x的分布列和数学期望；（ii） 取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。 （19）（满分12分）如图，在五面体abcdef中，fa 平面abcd, ad/bc/fe，abad，m为ec的中点，af=ab=bc=fe=ad (i) 求异面直线bf与de所成的角的大小；(ii) 证明平面amd平面cde；（iii）求二面角a-cd-e的余弦值（20）（满分12分）已知函数其中（1） 当时，求曲线处的切线的斜率；（2） 当时，求函数的单调区间与极值。（21）（满分14分）以知椭圆的两个焦点分别为，过点的直线

21、与椭圆相交与两点，且。（1） 求椭圆的离心率 （2） 求直线ab的斜率；（3） 设点c与点a关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值（22）（满分14分）已知等差数列的公差为d（d0），等比数列的公比为q（q1）。设=+.+ ,=-+.+(-1 ,n(i) 若= 1，d=2，q=3，求 的值；(ii) 若=1，证明（1-q）-（1+q）=，n； () 若正数n满足2nq，设的两个不同的排列， ， 证明。2009年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一 选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。（1）d （2）b （3）d （4）d （5） c

22、（6）b （7）a （8）c （9）a （10）c二填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分24分。（11） 40 （12） （13）（14） 1 （15） （16）324三解答题（17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。满分12分。（）解：在abc中，根据正弦定理，于是ab=（）解：在abc中，根据余弦定理，得cosa=于是 sina= 从而sin2a=2sinacosa=,cos2a=cos2a-sin2a= 所以 sin(2a-)=sin2acos-cos2asin=(18)本小题主要考查古

23、典概型及计算公式、离散型随机变量的分布列和数学期望、互斥事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分12分。（）解：由于从10件产品中任取3件的结果为，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为p(x=k)= ,k=0,1,2,3.所以随机变量x的分布列是x0123px的数学期望ex=（）解：设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件a，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件a1“恰好取出2件一等品“为事件a2，”恰好取出3件一等品”为事件a3由于事件a1，a2，a3彼此互斥，且a=a1a2a3而p(a2

24、)=p(x=2)= ,p(a3)=p(x=3)= ,所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为p(a)=p(a1)+p(a2)+p(a3)= +=(19)本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力。满分12分.方法一：（）解：由题设知，bf/ce，所以ced（或其补角）为异面直线bf与de所成的角。设p为ad的中点，连结ep，pc。因为feap，所以faep，同理abpc。又fa平面abcd，所以ep平面abcd。而pc，ad都在平面abcd内,故eppc，epad。由abad，可得p

25、cad设fa=a，则ep=pc=pd=a,cd=de=ec=，故ced=60。所以异面直线bf与de所成的角的大小为60（ii）证明：因为（iii）由（i）可得， w方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点。设依题意得 （i） 所以异面直线与所成的角的大小为.（ii）证明： ，（iii）又由题设，平面的一个法向量为（20）本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。（i）解：（ii）以下分两种情况讨论。（1），则.当变化时，的变化情况如下表：+00+极大值极小值（2），则，当变化时，的变化情况如下表

26、：+00+极大值极小值 （21）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力，满分14分（i） 解：由/且，得，从而 整理，得，故离心率解：由（i）得，所以椭圆的方程可写为 设直线ab的方程为，即. 由已知设，则它们的坐标满足方程组消去y整理，得.依题意，而 由题设知，点b为线段ae的中点，所以 联立解得，将代入中，解得.(iii)解法一：由（ii）可知当时，得，由已知得.线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为.直线的方程为，于是点h（m，n）的坐标满足方

27、程组 ， 由解得故当时，同理可得 解法二：由（ii）可知当时，得,由已知得由椭圆的对称性可知b，c三点共线，因为点h（m，n）在的外接圆上，且，所以四边形为等腰梯形. 由直线的方程为,知点h的坐标为.因为，所以，解得m=c（舍），或.则，所以.当时同理可得（22）本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算能力，推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力，满分14分。（）解：由题设，可得所以，（）证明：由题设可得则 式减去式，得 式加上式，得 式两边同乘q，得 所以， ()证明： 因为所以 （1） 若，取i=n（2） 若，取i满足且由（1）,(2)及

28、题设知，且 当时，得即，又所以 因此 当同理可得，因此综上，2010年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟，第卷1至3页，第卷4至11页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第卷注意事项：1 答第卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。2 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上的无效。3 本卷共10小题，每小题5分，共50分。参考公式：如果事件a、b互斥，那么

29、如果事件a、b相互独立，那么p(ab)=p(a)+p(b) p(ab)=p(a)p(b)棱柱的体积公式v=sh, 棱锥的体积公式v=,其中s标示棱柱的底面积。 其中s标示棱锥的底面积。h表示棱柱的高。 h示棱锥的高。一 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）i 是虚数单位，复数(a)1i (b)55i (c)-5-5i (d)-1i （2）函数f(x)=的零点所在的一个区间是 (a)（-2，-1）(b)（-1,0）(c)（0,1）(d)（1,2）（3）命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是 (a)若f(x) 是偶函数，则f(-x)是偶函数（b）

30、若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数（c）若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数（d）若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数（4）阅读右边的程序框图，若输出s的值为-7，则判断框内可填写(a)i3? （b）i4?（c）i5? （d）i6? (5)已知双曲线的一条渐近线方程是y=,它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（a） （b） （c） （d）（6）已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为（a）或5 （b）或5 （c） （d）（7）在abc中，内角a,b,c的对边分别是a,b,c，若，则a=（a） （b） （c） （d）（8）若函数f(x)=,若

31、f(a)f(-a),则实数a的取值范围是（a）（-1，0）（0，1） （b）（-，-1）（1,+）（c）（-1，0）（1,+） （d）（-，-1）（0,1）(9)设集合a=若ab,则实数a,b必满足（a） （b） （c） （d）(10) 如图，用四种不同颜色给图中的a,b,c,d,e,f六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用（a）288种 （b）264种 （c）240种 （d）168种2010年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第卷注意事项：1 答卷前将密封线内的项目填写清楚。2 用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。3 本卷共12小

32、题，共100分。二 填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案天灾题中横线上。（11）甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为 和 。（12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 （13）已知圆c的圆心是直线与x轴的交点，且圆c与直线x+y+3=0相切，则圆c的方程为 （14）如图，四边形abcd是圆o的内接四边形，延长ab和dc相交于点p，若,则的值为 （15）如图，在中，,则 .（16）设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 .三、解答

33、题：本大题共6小题，共76分。解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）已知函数（）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；（）若，求的值。（18）.（本小题满分12分）某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响。（）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率（）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。另外2次未击中目标的概率；（）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总的分数，求的分布列。（19）（本

34、小题满分12分）如图，在长方体中，、分别是棱,上的点，,（1） 求异面直线与所成角的余弦值；（2） 证明平面（3） 求二面角的正弦值。（20）（本小题满分12分）已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。（1） 求椭圆的方程；（2） 设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为（），点在线段的垂直平分线上，且，求的值（21）（本小题满分14分）已知函数（）求函数的单调区间和极值；（）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，（）如果，且，证明（22）（本小题满分14分）在数列中，且对任意.，成等差数列，其公差为。（）若=，证明，成等比数列（）（）若对任意，成等比数列，其

35、公比为。2010年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一、 选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。 （1）a （2）b （3）b （4）d （5）b （6）c （7）a （8）c （9）d （10）b二填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分24分。（11）24:23 （12） （13） （14） （15） (16)三、解答题（17）本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力，满分12分。（1）解：由，得所以函数的最小正周期为因为在区间上为增函数，在区间上

36、为减函数，又，所以函数在区间上的最大值为2，最小值为-1（）解：由（1）可知又因为，所以由，得从而所以18.本小题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力，满分12分。（1）解：设为射手在5次射击中击中目标的次数，则.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率（）解：设“第次射击击中目标”为事件；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件,则 = =（）解：由题意可知，的所有可能取值为 =所以的分布列是（19）本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解

37、决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，满分12分。方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点a为坐标原点，设,依题意得,（1） 解：易得,于是 所以异面直线与所成角的余弦值为（2） 证明：已知,于是=0，=0.因此，,又所以平面(3)解：设平面的法向量，则,即不妨令x=1,可得。由（2）可知，为平面的一个法向量。于是，从而所以二面角的正弦值为方法二：（1）解：设ab=1，可得ad=2,aa1=4,cf=1.ce=链接b1c,bc1，设b1c与bc1交于点m,易知a1db1c，由,可知efbc1.故是异面直线ef与a1d所成的角，易知bm=cm=,所以 ,所以异面直线fe

38、与a1d所成角的余弦值为（2）证明：连接ac，设ac与de交点n 因为，所以，从而，又由于,所以，故acde,又因为cc1de且，所以de平面acf，从而afde.连接bf，同理可证b1c平面abf,从而afb1c,所以afa1d因为，所以af平面a1ed(3)解：连接a1n.fn,由（2）可知de平面acf,又nf平面acf, a1n平面acf，所以denf,dea1n,故为二面角a1-ed-f的平面角易知，所以，又所以，在连接a1c1,a1f 在。所以所以二面角a1-de-f正弦值为（20）本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的

39、性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力，满分12分（1）解：由，得，再由，得由题意可知， 解方程组 得 a=2,b=1所以椭圆的方程为(2)解：由（1）可知a（-2,0）。设b点的坐标为（x1,y1）,直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+2),于是a,b两点的坐标满足方程组由方程组消去y并整理，得由得设线段ab是中点为m，则m的坐标为以下分两种情况：（1）当k=0时，点b的坐标为（2,0）。线段ab的垂直平分线为y轴，于是（2）当k时，线段ab的垂直平分线方程为令x=0，解得由整理得综上（21）本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力，满分14分（）解：f令f(x)=0,解得x=1当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表x()1()f(x)+0-f(x)极大值所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数。函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=（）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)令f(x)=f(x)-g(x),即于是当x1时，2x-20,从而(x)0,从而函数f（x）在1,+)是增函数。又f(1)=f(x)f(1)=0,即f(x)g(