毕业设计（论文）运用拉普拉斯方程求解有特殊电荷分布的空间电势

1、运用拉普拉斯方程求解有特殊电荷分布的空间电势xxx 物理与电子信息学院物理学专业2007级 指导老师：xxx摘 要：空间中有电荷分布时,可以根据微分形式的静电场基本方程导出均匀介质中电位的微分方程泊松方程，通过求泊松方程程的解知道空间电势分布。然而空间各点的电势看作是自由电荷在空间产生的电势与介质上的极化电荷在空间产生的电势相叠加，自由电荷在空间的电势可以运用高斯(m.e.gauss)定理进行求解，而介质上的极化电荷在空间产生的电势满足普拉斯方程，可以用分离变量法求解；这样将自由电荷在空间产生的电势转化为运用高斯(m.e.gauss)定理求解自由电荷在空间产生的电势与普拉斯方程求解介质上的极化

2、电荷在空间产生的电势相叠加，使问题得到简化。关键词：电势；泊松方程；拉普拉斯方程；高斯定理；分离变量法solution of the electric potential in the space with free electric charge special distribution by laplaces equation tianjuncollege of physics and electronic information ,china west normal universityinstructor:lanxiaogangabstract:the electric potenti

3、al with free electric charge specialdistribution (symmetry of sphere)，was solved by laplaces equation. in this case, the spatialpotential is considered of superposition of the potetial produced by free electric charges and polarized charges.it could be solved with gausss law, and the potential produ

4、ced by polarized chargeswas depicted by laplaces quation which can solved by the separationofvariable method. as a result poissons equation can be transferred into laplaces equation ,which can be solved easier.key words: ：electric potential;poissong equation；laplace s equation；gausss law；separation

5、of- variable method目 录摘要.1引言.3第一章 预备知识.31.1 静电问题的唯一性定理 .31.2 静电场标势的边值关系.41.3 静电问题的唯一性定理 .41.4 拉普拉斯方程 的通解 .5第二章 理论分析与解法. 7第三章 总结.13参考文献.14致谢.14引 言从理论上来讲，若已知均匀介质中的全部电荷分布，可以运用 （1）计算电位分布，再由求得电场强度，但是，对于很多电场问题，场域中的介质只是均匀分布，并且其电荷分布往往要有电场的计算结果来确定而且计算前是未知的，因此，直接运用（1）式计算电场的问题是十分有限的。因此，空间中有电荷分布时,可以根据微分形式的静电场基本

6、方程导出均匀介质中电位的微分方程泊松方程或拉普拉斯方程。求解泊松方程的方法很多，有特解法、应用细胞神经网络法、高精度紧致差分法、五点差分格式法有理宏单元法、相干光反馈系统模拟法、基函数无网格配点法等,这些方法的求解思路和步骤是非常的复杂。只有当空间没有电荷分布时，满足拉普拉斯方程,然后运用分离变量法进行求解。但是当空间有电荷分布时,且电荷分布有一定特殊性时我们有没有解决的方法呢?能不能用某种方法或手段将泊松方程化为我们所熟悉的拉氏方程,然后进行求解?这是本文须探讨的问题。 本文所用的方法或手段就是将空间各点的电势看作是自由电荷在空间产生的电势与介质上的极化电荷在空间产生的电势的叠加,前者可以用

7、高斯定理进行求解其自由电荷产生的电势而后者满足拉普拉斯方程,可以用分离变量法求解这样我们就把空间中有自由电荷分布时,需求解的泊松方程的问题转化为拉氏方程进行求解,问题也就得到解决了。一、 预备知识1.静电势的微分方程 当空间有自由电荷分布时，静电场的基本方程之一是，与方程是等价的。将介质的本构方程带入静电场的另一个方程，得到，再将得到静电势的微分方程 （2）或者为 （3）为自由电荷体密度，式（3）称为泊松方程。要给定势的边界条件和边值关系就可以求出电势的分布,但是求解是非常困难的。对于无自由电荷处，式（3）变 （4） 式（4）称为拉普拉斯方程（拉氏方程）。算子（）称为拉普拉斯算子。 2.静电场

8、标势的边值关系 在两介质的界面上,电势必须满足边值关系,由电场的边值关系可以化为电势的边值关系. （5） （6）从介质1指向介质2，在介质1和介质2的分界面两侧相邻两点由于电场强度有限因此界面两侧电势相等 （7）而另外一种边值关系由（5）式表示为 （8）式中是法线方向的偏导数,为界面上的自由电荷面密度。对于导体有 （9） （10）3. 静电问题的唯一性定理区域可以分为无数个均匀区域，每个区域的电容率为，在内有给定的自由电荷分布体密度，电势在均匀区域满足泊松方程 （11）在两个区域和的分界面上满足边值关系： （12）泊松方程（11）式和边值关系（12）式是电势所必须满足的方程。此外还要给定的电势

9、和的边界上的一些条件。情况一：设区域v内给定自由电荷分布,在的边界上给定电势或电势的法向导数,则v内的电场唯一地确定。情况二：设区域v内有一些导体,给定导体之外的电荷分布,给定各导体上的总电荷以及v的边界s上的或值,则v内的电场唯一地确定。也就是说，电势在导体以外满足（3）式泊松方程第个导体上满足总电荷条件 （13）和等势面条件 （14）以及在v的边界s上具有的或值，v内的电场唯一地确定。4.拉普拉斯方程（）的通解. 圆柱坐标中的拉普拉斯方程为 （15）我们只讨论二维平面场的情形，即与无关的情形，这是拉普拉斯方程变为 （16）利用分离变量法设解具有的形式，代入（16）得 （17） 用乘上式，得

10、 （18）上式中第一项仅是的函数，第二项仅是的函数，要使上式对于所有，值都成立必须每项都等于一个常数。如果令第一项等于。则得到 （19）解为 （20）如果我们研究的空间的包含从，因为必须是单值的，即，则必须为整数，故 （21）现在用代替（18）中的第二项，得 （22）即 （23）这个方程成为欧拉方程，其解为 （24）当，解为 （25）这是场与坐标无关。圆柱坐标中，二维场的的通解为 （26） 拉氏方程在球坐标下的通解 （27）若电势呈轴对称,则,取此轴为极轴则通解就变成 （28）若电势呈球状对称,则通解则相应变为 （29）二 理论分析与解法1.点电荷在介质中的电热分布,已知一个半径为,电容率为的

11、介质球,球外为真空,在球的中心放一个点电荷,如图(1)所示,现在来求此介质球在各均匀区域内的电势分布.分析:此问题是空间有自由电荷分布的问题,其基本问题是求满足边界条件的泊松方程的解，只有在界面形状比较简单的几何曲面时,这类问题才能以解析式给出,而且视具体情况不同有不同的解法，其解题过程是非常困难的。空间各点的电势是点电荷的电势 与球面上的极化电荷所产生的电势的叠加后者满足拉普拉斯方程。比如这个问题,如果用泊松方程来解，由（3）、（4）、（12）得到下列关系 （30）可以看出，想要求出球内电势要用到非齐次二阶偏微分方程的知识来进行求解,其过程是比较困难的，如果把非齐次的拉普拉斯方程即泊松方程化

12、为齐次的拉普拉斯方程，再进行求解会显得方便些，其过程如下： 本题所求的电势是由点电荷与介质球的极化电荷两者各自产生的电势的叠加且有着球对称性，因此第一步：不考虑极化电荷在空间各点产生的电势,只考虑点电荷在空间各点产生的电势: （31）则空间电势为 （32）第二步：当空间不存在时当空间不存在时,只有介质球上的极化电荷产生的电势,由于电势呈球状对称,由（29）式得其相应的通解应为： （33）由于球心有的存在，所以有,即 （34）在球外有，即 （35）由边界条件得 即 （36） 即 （37）由（36）,（37）得 （38） （39）将（39）式代入（34）式，将（38）式代入（35）式，求得电势分布

13、 （40）下面用高斯定理求解得： （41） （42） 可以看出用gauss定理求出的结果与用分离变量法求出的结果(40)完全一致可见这种方法是正确的。也就是说我们以后碰到类似的问题都可以将空间各点的电势看作是电荷在空间产生的电势与介质上的极化电荷在空间产生的电势的叠加,前者可以用高斯定理进行求解其自由电荷产生的电势,而后者满足拉普拉斯方程, 可以用分离变量法求解,这样我们就把空间中有电荷分布的泊松方程转化为拉氏方程进行求解,其运算过程是比较简单的,下面我们再通过一个问题来进行讨论。2.外场作用下带电介质球周围的电势分布，在均匀外电场中置人一带均匀自由电荷的绝缘介质球( 电容率为)。如图2，求空

14、间各点的电势分布情况。分析： 如果用泊松方程直接求解，由（3）、（4）、（12）得到下列关系 (43）如果想要求出其结果来是相当困难的,现在我们将其转化为拉氏方程来求解， 其过程可以分为两步：第一步先求出自由电荷在空间产生的电势分布，第二步介质上的极化电荷在空间产生的电势分布。则空间总的电势是电荷在空间产生的电势与介质上的极化电荷在空间产生的电势的叠加，前者可以用高斯定理进行求解其自由电荷产生的电势，而后者满足拉普拉斯方程，可以用分离变量法求解。第一步：均匀自由电荷在空间产生的电势足高斯定理。 由高斯定理可以求得： （44） 于是可以得到，自由电荷在空间产生的电势： （45）所以得到上式的解的

15、形式为： (46)是由高斯定理解得的，的作用加上的共同作用。当时， (47)而当时，所以： (48)当时，即 (49)解得: (50)而当时，即 (51) (52)解得: (53)由（50）、（53）解得 （54）同理 （55）于是求得球内外的电势为： （56） （57）3、 总结 当空间有自由电荷分布时,可以运用某种方法或手段将泊松方程转化为我们所熟知的拉氏方程；空间没有自由电荷分布时，根据唯一性定理，静电场问题也是求在给定区域里满足一定边值关系的拉氏方程的解，而且场是唯一确定的。这种方法或手段就是空间各点的电势是自由电荷在空间产生的电势与介质上的极化电荷在空间产生的电势的叠加，前者可以运用

16、高斯定理进行求解，后者满足拉氏方程，如果区域的边界和正交坐标系的曲面相对应，那么，运用分离变量法求解拉氏方程是比较方便的。参 考 文 献 1 梁昆淼.数学物理方法第三版 m北京：高等教育出版社,1960: 761202 王盘贞.应用细胞神经网络求解泊松方程的新途径j.南京邮电学院学报,1995：15(1)：3 田振夫.求泊松方程的高精度紧致差分方法j.黄淮学刊:自然科学版,1998,14(4):24 廖臣,祝大军,等.五点差分格式求解泊松方程并行算法的研究j.电子科技大学党报, 25 陈志勇,冯伟.有理宏单元法求解泊松方程 j.力学季刊,2006, 27(4): 655-660.6 缪源,冯壁华.相干光反馈系统模拟解泊松方程 j.光学党报, 1994, 14(2): 130-134.7 王新,尹晓华,等.基于径向基函数无网格配点法求泊松方程j.山西建筑, 2006, 32(2)8 刘觉平.电动力学.高等教育出版社，2004：1831919 蒋逢春,董红.用分离变量法求静电场问题的新思路j.商丘师范学院学报, 2004(4):10 刘云，点电荷场中球体表面电荷分布规律的研究.贵州教育学院学报,2008(6):11 郭硕鸿.电动力学(第二版)