边消防军考数学公式

1、军考数学常用公式及结论 第一章集合1.2.集合的子集个数共有 个；真子集有个；非空子集有个；非空的真子集有个.3、充要条件记表示条件，表示结论(1)充分条件：若，则是充分条件.(2)必要条件：若，则是必要条件.(3)充要条件：若，且，则是充要条件.第二章函数1、 定义域（1） 分式中分母不等于0 （2） 根式中大于等于0 （g(x）0）（3） 对数的真数大于0 （g(x)0）2、 值域（1） 分离变量法先把分式函数化为的形式则值域为y（2） 换元法（3） 单调性3、 解析式（1） 待定系数法（2） 换元法（3） 构造法（4） 赋值法4、 函数性质（1） 单调性增函数：设f（x）在xd上有定义，

2、若对任意的，都有成立，则就叫f（x）在xd上是增函数。d则就是f（x）的递增区间。减函数：设f（x）在xd上有定义，若对任意的，都有成立，则就叫f（x）在xd上是减函数。d则就是f（x）的递减区间。单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数； （2）、减函数+减函数=减函数； (3)、增函数-减函数=增函数； (4)、减函数-增函数=减函数；注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。复合函数的单调性： 函数 单调单调性内层函数外层函数复合函数（2） 奇偶性 函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称）奇函数：若有，则f（x）是奇函数

3、。且f(0)=0偶函数：若有，则f（x）是偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数（3） 周期性f(x)=f(x+t)则f（x)的周期为t（4） 对称性两个函数图象的对称性函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.函数与函数y=-f(x)的图象关于直线y=0(即x轴)对称.函数与函数的图象关于直线对称.若,则函数的图象关于点对称; （5） 函数图像1、一次函数 2、二次函数 3、对勾函数 4、指数函数 5、对数函数5、 反函数（1）反函数存在的条件：从定义域到值域上的

4、一一映射确定的函数才有反函数； （2）原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域，（3）与的图象关于对称 (4)求反函数的一般步骤 （1） 确定原函数的值域，也就是反函数的定义域（2） 由的解析式求出（3） 将对换，得反函数的一般表达式，标上反函数的定义域（反函数的定义域不能由反函数的解析式求得）分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后再合成。(5)掌握下列一些结论（1） 单调函数一一对应有反函数（2） 周期函数不存在反函数（3） 若一个奇函数有反函数，则反函数也必为奇函数（4） 证明的图象关于直线对称，只需证的反函数和相同。6、 复合函数复合函数的定义域利用两括号的取值范围相同求出

5、x的取值范围复合函数的解析式换元法寻求中间变量f(t)复合函数的单调性增 减 增 减 增 减 增 减 减 增 7、 二次函数(1) 二次函数的解析式的3种形式：(1) 一般式；(2) 顶点式；（当已知抛物线的顶点坐标时，设为此式）(3)两点式；8、指数函数指数性质： (1)1、 ； （2）、（） ； (3)、(4)、 ； (5)、 ； 指数函数：(1)、 在定义域内是单调递增函数；（2）、 在定义域内是单调递减函数。注： 指数函数图象都恒过点（0，1）9、对数函数(1)指数式与对数式的互化式: .(2)对数性质： (1)、 ；（2）、 ； (3)、 ；(4)、 ； (5)、 ；(6)、 ； (

6、7)、 (3)对数函数： (1)、 在定义域内是单调递增函数；（2）、在定义域内是单调递减函数；注： 对数函数图象都恒过点（1，0）(4)对数的换底公式 : (,且,且, )； 对数恒等式：(,且, )；推论： (,且, ).第3章 、数列1、 等差数列通项公式：（1） ；（其中为首项，d为公差，n为项数，为末项）（2）推广： ；（3） 。 （注：该公式对任意数列都适用）前n项和：（1） ；（其中为首项，n为项数，为末项）（2）；（3） ； （注：该公式对任意数列都适用）（4） 。 （注：该公式对任意数列都适用）常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有 ；注：若的等差中项，则有2n、m、p成

7、等差；（2）、若、为等差数列，则为等差数列；（3）、为等差数列，为其前n项和，则也成等差数列；（4）、 ； （5） 1+2+3+n=。 （5）前n项和中奇数项和偶数项的关系n为奇数时 n为偶数时2、 等比数列通项公式：（1） ；（其中为首项，n为项数，q为公比）（2）推广：；（3）。 （注：该公式对任意数列都适用）前n项和：（1） ； （注：该公式对任意数列都适用）（2） ； （注：该公式对任意数列都适用） （3） 。常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有 ；（注：若的等比中项，则有 n、m、p成等比）（2）、若、为等比数列，则为等比数列。（3）前n项和中奇数项和偶数项的关系n为偶数时s奇

8、=qs偶3、 数列的通项公式（1）递推公式为与的关系式。(或)解法：这种类型一般利用与消去 或与消去进行求解。(2)累加法 题型 解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。(3)累乘法 题型 解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。(4)待定系数法 1、题型（其中p，q均为常数，）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。2、（其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数） 。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。3、 递推公式为（其中p，q均为常数）。解法一(

9、待定系数法)：先把原递推公式转化为其中s，t满足解法二(特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中a，b由决定（即把和，代入，得到关于a、b的方程组）；当时，数列的通项为，其中a，b由决定（即把和，代入，得到关于a、b的方程组）。4、解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。5、 解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。6、 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。4、 数列的前n项和公式(1)利用常用求和公式求和等差数列求和公

10、式： 等比数列求和公式：(2)错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.(3)反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.(4)分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.5、 数列的证明(1)判定一个数列为等差数列的常用方法定义法：（常数）是等差数列；中项公式法：是等差数列；通项公式法：（p，q为常数）

11、是等差数列；前n项和公式法：（a，b为常数）是等差数列。(2)判定数比数列的常用方法（1）定义法：（q是不为0的常数，nn*）是等比数列；（2）通项公式法：（c、q均是不为0的常数nn*）是等比数列；（3）中项公式法：（，）是等比数列。第4章 、三角函数1、弧度制与角度制的换算公式：，2、圆弧的长和扇形的面积若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，pvx y a o m t 2、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，则，2、 特殊角的三角函数030 37 45 53 60 90 sin01cos10tan01不存在3、象限正负关系sin+-cos+-+

12、tan+-+-cot+-+-4、角三角函数的基本关系：；5、函数的诱导公式：，sin45osin135 ocos45 ocos(-45 o)，弦、余弦的诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）(n为偶数)(n为奇数)(n为偶数)(n为奇数) 6、和与差角公式 ;.=(辅助角所在象限由点的象限决定, ).7、倍角公式及降幂公式 ； .； 8、三角函数的相关性质1、函数的性质：振幅：；周期：；频率：；相位：；初相：2、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：函数性质 图象定义域值域最值当时，；当 时，当时， ；当时，既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数在

13、上是增函数；在上是减函数在上是增函数对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴9、三角函数的平移1、的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象第5章 、向量1、实数与向量的积的运算律:设、

14、为实数，那么：(1) 结合律：()=() ； (2)第一分配律：(+) =+；(3)第二分配律：(+)=+.2、 与的数量积(或内积)：=|。3、 平面向量的坐标运算：(1)设=,=，则+=；(2)设=,=，则-=.； (3)设a，b,则；(4)设=，则=；(5)设=,=，则=.4、 两向量的夹角公式： (=,=).5、 平面两点间的距离公式： = (a，b).6、 向量的平行与垂直 ：设=,=，且，则：|= ；（交叉相乘差为零） () =0.（对应相乘和为零）7、 线段的定比分公式 ：设，是线段的分点,是实数，且，则（）.8、三角形五“心”向量形式的充要条件：设为所在平面上一点，角所对边长分

15、别为，则（1）为的外心；（2）为的重心；（3）为的垂心；（4）为的内心； 9、向量解三角形（1） 正弦定理（r为外接圆的半径）.（2） 余弦定理;.（3） 三角形面积公式.(4)三角形内角和定理 ：在abc中，有：.第6章 、不等式1、 解不等式（1） 二次不等式（2） 分式不等式解题步骤：1、移项2、通分3、除变乘（注意分母不等于0）4、系数化为1（注意系数的正负）5、求出根利用穿根法（从右至左至上而下奇穿偶不穿）求出不等式的解（3） 绝对值不等式xa（a0）的解集为：xaxa；xa（a0）的解集为：xxa或xa。（4） 无理不等式（5） 指数不等式当a1时，af(x)ag(x)与f(x)g

16、(x)同解，当0a1时，af(x)ag(x)与f(x)g(x)同解（6） 对数不等式8、 均值不等式常用不等式：（1）(当且仅当ab时取“=”号)；（2）(当且仅当ab时取“=”号)；（3）(当且仅当ab时取“=”号)。 极值定理:已知都是正数，则有（1）若积是定值，则当时和有最小值；（2）若和是定值，则当时积有最大值；（3）已知，若 ，则有：；（4）已知，若，则有：9、 不等式中恒成立问题1、解连不等式常有以下转化形式.2、定区间上含参数的不等式恒成立(或有解)的条件依据(1)在给定区间的子区间形如，不同上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是。(2)在给定区间的子区间上含参数的不等式(

17、为参数)恒成立的充要条件是。(3) 在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)的有解充要条件是。(4) 在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)有解的充要条件是。对于参数及函数.若恒成立，则；若恒成立，则；若有解，则；若有解，则；若有解，则.若函数无最大值或最小值的情况，可以仿此推出相应结论第7章 、直线平面简单几何体1、 角的问题（1） 线线角1、异面直线所成角的求法：（1）范围：；（2）求法：计算异面直线所成角的关键是平移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转化为相交两直线的夹角。 2、

18、=其中为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量（2） 线面角 1、定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。（2）范围：；（3）求法：作出直线在平面上的射影；（4）斜线与平面所成的角的特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。 2、直线与平面所成角(为平面的法向量).（3） 面面角 1、三垂线定理及逆定理：（1）定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（2）逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。其作用是证两直线异面垂直和作二面角的平面角。 2、二面

19、角：（1）平面角的三要素：顶点在棱上；角的两边分别在两个半平面内；角的两边与棱都垂直。（2）作平面角的主要方法：定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；三垂线法：过其中一个面内一点作另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；垂面法：过一点作棱的垂面，则垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角；（3）二面角的范围：；（4）二面角的求法：转化为求平面角；面积射影法：利用面积射影公式，其中为平面角的大小。二面角的平面角根据具体图形确定是锐角或是钝角 3、或，为平面，的法向量.2、距离问题（1） 点线距离点到

20、直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线再求解。（2） 点面距离 1、点到平面的距离：垂面法：借助于面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键；体积法：转化为求三棱锥的高；等价转移法。 2、利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面的法向量，ab是平面的一条射线，其中，则点b到平面的距离为.（3） 面面距离两平行平面之间的距离：转化为求点到平面的距离。(4) 球面距离球面距离（球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度）：求球面上两点a、b间的距离的步骤：计算线段ab的长；计算球心角aob的弧度数；用弧长公式计算劣弧ab的长。3、体积问题（1）棱柱：体积底面积高，或体积直截

21、面面积侧棱长，特别地，直棱柱的体积底面积侧棱长；三棱柱的体积（其中为三棱柱一个侧面的面积，为与此侧面平行的侧棱到此侧面的距离）。（2）棱锥：体积底面积高。(3)球的体积和表面积公式：v。4、 证明问题证明直线与直线的平行的思考途径1转化为判定共面二直线无交点；2转化为二直线同与第三条直线平行；3转化为线面平行；4转化为线面垂直；5、 转化为向量解证明直线与平面的平行的思考途径1转化为直线与平面无公共点；2转化为线线平行；3转化为面面平行.4转化为证明直线与平面的法向量垂直即可要证直线ab平行于平面第一步建立空间直角坐标系写出向量第二步求出平面的法向量第三步计算第四步得出结论ab/证明平面与平面

22、平行的思考途径1转化为判定二平面无公共点；2转化为线面平行；3转化为线面垂直.4转化为向量证明两平面的法向量平行即可要证直线ab平行于平面第一步建立空间直角坐标系第二步求出平面的法向量求出平面的法向量第三步计算第四步得出结论/证明直线与直线的垂直的思考途径1转化为相交垂直；2转化为线面垂直；3转化为线与另一线的射影垂直；4转化为线与形成射影的斜线垂直.5转化为向量解证明直线与平面垂直的思考途径1转化为该直线与平面内任一直线垂直；2转化为该直线与平面内相交二直线垂直；3转化为该直线与平面的一条垂线平行；4转化为该直线垂直于另一个平行平面。5转化为直线与平面法向量平行即可证明平面与平面的垂直的思考

23、途径1转化为判断二面角是直二面角；2转化为线面垂直；3 转化为两平面的法向量平行。第8章 、直线和圆1、斜率公式 ：（、）.2、 直线的五种方程：（1）点斜式： ； (直线过点，且斜率为)（2）斜截式： ； (b为直线在y轴上的截距)（3）两点式： ； ()(、 () 两点式的推广：（无任何限制条件！）(4) 截距式： ； (分别为直线的横、纵截距，)（5）一般式： 。 (其中a、b不同时为0)3、 夹角公式：(1)； (，,)(2)； (,)直线时，直线l1与l2的夹角是。4、点到直线的距离 ： (点,直线：). 5、圆的四种方程：（1）圆的标准方程 ；（2）圆的一般方程 ； (0).（3）

24、圆的参数方程 ；（4）圆的直径式方程 。 (圆的直径的端点是、).6、点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有三种：若，则点在圆外； 点在圆上； 点在圆内.7、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有三种():；。8、 两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为o1，o2，半径分别为r1，r2，则：； 9、 两圆公共弦长直线方程两圆方程相减求出第9章 、圆锥曲线1、 椭圆中心在原点，焦点在轴上中心在原点，焦点在轴上标准方程参数方程为参数)为参数)图 形xof1f2pya2a1b1b2a1xof1f2pya2b2b1顶 点对称轴轴，轴；短轴为，长轴为焦 点焦 距 离心率（离心率越大，椭圆越扁）准 线通

25、 径（为焦准距）焦半径焦点弦仅与它的中点的横坐标有关仅与它的中点的纵坐标有关焦准距焦面积 椭圆的的内外部:（1）点在椭圆的内部；（2）点在椭圆的外部。 椭圆的切线方程:(1) 椭圆上一点处的切线方程是； （2）过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是； （3）椭圆与直线相切的条件是。2、 双曲线中心在原点，焦点在轴上中心在原点，焦点在轴上标准方程图 形xof1f2pya2a1yxof1pb2b1f2顶 点对称轴轴，轴；虚轴为，实轴为焦 点焦 距 离心率（离心率越大，开口越大）准 线渐近线通 径（为焦准距）焦半径在左支在右支在下支在上支焦准距焦面积双曲线的切线方程: (1)双曲线上一点处的切线方程

26、是； (2)过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是； （3）双曲线与直线相切的条件是。3、 抛物线焦点在轴上，开口向右焦点在轴上，开口向左焦点在轴上，开口向上焦点在轴上，开口向下标准方程图 形xofpyofpyxofpyxofpyx顶 点对称轴轴轴焦 点离心率准 线通 径焦半径焦点弦（当时，为通径）焦准距圆锥曲线的统一定义：若平面内一个动点到一个定点和一条定直线的距离之比等于一个常数，则动点的轨迹为圆锥曲线。其中定点为焦点，定直线为准线，为离心率。当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线。轨迹方程的求法：（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些

27、几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系“翻译”成含的等式就得到曲线的轨迹方程。 如：已知底边的长为8，两底角之和为，求顶点且的轨迹方程。（2）定义法：其动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义，则根据定义直接求出动点的轨迹方程。如：已知圆，定点，若是圆上的动点，的垂直平分线交 于，求的轨迹方程。（3）几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代人点的坐标较简单。如：是的直径，且，为圆上一动点，作，垂足为，在上取点，使，求点的轨迹。（4）相关点法（代人法）：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关

28、点）而运动的；如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程。 如：在双曲线的两条渐近线上分别取点和，使（其中为坐标原点，为双曲线的半焦距），求中点的轨迹。（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程。常与参数法并用。如：己知两点，以及一直线，设长为的线段在直线上运动，求直线和的交点的轨迹方程。（6）整体法（设而不求法）：当探求的轨迹较复杂时，可扩大考察视角，将问题中的条件、结论的各种关系看成一个整体，从整体出发运用整体思想，注重整体结构的挖掘和分析。如：以为圆心的圆与椭圆交于两点，求中点的轨迹方程。（7）参数法：有时求动点应满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，即动点坐标中的分别随另一变量的变化而变化，称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法，如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参数即可；在选择参数时，选用的参变量要以具有某种物理或几何的性质，如时间、速度、距离、角度，有向线段的数量、直线的斜率，点