北京市东城区高三5月综合练习（二）文科数学试题及答

1、北京市东城区2015-2016学年度第二学期高三综合练习（二）数学（文科） 学校_班级_姓名_考号_本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（1）已知集合，那么（a） （b） （c） （d）（2）如图，根据样本的频率分布直方图，估计样本的中位数是（a） （b） （c） （d）（3）执行如图所示程序框图，则输出的结果是 （a） （b） （c） （d）（4）已知，为圆上关于点对称的两点，则

2、直线的方程为（a） （b） （c） （d）（5）设，为实数，则“”是“”的 （a）充分而不必要条件 （b）必要而不充分条件（c）充分必要条件（d）既不充分也不必要条件（6）已知函数是偶函数,且，则 （a） （b） （c） （d）（7）已知向量，将向量绕坐标原点逆时针旋转角得到向量 ，则下列说法不正确的是（a）（b）（c）（d）（8）如图，在边长为的正方形组成的网格中，有椭圆，它们的离心率分别为，则（a） （b） （c） （d） 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）如图所示，在复平面内，点a对应的复数为，则复数 （10）若函数在区间上有且只有一个零点，

3、则实数 （11）已知双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则实数 .（12）已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面中，最大面积为_.（13）已知数列满足,，且，则 ；数列的前项的和为_ （14）一名顾客计划到某商场购物，他有三张商场的优惠劵，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠券根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠劵a：若商品标价超过元，则付款时减免标价的；优惠劵b：若商品标价超过元，则付款时减免元；优惠劵c：若商品标价超过元，则付款时减免超过元部分的某顾客想购买一件标价为元的商品，若想减免钱款最多，则应该 使用优惠劵 （填a,b,c）；

4、若顾客想使用优惠券c，并希望比优惠券a和b减免的钱款都多， 则他购买的商品的标价应高于_元三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题共13分）在中，角，所对的边分别是，且（）若，求；（）若，且 ，求的面积（16）（本小题共13分）已知等差数列满足，其前项和为.（）求的通项公式及；（）令，求数列的前项和.（17）（本小题共14分）在梯形中，.平面平面，四边形是矩形，点在线段上（）求证：；（）试问当为何值时，平面？证明你的结论（）求三棱锥的体积.（18）（本小题共13分）某出租车公司响应国家节能减排的号召，已陆续购买了辆纯电动汽车作为运营车辆目前我国主流

5、纯电动汽车按续航里程数（单位：公里）分为类，即类：，类：，类：该公司对这辆车的行驶总里程进行统计，结果如下表：类型类类类 已行驶总里程不超过万公里的车辆数已行驶总里程超过万公里的车辆数（）从这辆汽车中任取一辆，求该车行驶总里程超过万公里的概率；（）公司为了了解这些车的工作状况，决定抽取辆车进行车况分析，按表中描述的六种情况进行分层抽样，设从类车中抽取了辆车（）求的值；（）如果从这辆车中随机选取两辆车，求恰有一辆车行驶总里程超过万公里的概率（19）（本小题共13分）已知椭圆与轴交于两点，为椭圆的左焦点，且是边长为等边三角形（）求椭圆的方程；（）设直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为（与不重合

6、），则直线与轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由（20）（本小题共14分）设函数，（）若，求在区间上的最大值；（）设，求证：当时，过点有且只有一条直线与曲线相切；（）若对任意的，均有成立，求的取值范围北京市东城区2015-2016学年第二学期高三综合练习（二）数学参考答案及评分标准 （文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）a （2）c （3）d （4）a （5）b （6）b （7）c （8）d二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9） （10）（11） （12）（13） （14）b 注：两个空的填空题第一个空填对得3

7、分，第二个空填对得2分三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（）由，得.又，所以 由余弦定理可得 6分 （）由已知，且, 所以 故的面积 13分（16）（共13分）解：（）设等差数列的公差为， 由，得，又，解得 所以 所以 6分（）由，得设的前项和为，则 故数列的前项和为 13分（17）（共14分）证明：（）由题意知，梯形为等腰梯形，且， 由，可知.又平面平面，且平面平面，平面，所以平面.又平面，所以. 5分（）当时，平面.证明如下：当，可得，故在梯形中，设，连结，由已知可得，所以.所以.又,所以四边形为平行四边形.所以.又平面，平面，所以平面.当时，平面. 11分（）

8、由已知可得的面积， 故. 14分（18）（共13分）解：（）从这140辆汽车中任取一辆，则该车行驶总里程超过万公里的概率为 3分（）（）依题意 6分（）辆车中已行驶总里程不超过万公里的车有辆，记为；辆车中已行驶总里程超过万公里的车有辆，记为“从辆车中随机选取两辆车”的所有选法共种：“从辆车中随机选取两辆车，恰有一辆车行驶里程超过万公里”的选法共种： 则选取两辆车中恰有一辆车行驶里程超过万公里的概率 13分（19）（共13分）解：（）依题意可得，且， 解得所以椭圆的方程是 5分（）由消，得 设，则且，经过点，的直线方程为令，则又故当时，即直线与轴交于定点 13分（20）（共14分）解：（）当时， 令，得或当，有，所以在区间上是增函数；当时，有，所以在区间上是减函数；所以在区间上的最大值为 5分（）设过点的直线与曲线相切于点，则，且切线斜率为所以，即所以 ，解得即存在唯一的切点所以过点有且只有一条