苏科版初三数学上册教案

1、前进中学初三数学教学案初三数学教学案课题：等腰三角形的性质和判定（1）学习目标1、进一步掌握证明的基本步骤和书写格式。2、能用“基本事实”和“已经证明的定理”为依据，证明等腰三角形的性质定理和判定定理。学习过程一、知识回顾：在初中数学八（下）的第十一章中，我们学习了证明的相关知识，你还记得吗？不妨回忆一下。1、用的过程，叫做证明。经过称为定理。2、证明与图形有关的命题，一般步骤有哪些？（1）;（2）;（3）.3、推理和证明的依据有哪几类？、。4、我们初中数学中，选用了哪些真命题作为基本事实：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。此外，还有和也都看作是基本事实。5、在八（下）的第十一章中，我们

2、依据上述的基本事实，证明了哪些定理？你能一一列出来吗？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）。二、情景创设：以前，我们曾经学习过等腰三角形，你还记得吗？不妨我们来回忆一下下列几个问题：1、什么叫做等腰三角形？（等腰三角形的定义）2、等腰三角形有哪些性质？；。3、上述性质你是怎么得到的？（不妨动手操作做一做）4、这些性质都是真命题吗？你能否用从基本事实出发，对它们进行证明？。三、探索活动：1、合作与讨论证明：等腰三角形的两个底角相等。2、思考与讨论怎样证明：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。3、通过上面两个问题的证明，我们得到了等

3、腰三角形的性质定理。定理：，（简称：）定理：，（简称：）4、你能写出上面两个定理的符号语言吗？（请完成下表）文学语言图形符号语言等边对等角在abc中；。三线合一在abc中，abac（1）badcad，。（2）bdcd，。（3）adbc，。5、思考与探索如何证明“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是正确的？要求：（1）写出它的逆命题：。（2）画出图形，写出已知、求证，并进行证明。6、通过上面的证明，我们又得到了等腰三角形的判定定理：。四、体会与交流1、在本节课中，我们用基本事实又证明了哪些定理。（1）；（2）；（3）。2、实际上，我们以前曾学习过很多图形的知识，（如：直角三角形全等，平行四边形、

4、矩形、菱形、正方形、梯形等）。对于这些图形，我们通过动手操作也得到了它们的性质和判定，在今后的学习中，我们将进一步证明它们的正确性。五、随堂练习1、如果等腰三角形的周长为12，一边长为5，那么另两边长分别为。2、如果等腰三角形有两边长为2和5，那么周长为。3、如果等腰三角形有一个角等于50，那么另两个角为。4、如果等腰三角形有一个角等于120，那么另两个角为。5、用三角尺画出一个等腰三角形的对称轴，你有几种画法？（请你画出图形）6、在abc中，a40，当b等于多少度数时，abc是等腰三角形？7、如图，abc中，abac，2条角平分线bd、ce相交于点o，求证：oboc。odecba初三数学教学

5、案课题：等腰三角形的性质和判定（2）学习目标在掌握了等腰三角形的性质定理和判定定理的基础上，探索等边三角形和其它相关知识的证明方法。学习过程一、知识回顾上节课中，我们对等腰三角形的性质定理和判定定理进行了证明，请你写出这些定理。等腰三角形性质定理：（1）；（2）。等腰三角形判定定理：。二、典例分析1、已知：如图eac是abc的外角，ad平分eac，且adbc。abcde求证：abac2、在上图中，如果abac，adbc，那么ad平分eac吗？如果结论成立，你能证明这个结论吗？abcde3、你还能得到其他的结论吗？与同学交流。三、思考与交流1、证明：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

6、（简写为“aas”）2、证明：（1）等边三角形的每个内角都等于60。（2）3个内角都相等的三角形是等边三角形。3、证明：（1）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。（2）到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。四、随堂练习abcde1、如图，在abc中，bc36，adeaed2b，由这些条件你能得到哪些结论？请证明你的结论。2、已知：如图，abc是等边三角形，debc，分别交ab、ac于点d、e。求证：ade是等边三角形。abcde3、求证：如果一个等腰三角形中有一个角等于60，那么这个三角形是等边三角形。五、体会与交流本节课，我们又证明了哪些定理？你掌握了吗？直角三角形

7、全等的判定课型：新授课 课时：2课时第一课时教学目标1、 了解直角三角形是特殊的三角形，除具有一般三角形的全等的判定方法外，还具有特殊的全等判定方法；2、 能证明直角三角形全等的“hl”判定定理；3、 了解特殊的直角三角形（一个角是30）具有一般具有一般直角三角形所没有的特殊性质；4、 学生逐步学会分析的思考方法，发展演绎推理的能力。教学重点1、 证明直角三角形全等的“hl”判定定理 ，体会拼拆的构造方法，运用此法证明直角三角形全等；2、 掌握一个角是30直角三角形的性质；3、 学习分析的思考方法 ，发展演绎推理的能力。教学难点拼合的方法证明“hl”定理。教学方法自主学习，合作探究教学程序设计

8、一、 创设情境问题一：直角三角形全等的条件有哪些？一般三角形全等的判定方法可以判定直角三角形全等，由于直角三角形是特殊的三角形，所以还有一般三角形所没有的特殊性的判定方法。问题二：你认为具备这样条件的两个直角三角形一定全等吗？为什么？即，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等吗？二、 探索活动1、 用操作的方法证实你的猜想（按条件作一个直角三角形，然后相互比较是否一样，合情推理）。2、 如何证明你的结论引导学生根据命题画出图形写出已知、求证已知：如图，在abc和abc中，acb=acb=90，ab=ab,ac=ac,求证：abcabc分析：上节课我们是用什么方法来证明等腰三角形的性质和判

9、定的（把等腰三角形拆分成两个直角三角形，然后证它们全等），那么我们现在根据这两个直角三角形的具备的条件，可以考虑怎样证明它们全等 ？（把两个直角三角形拼合成一个等腰三角形，再运用等腰三角形的性质）引导学生分析证题思路，并完成证明过成。概括直角三角形全等的判定“hl”定理三、 拓展延伸由上图，如果bac=bac=30，那么abb是什么三角形？abc（或abc）的三条边之间有什么关系？如图，如果bac=30，那么bc和ab之间有什么样的数量关系？（bc=ab）你能证明这个结论吗？（就用上面的拼图）四、 课堂巩固1、 用三角尺可以按下面的方法画角平分线：已知aob，在oa、ob上分别取点e、f，使o

10、e=of再分别过点e、f画oa、ob的垂线，这两条垂线相交于点c，画射线o（如图），试证明射线oc平分aob。2、 如图，cdab，beac，垂足分别为d、e，be、cd相交于点o，如果ab=ac，那么图中有几对全等的直角三角形？试证明你的结论。五、 体会与交流1、 我们分别用图形的拆和拼证明了等腰三角形的性质、判定和直角三角形全等判定（hl定理）；2、 本节课我们证明了一般三角形所不具有的直角三角形的特殊的判定定理、特殊的直角三角形的特别性质，你还能列举一些关于特殊与一般的例子吗？六、 作业课堂作业：课本第12页习题1.2第1、2题课外作业：学习指导用书23页 直角三角形全等的判定课型：新授

11、课 课时：2课时第二课时教学目标1、 能证明角平分线的性质定理及逆定理、三角形的三条角平分线交于一点（三角形的内心）；2、 从简单的数学例子中体会反证法的含义；3、 逐步学会分析的思考方法，发展演绎推理的能力。教学重点1、 理角和运用角平线分的性质定理及逆定理；2、 理解三角形的角平分线交于同一点；3、 学习分析的思考方法。教学难点1、 理解和运用角平分线的性质定理及逆定理、三角形的角平分线交于同一点；2、 体会反证法的含义。教学方法自主学习、合作探究教学过程设计一、 创设情境问题一：你能用折纸的方法说明“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”吗？角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称

12、轴，折叠得到的折痕（垂线段）重合，因而相等；问题二：你还能用什么方法说明这个结论是正确的？证明的方法，并引导学生根据命题画图，写已知求证，用分析的思考方法探求证题思路，对学生进行证题过程书写训练。已知：如图，oc是aob的角平分线，p是角平分线上的一点，pdoa于d，peob于e，求证：pd=pe二、 探索活动问题一：“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”的逆命题是什么？试着说说看。在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上（让学生体会构造一个命题的逆命题，也是获得数学结论的一个途径）问题二：你认为这个逆命题是真命题吗？如果是真命题，如何证明？引导学生画图，写已知、求证，

13、让学生自己完成证明已知：如图，点p是aob内部的一点，pdoa于d，peob于e，且pd=pe，求证：点p在aob的平分线上提示：连结op证明op是aob的平分线上问题三：在角的外部，有没有到角的两边距离相等的点？（角平分线的反向延长线上的点或这个角的邻补角的角平分线上的点都是到角的两边的距离相等的点）问题四：“如果一个点到角的两边的距离不相等，那么这个点不在这个角的平分线上”你认为这个结论正确吗？如果正确，你怎样说明它的正确性？（让学生体会反证法的思想）三、 例题教学如图，abc的角平分线ad、be相交于点o，点o具有什么样的性质？能证明你的结论吗？从上面的证明我们还能发现什么？我们可以概括

14、一下我们发现的结论吗？到三角形的三边的距离相等，运用三角形的角平分线的性质，点也在bca的角平分线上，即点o是abc三条角平分线的交点，三角形的三条角平分线交于同一点（定理），这点到三角形三边的距离相等，我们把这个点叫做三角形的内心。四、 巩固训练课本p11练习已知：如图，在abc中，c=90，点d在bc 上，de垂直平分ab，且de=dc.求b的度数 五、 体会与交流1、 本节课我们证明了角平分线的性质定理和逆定理，从中我们可以发现图形的位置关系与数量关系的内在联系。你能举例说明这种内在联系吗？2、 你认为“在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等”这个结论成立吗？如果

15、成立，你能证明吗？六、 作业课堂作业：课本p12习题1.2第3、4题课外作业：学习指导书p56 1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（1）学习目标1、会证明平行四边形的性质定理及其相关结论2、能运用平行四边形的性质定理进行计算与证明3、在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步发展推理论证的能力教学重、难点重点：平行四边形的性质证明 表达格式的逻辑性 完整性 精炼性难点：分析 综合 思考的方法教学过程一、情境创设根据我们曾经探索得到的平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，填写下表：平行四边形矩形菱形正方形对边平行对边相等四边相等对角相等4个角是直角对角线互相平分对角线相等对角线互相垂直

16、两条对角线平分两组对角从上面的几种特殊四边形的性质中，你能说说它们之间有什么联系与区别吗？如图，图中有_个平行四边形。二、合作交流活动1、上表中平行四边形的性质中，你能证明哪些性质？活动2、你认为平行四边形性质中，可以先证明哪一个？为什么?活动3、证明定理“平行四边形对角线互相平分”。已知，如图，在平行四边形abcd中，对角线ac、bd相交于点o，求证：ao=co，bo=do思考与表达怎样想 怎样写要证ao=co，bo=do只需证aobcod只需证ab=cd只需证abccda由此证明过程，同时也证明了定理“平行四边形对边相等”、“平行四边形对角相等”，这样我们可得平行四边形的三条性质定理：平行

17、四边形对边相等。平行四边形对角相等。平行四边形对角线互相平分。例1 ：已知：如图， abcd中，e、f分别是ad、bc的中点。求证：be=df分析：可根据证明abecdf得到结论。若将例1中的“e、f分别是ad、bc的中点”改为“ae=ad，cf=bc”，是否还能得到同样的结论？练习：p15 （2）例2、 证明“夹在两条平行线之间的平行线段相等”分析：根据命题先画出相应图形，再由命题与所画图形写出已知、求证，最后根据已知条件写出证明过程。例3如图，四边形abcd是平行四边形，点f在ba的延长线上，连结cf交于ad点e求证：(1)cdefae(2)当e是ad的中点，且bc=2cd时，求证：f=b

18、cf证明: （1）四边形abcd为平行四边形ab cd，d=eafdec=aef，cdefae （2）cdefaee是ad的中点af=dcad=bc, bc=2cdad=2afae=aff=aefadcb，aef=bcff=bcf说明 平行四边形能带来平行线、等角，从而为得到比例线段、相似三角形创造了条件，也就为利用相似解决问题带来了方便.练习：1、已知：如图，在平行四边形abcd中，ab8cm，bc10cm，c1200，adchb1200求bc边上的高ah的长；求平行四边形abcd的面积2、如图，平行四边形abcd中，ab=3，bc=5，ac的垂直平分线交ad于e，则cde的周长是（ ）a6

19、 b8 c9 d10三、分层训练1abcd的周长为50cm，且ab: bc = 3:2，则ab=_cm，bc=_cm.；2已知abcd中，ab=8，bc=10，b=45, abcd的面积为_.3.在中,ab=ac=5,d是bc上的点,deab交ac于点e,dfac交ab于点f,那么四边形afde的周长是 （ ）a. 5 b. 10 c. 15 d. 20 4.延长平形四边形abcd的一边ab到e，使bebd，连结de交bc于f，若dab120，cfe135，ab1，则ac 的长为（ ）（a）1（b）1.2（c）（d）1.55.如图，四边形abcd是平行四边形，对角线ac、bd相交abcdo于点

20、o，边ab可以看成由_平移得来的，abc可以看成由_绕点o旋转_得来；6.平行四边形abcd的两条对角线ac与bd相交于o，已知ab=8， bc=6，aob的周长为18，求aod的周长。7.已知：如图，abcd中，bd是对角线，aebd于e，cfbd于f. 求证：be=df.四、小结引导学生自我归纳总结1、平行四边形对边相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分。2、是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心。3、平行线之间的距离处处相等。五、课堂检测 六、教后感1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（2）教学目标：1.使学生能应用矩形定义、性质等知识，解决有关问题,进一步培养学生的

21、逻辑推理能力。2. 能将矩形的判定定理和性质定理综合应用,激发学生的探索精神教学重点：矩形的本质属性教学难点：矩形性质定理的综合应用教学过程：知识回顾：1、 _叫矩形，(八上p117)由此可见矩形是特殊的_因而它且有上节课我们证明过的平行四边形性质_这三个性质 。2、证明： 矩形的四个角都是直角 如图：已知_求证：_ 图形：画在下面方框内2、 证明 ： 矩形对角线相等如图：已知_求证：_ 图形：画在下面方框内新授内容观察能力训练如图 矩形abcd，对角线相交于e，图中全等三角形有哪些？准备说说看。将目光锁定在rtabc中，你能看到并想到它有什么特殊的性质 吗？现在我们借助于矩形来证明“直角三角

22、形斜边上的中线等于斜边的一半。”（如何证明？）例1图 例1 、已知：如图，矩形abcd的两条对角线相交于点o，且ac=2ab.求证：aob是等边三角形分析：利用矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，结合“ac=2ab”即可证得。本题若将“ac=2ab”改为“boc=120”，你能获得有关这个矩形的哪些结论？练习：p16页 1、2例2、如图 在矩形abcd中，be平分abc，交cd于点e，点f在边bc上， 如果feae，求证fe=ae。 如果fe=ae 你能证明 feae吗？练习：1、已知：如图，矩形abcd的两条对角线相交于点o，aod120，ab4cm，求矩形对角线的长？2、如图 bd，c

23、e 是abc的两条高，m是bc的中点，求证 me=md 四、分层训练1.已知，在矩形abcd中，aebd，e是垂足，daeeab=21，求cae的度数。2.在矩形abcd中，对角线ac，bd相交于点o，若对角线ac=10cm，边bc=8cm，则abo的周长为_3.如图1，周长为68的矩形abcd被分成7个全等的矩形，则矩形abcd的面积为（ ）（a）98 （b）196 （c）280 （d）284 （1） (2) (3)4.如图2，根据实际需要，要在矩形实验田里修一条公路（小路任何地方水平宽度都相等），则剩余实验田的面积为_ _5.如图3,在矩形abcd中，m是bc的中点，且mamd若矩形abc

24、d的周长为48cm，则矩形abcd的面积为_cm26.已知，如图，矩形abcd的对角线ac，bd相交于点o，e，f分别是oa，ob的中点 （1）求证：adebcf；（2）若ad=4cm，ab=8cm，求of的长7.如图，在矩形abcd中，已知ab=8cm，bc=10cm，折叠矩形的一边ad，使点d落在bc边的中点f处，折痕为ae，求ce的长8.阅读下列过程: 如图，小肖过ab，cd的中点画直线ef，把矩形abcd分割成甲、乙两部分 如图，小徐过a，c两点画直线ac，把矩形abcd分割成丙、丁两部分 回答下列问题： （1）填空：s甲_s乙，s丙_s丁（填“”或“”或“”）； （2）根据小肖、小徐

25、的分割原理，你还能探索出其他的分割方法吗？请在图中任意给出一种；（3）由本题的操作过程，你发现了什么规律？9.如图4,先将一矩形abcd置于直角坐标系中，使点a与坐标系的原点重合，边ab、ad分别落在x轴、y轴上（如图所示），再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30（如图所示），若ab=4，bc=3，则图和图中，点b的坐标为_，点c的坐标为_10.如图，在矩形纸片abcd中，ab=3，bc=6，沿ef折叠后，点c落在ab边上的点p处，点d落在点q处，ad与pq相交于点h，bpe=30 （1）求be、qf的长（2）求四边形pefh的面积五、小结从位置、形状、大小等不同的角度，观察和比较平

26、行四边形、矩形的对角线把它们分成的三角形的异同，发现并应用直角三角形的判定证明矩形的特殊性质；反过来，我们又利用矩形的性质证明“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”。六、思考.如图所示，rtabc中，c=90，ac=12，bc=5，点m在边ab上，且am=6 （1）动点d在边ac上运动，且与点a、c均不重合，设cd=x 设abc与adm的面积之比为y，求y与x之间的函数关系式（写出自变量x的取值范围）； 当x取何值时，adm是等腰三角形？写出你的理由 （2）如图，以图中的bc、ca为一组邻边的矩形acbe中，动点d在矩形边上运动一周，能使adm是以amd为顶角的等腰三角形共有多少个？（直接

27、写出结果，不要求说明理由）1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（3）教学目标1、会归纳菱形的特性并进行证明2、能运用菱形的性质定理进行简单的计算与证明3、在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步发展推理论证的能力，进一步体会证明的必要性教学重、难点重点：菱形的性质定理证明难点：性质定理的运用 生活数学与理论数学的相互转化教学过程：情境创设1将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形? (同桌互相帮助。) 2探索。 请你作该菱形的对角线，探索菱形有哪些特征，并填空。 (从边、对角线入手。) (1)边：都相等； (2)对角线：互相垂直。 (学生通

28、过自己的操作、观察、猜想，完全可以得出菱形的特征，这对学生来说是富有意义的活动，学生对此也很感兴趣。) 问题：你怎样发现的?又是怎样验证的? (可以指名学生到讲台上讲解一下他的结果。) 3概括。 菱形特征1：菱形的四条边都相等。 菱形特征2：菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。 引导学生剖析矩形与菱形的区别。 矩形的对边平行且相等，四个角都是直角，对角线相等且互相平分；菱形的四条边都相等，对边平行，对角相等，对角线互相垂直平分，每条对角线平分它的一组对角。 4请你折折，观察并填空。(引导学生归纳。) (1)菱形是不是中心对称图形?对称中心是_。 (2)是不是轴对称图形?对称

29、轴有几条?_。二、合作交流问题一 观察平行四边形和菱形的对角线把它们所分成的三角形，你有何发现？（引导学生不断地学会从多个角度观察、认识图形，主动地发现和获得新的数学结论，不断地积累数学活动的经验）问题二 证明：菱形的4条边都相等。 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。分析：第一条定理可先用“两组对边分别相等”证明平行四边形，再利用一组邻边相等得证；第二条定理可利用“三线合一”证得。问题三 已知菱形的两条对角线长分别为6和8，由此你能获得有关这个菱形的哪些结论？（可得到边长为5；面积为24）你认为菱形的面积与菱形的两条对角线的长有关吗？如果有关，怎样根据菱形的对角线的计算它的面

30、积？由此可得：菱形的面积等于它的两条对角线长的积的面积。例 1、 如图3个全等的菱形构成的活动衣帽架，顶点a、e、f、c、g、h是上、下两排挂钩，根据需要可以改变挂钩之间 的距离(比如ac两点可以自由上下活动)，若菱形的边长为13厘米，要使两排挂钩之间 的距离为24厘米，并在点b、m处固定，则b、m之间的距离是多少？ 练习p18 1、2例2、 已知：如图，四边形abcd是菱形，g是ab上任一点，df交ac于点e。 求证：agd=cbe练习：1、如图，在菱形abcd中，e、f分别是ab、cd的中点，如果ef=2，那么abcd的周长是（ d ）a4 b8 c12 d162、如图，已知菱形的两条对角

31、线长为，你能将菱形沿对角线分割后拼接成矩形吗？画图说明（拼出一种图形即可）；在此过程中，你能发现菱形的面积与，的关系吗？ 拼法（1）拼法（2）或结论：菱形的面积等于两对角线乘积的一半3、己知：如图，菱形abcd中，b=600，ab4，则以ac为边长的正方形acef的周长为 .四、分层训练1已知菱形的周长为16cm，则菱形的边长为_cm2已知四边形abcd是菱形，o是两条对角线的交点，ac=8cm，db=6cm，菱形的边长是_cm3已知菱形的边长是5cm，一条对角线长为8cm，则另一条对角线长为_cm4菱形abcd的周长为40cm，两条对角线ac：bd=4：3，那么对角线ac=_cm，bd=_c

32、m5如图，四边形abcd是菱形，abc=120，ab=12cm，则abd的度数为_，dab的度数为_；对角线bd=_，ac=_；菱形abcd的面积为_6菱形的两条对角线把菱形分成全等的直角三角形的个数是（ ） （a）1个 （b）2个 （c）3个 （d）4个7如图，在菱形abcd中，ceab，e为垂足，bc=2，be=1，求菱形的周长和面积五、小结菱形的对角线把菱形分成等腰三角形和直角三角形，所以解决菱形问题，常常可以转化为等腰三角形或直角三角形问题。六、作业七、教后感1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（4）教学目标1、会归纳正方形的特性并进行证明2、能运用正方形的性质定理进行简

33、单的计算与证明3、在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用4、在比较、归纳、总结的过程中，进一步体会特殊与一般之间的辩证关系教学重、难点重点：经历观察、实验、猜想、证明等活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力难点：有条理地、清晰地阐述自己的观点教学过程：一、情境创设 这是一个流传在世界各地的故事，三姐妹的父亲是一位慈祥的阿拉伯老人。一天，老人不幸去世，临终，老人留给三个女儿一件珍贵的传家宝一块五色斑斓的正方形地毯，深爱父亲的女儿们都想得这块地毯，以作纪念。大姐想出了一个好办法：“把它裁成三个小正方形地毯，为了不使地毯剪得过于零碎，最好只剪成4块

34、，其中两块是正方形，另外两块可以拼成一个正方形。”聪明的你能想出一个巧妙的剪法，符合大姐的设想吗？二、合作交流探索正方形的性质（1）边的性质： ；（2）角的性质： ；（3）对角线的性质： ；（4）对称性： 。例1、 已知：如图，正方形abcd的对角线ac、bd相交于点o；正方形abcd的顶点a与点o重合，ab交bc于点e，ad交cd于点f，e是bc的中点。（1）求证：f是cd的中点（2）若正方形abcd绕点o任意旋转某个角度后，oe=of吗？分析：（1）方法一ob=oc,e是bc的中点oebc,oec=90eaf=ecf=90ofc=90oc=odf是cd的中点方法二 eaf=90,acbd

35、eoc+cof=dof+cof=90eoc=dof 又oc=od,oce=odf=45oceodf(asa)df=ce=bc=cd,即f是cd的中点。（2）证明方法同前方法二。由（1）、（2）可以得到什么结论？（无论正方形abcd绕点o旋转并与正方形abcd分别交bc、cd于点e、f，总有oe=of，be=cf，ec=fd，两个正方形的重叠部分的面积始终等于正方形abcd面积的四分之一等等）练习（第18题）a1a2a3a4如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点a1、a2、an分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为（ ）acm2 bcm2 ccm2 d cm2cb

36、eadf例2、已知，在正方形abcd中，e是bc的中点，点f在cd上，faebae.求证：afbc+fc. 例3、求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。例4、已知正方形abcd。（1）如图1，e是ad上一点，过be上一点o作be的垂线，交ab于点g，交cd于点h，求证：begh；（2）如图2，过正方形abcd内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交ad、bc于点e、f，交ab、cd于点g、h，ef与gh相等吗？请写出你的结论；（3）当点o在正方形abcd的边上或外部时，过点o作两条互相垂直的直线，被正方形相对的两边（或它们的延长线）截得的两条线段还相等吗？其中一种情形如图

37、3所示，过正方形abcd外一点o作互相垂直的两条直线m、n，m与ad、bc的延长线分别交于点e、f，n与ab、dc的延长线分别交于点g、h，试就该图对你的结论加以证明。练习：1、（2006年潍坊市）如图7，边长为1的正方形abcd绕点a逆时针旋转30到正方形abcd，图中阴影部分的面积为（ ）a b c1- d1- 2、已知：如图，正方形abcd的周长为4a，四边形efgh四个顶点e、f、g、h分别在ab、bc、cd、da上滑动，在滑动过程中，始终有ehbdfg，且ehfg，那么四边形efgh的周长是否可求？若能求出，它的周长是多少？若不能求出，请说明理由三、分层训练 1、如图，正方形abcd

38、中，ab=1，点p是对角线ac上的一点，分别以ap、pc为对角线作正方形，则两个小正方形的周长的和是_。epdcbaf_f_e_d_c_b_a2、如图,正方形abcd中,daf=25,af交对角线bd于e,交cd于f, 则bec= 度.3、如图：正方形abcd中，ac=10，p是ab上任意一点，peac于e，pfbd于f，则pe+pf= 。可以用一句话概括：正方形边上的任意一点到两对角线的距离之和等于d 。obmcoona4、如图,正方形abcd中,点e在bc的延长线上，ae平分dac,则下列结论:（1）e=22.50. (2) afc=112.50. (3) ace=1350（4）ac=ce

39、(5) adce=1. 其中正确的有（ ）（a）5个 （b）4个 （c）3个 （d）2个5、如图，在正方形abcd的边bc上任取一点m，过点c作cndm交ab于n，设正方形对角线交点为o，试确定om与on之间的关系，并说明理由四、小结1.正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如下图。（请填写它们之间的关系）（2）正方形的性质：正方形对边平行。正方形四边相等。正方形四个角都是直角。正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形。正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对（3）本节课我们把探索和解决问题的思路、方法、结论，从特殊情形逐步推广到一般的情形，从而得到一般的结论，这也是我们获得数学结论的

40、一种重要的思想方法。五、课堂检测六、教后感1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（5）教学目标1、会证明平行四边形的判定定理，结合具体命题了解反证法2、能运用平行四边形的判定定理及反证法进行简单的计算与证明3、能运用平行四边形的性质与判定定理进行比较简单的综合推理与证明4、初步体会证明过程中的反证法的思想及其说理的过程教学重、难点重点：平行四边形判定定理的证明，反证法难点：用反证法证明教学过程：一、情境创设回忆我们曾探索得到的一个四边形是平行四边形的条件，填写下表：条 件结 论四边形abcd，对角线ac、bd相交于点o四边形abcd是平行四边形二、合作交流问题一 你能证明我们曾探索

41、得到的平行四边形的判定方法是正确的吗？证明：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。分析：先根据命题画出图形，再写出已知、求证，最后用研究平行四边形常见的辅助线“连结对角线”证三角形全等，得到两组内错角相等，由平行线证出平行四边形。问题二 证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。问题三 你认为“一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形”这个结论正确吗？为什么？问题四 你认为“在四边形abcd中，如果oa=oc，obod，那么四边形abcd不是平行四边形”这个结论正确吗？为什么？分析：假设四边形abcd是平行四边形，那么oa=oc，ob=od，这与条件obod矛盾，所以四边形abcd不

42、是平行四边形。假设条件成立，结论不成立，然后由这个“假设”出发推导出与条件矛盾的结果，从而证明结论一定成立，这种证明方法叫做反证法。例1 已知：如图，在abcd中，对角线ac、bd相交于点o，aebd，cfbd，垂足分别为e、f。 求证：四边形aecf是平行四边形。练习：p20页 拓展与延伸及练习1、2例2、如图，已知e为平行四边形abcd中dc边的延长线上的一点，且ce=dc，连结ae，分别交bc、bd于点f、g，连结ac交bd于o，连结of.求证：ab=2of. 说明 能用平行四边形的知识解决的问题，不必用三角形的知识解决，这样更简便.练习1如图，平行四边形abcd中，ef为边ad、bc上

43、的点，且ae=cf，连结af、ec、be、df交于m、n，试说明：mfne是平行四边形2.如图：已知在abc中，ab=ac，d为bc上任意一点，deac交ab于e，dfab交ac于f，求证：de+df=ac3.平行四边形abcd中，e、 g、f、h分别是四条边上的点，且ae=cf，bg=dh求证：ef和gh互相平分4.已知：如图，在平行四边形abcd中，连结bdmednf1题cbaabcd第2题第4题求作：a的平分线ae交bc于e，交bd 于f；（要求用尺规作图，不写作法和证明）求证：abbe； 三、分层训练：1.已知adbc，要使四边形abcd为平行四边形，需要增加条件 （只需填一个你认为正

44、确的条件即可）. 2.已知：abcd的周长是30cm，对角线ac，bd相交于点o，aob的周长比boc的周长为5cm ，则这个平行四边形的各边长为.3.如图，在abcd中，efbc，ghab， ef、gh的交点p在bd上，则图中有 对四边形面积相等；它们是 4.abcd中，过o点的直线ef分别交ad、cb于e、f，ab2.4，bc=4,oe=1.1,则四边形cdef的周长为_.5.abcd中，ac、bd的长满足方程，则cb的长的取值范围为 .6、如图，在abcd中，dab=60，点e、f分别在cd、ab的延长线上，且ae=ad，cf=cb(1)求证：四边形afce是平行四边形 (2)若去掉已知条件的“dab=60，上述的结论还成立吗?若成立，请写出证明过程； 若不成立，请说明理由四、小结1.从边与边的关系:两组对边分别平行一组对边平行且相等一组对边平行且相等 的四边形是平行四边形。两组对边分别相等 2.从角与角的关系: 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。3.从