[理学]高等数学公式总结

1、高等数学复习公式 高等数学总结导数公式：基本积分表：（不定积分） 则： （其中） 定积分：几个延伸：还有一个推广（见微积分学教程）：当u,v都是非负整数时 若 则： 若 ，则： ，特别地，定积分的性质公式：周期函数的定积分性质公式与偶倍奇零的性质可直接看书。变函公式： 推论： 变限公式： 推论： 化一公式：对称区间求积公式：对折区间公式：常数化公式：推论： 三角函数的有理式积分：（万能公式法）一些初等函数： 两个重要极限：双曲函数重点： 双曲正弦曲线 双曲余弦曲线 y = sh x y = ch x 双曲正切曲线 双曲余切曲线y = th x y = cth x 基本关系式：和差的双曲函数:

2、双曲函数的和差: 倍（半）元公式：德莫弗公式：双曲函数与三角函数的关系：微分公式： 积分公式：反双曲正弦曲线 反双曲余弦曲线 反双曲正切曲线 反双曲余切曲线 ：三角函数公式：和差角公式： 和差化积公式： 倍角公式：半角公式：高阶导数莱布尼兹（leibniz）公式：更一般的：高阶导数公式的线性复合定理：若y=(kx+b),则有 简单函数的高阶导数公式：（注意：如果是中间的某种格式，也可以运用公式简化计算） 微分学中常用的一些定理：定理l：(有界性与最大值最小值定理) 在闭区间上连续的函数在该区间上有界且-定能取得它的最大值和最小值.定理2：(零点定理) 设函数f (x)在闭区间a. b 上连续，

3、且f (a) 与f (h)异号(即f (a). f(b) 0) ，那么在开区间(a,b) 内至少有一点, 使 f ()=0.定理3: (介值定理) 设函数f(x)在闭区间a, b上连续，且在这区间的端点取不同的函数值f(a)=a 及f(b)=b,那么，对于a 与b 之间的任意-个数c ，在开区间（a,b）内至少有一点使得f) = c (ab). 推论:在闭区间上连续的函数必取得介于最大值m 与最小值m 之间的任何值. 定理4：（费马引理）设函敛f(x)在点xo的某邻域u(xo)内有定义，并且在xo 处可导，如果对任意的xu(xo)， 有f(x)f(xo) ( 或f(x) f(xo) ，那么f

4、(xo) = 0.定理5：（罗尔定理）如果函数f(x) 满足，(1) 在闭区间a,b上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;(3)在区间端点处的函数值相等，f(a)=f(b) ,那么在(a,b)的内至少有一点 (ab)，使得f()=0.定理6：（拉格朗日中值定理）如果函数f(x)满足，（1 )在闭区间a,b上连续;(2)在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b) 内至少有-点(n 时f(x) 与f(x) 都存在，且f(x) 0;(3) 存在(或为无穷大),那么， 单调性与凹凸性的判别：曲率：等价无究小： 常见等价无穷小： 泰勒展开： 常见的级数展开： 渐近线的求法：一些重要函数的图象：定积分的

5、应用： 空间解析几何和向量代数：三重矢积：多重积的几个公式： 多元函数微分法及应用微分法在几何上的应用：方向导数与梯度：倒数性质：重积分的元素代换： 二重积分的换元法： 多元函数的极值及其求法：重积分及其应用：柱面坐标和球面坐标：利用曲面的参数形式求面积元素：若曲面s由参数方程 曲线积分：第一类积分的本质算法是元素代换，再化成重积分曲面积分：高斯公式：斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：常数项级数：级数审敛法：（注意其复数形式为u变成了reu）绝对收敛与条件收敛：幂级数：函数展开成幂级数：三角级数：傅立叶级数： 周期为的周期函数的傅立叶级数：几种常见的展开：微分方程的相关概念：一阶线性微分方

6、程：二阶线性方程的单一齐次根解法二阶线常微分方程的一般形式为：（1） 其对应的齐次线性微分方程为： 现介绍如果知道了它的一个齐次方程方程的特解，来求其通解的方法。有三种方法，其中涉及数学原理的部分不作证明，只介绍其中的操作部分。数学原理部分可参看同济版高等数学（第六版上册）中微分方程的部分（大约位置是p328p331)。 首先以一个求第二个线性无关的齐次根的引理为基础。 引理：如果齐次二阶线性微分方程有一个特解，则其必有另一与之线性无关的特解，其中 方法一：公式法可直接利用下列公式求非齐次的解： 其中，w是朗斯基行列式， 方法二 ：双根变易系数法 在知道一根的情况下，由引理可知另一根，分别记为

7、 ，；设所求根为 只要满足下列的方程的，即可，方程为 以此求出,得出通解。方法三：单根变易系数法 若知道一个齐次解，可令 则原方程可化为： 可令，以此来解出来，最终得到了通解， 事实上，若，则有： 令，则 ， 有： 解之锝： 故知必有一线性无关的特解： 这也验证了前面的引理。 全微分方程：二阶微分方程：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*)式的通解两个不相等实根两个相等实根一对共轭复根n阶常系数齐次线性方程：的解法：求出特征根方程的解，根据特征根的情况写出通解中的对应项：特征根方程的根微分方程通解中的对应项单实根r一项：k重实根rk项：一对单共轭复根两项：一对k重共轭复根2k项：由于n次代

8、数方程有n个根，而每一个根对应着通解中的一项，且每一项各含一个任意常数，这样就得到n阶常系数齐次线性方程的通解是：。n阶齐次线性方程有且仅有n个线性无关的解。1. 二阶常系数非齐次线性方程：是实常数。是指数函数、多项式函数、三角函数或者是它们的乘积。将方程右边非齐次项分解成几个容易求解的部分的和，利用线性叠加原理，再分成几个子方程求解。具体方程求解方法是：，其中是x的n次多项式，是常数，特解是，其中是与同次（n次）的多项式，而k按是特征根方程根的重数分别取0、1、2（即不是特征根方程的根k取0，是特征根方程的单根k取1，是二重根k取2）。此结论可推广到n阶常系数非齐次线性方程，但须注意k是特征根方程的根的重复次数（即若不是特征根方程的根k取0，是特征根方程的m重根k取m）。的特解可设为其中，是x的m次多项式，k是特征根方程中含根的重复次数，可推广到n阶。2. 解微分方程时，若是齐次的只有通解；若是非齐次的就先解出方程对应的齐次方程的通解，再求出非齐次的特解，二者相加即为非齐次方程的解。非齐次方程的两个解相减就是对应的齐次方程的解。例：设是某二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解，则该方程是_。解：是其对应得齐次方程的解，则特征方程的根是，特征方程是，设方程为，将代入得：，原微分方程为。解欧