[理学]实验八

1、实验八 离散lti系统 8.1 matlab函数conv目的 学习利用conv函数计算离散卷积。基本题1已知如下有限长序列 用解析法计算。解：x=1 1 1 1 1 1;y=conv(x,x)2利用conv计算的非零样本值，并将这些样本存入向量y中。第一步应定义包含在区间内的样本的向量x，同时应构造向量ny，ny(i)包含存在向量y中的的n个元素样本的序号，也即。例如ny(1)应包含。利用stem(ny,y) 画出所得结果。解：x=1 1 1 1 1 1;y=conv(x,x)stem(y);3已知如下有限长序列 先用解析法计算。然后用conv计算y，用stem画出这一结果。如果将看作一个lt

2、i系统的单位冲激响应，是该系统的输入，是该系统的输出。解： x=1 1 1 1 1 1;h=0 1 2 3 4 5;y=conv(x,h);stem(y);4将与在3中导出的信号比较，结果怎样？解：结果相等，只是位置发生了变化 5利用conv计算，利用stem画出。解：x=1 1 1 1 1 1;h=ar(-5) ar(-4) ar(-3) ar(-2) ar(-1) ar(0);y2=conv(x,h);k=-5:5;stem(k,y2);8.2 matlab函数filter目的 学习利用filter函数计算离散因果lti系统在某一给定输入时的输出。基本题1求解由差分方程表征的系统，当输入信

3、号时，在区间内的响应。解：a=1 -0.8;b=0 2;x=1 2 3 4;y=filter(b,a,x)2已知和，利用filter求。并与conv计算结果相比较。解：a=1 0 0 0 0 0;b=0 1 2 3 4 5;x=1 1 1 1 1 1;y=filter(b,a,x)3考虑冲激响应，利用filter计算，并用stem画出所得结果。解：function y=ar(n);if n=0 y=5;elseif n=-1 y=4;elseif n=-2 y=3;elseif n=-3 y=2;elseif n=-4 y=1;else y=0;end;a=1 0 0 0 0 0;b=ar(-

4、5) ar(-4) ar(-3) ar(-2) ar(-1) ar(0);x=1 1 1 1 1 1;k=-5:0;y=filter(b,a,x);stem(k,y);8.3 离散时间lti系统的性质目的 在这个练习中，将对一组特定的信号检验卷积的交换律、结合律和分配律性质。另外还要考查这些性质对于lti系统的级联和并联意味着什么。基本题1已知信号 定义代表区间内的的matlab向量x1，以及代表在区间内的和的matlab向量h1和h2。同时，定义nx1和nx2为这些信号合适的标号向量。利用stem画出这些信号并作适当标注。解：x1=1 1 1 1 1 0 0 0 0 0;h1=1 -1 3

5、1;h2=2 5 4 -1;subplot(1,3,1);stem(x1);subplot(1,3,2);stem(h1);subplot(1,3,3);stem(h2);2交换律意味着具有单位冲激响应的lti系统，在输入为时所得到输出与单位冲激响应为，在输入为时所得的输出是一样的，利用conv以及x1和h1验证这一性质。conv的输出是与卷积次序无关吗？解：x1=1 1 1 1 1 0 0 0 0 0;h1=1 -1 3 1;h2=2 5 4 -1;y1=conv(x1,h1);y2=conv(y1,h2)y3=conv(x1,h2);y4=conv(h1,y3)结果分析：conv的输出与卷

6、积次序无关3卷积具有分配律性质，这意味着，两个并联系统的输出与单位冲激响应是该并联系统单位冲激响应之和的系统的输出是相同的。利用x1，h1和h2验证分配率性质。当输入为时，用单位冲激响应为和计算lti系统的输出的和。将结果与输入为，单位冲激响应为的lti系统的输出进行比较。解：x1=1 1 1 1 1 0 0 0 0 0;h1=1 -1 3 1;h2=2 5 4 -1;y1=conv(x1,h1);y2=conv(x1,h2);a1=y1+y2y3=h1+h2;y4=conv(x1,y3)4卷积具有结合律性质，这意味着用lti系统的级联处理一个信号所得的结果等效于一个系统来处理，该系统的单位冲

7、激响应应是全部级联系统中单个冲激响应的卷积。用x1，h1和h2验证结合律性质。解：x1=1 1 1 1 1 0 0 0 0 0;h1=1 -1 3 1;h2=2 5 4 -1;y1=conv(x1,h1);y2=conv(y1,h2)y3=conv(h1,h2);y4=conv(x1,y3)中等题5假定系统有单位冲激响应为和，这里是一个整数，令和是这两个系统当输入为时的输出。利用交换律性质证明：如果每个系统的输入与单位冲激响应互换的话，输出是相同的。并基于时不变性质证明。利用matlab确认当，输入为。解： x1=1 1 1 1 1;h1=1 -1 3 1;y1=conv(x1,h1)6考虑以

8、级联联接的两个系统，分别称系统1和系统2。假设系统1是无记忆的，且其输入/输出关系为；系统2是lti系统，其单位冲激响应为，当输入为时研究这两个系统的级联是否满足结合律性质。解：x1=1 1 1 1 1 0 0 0 0 0;hf2=1 -1 3 1;y=1 2 3 4 5 0 0 0 0 0;y1=conv(y,hf2)k=length(hf2);k1=0:k-1;y3=(k1+1).*hf2;y4=conv(x1,y3)结果分析：当输入为时，这两个系统的级联不满足结合律性质7考虑系统1和系统2的并联性质。系统1是一个无记忆系统，其输入/输出关系为表征；系统2是lti系统，其单位冲激响应为，当

9、输入为时研究这两个系统的并联是否满足分配律性质。解：x=2 0 0 0 0;hg2=2 5 4 -1;y=4 0 0 0 0;y1=conv(x,hg2)y2=y+y1结果分析：当输入为时研究这两个系统的并联不满足分配律性质8.4线性和时不变性目的 在本练习中将更加熟悉系统的线性和时不变的性质。基本题考虑如下3个系统： 系统1： 系统2： 系统3： 其中是每个系统的输入，和是相应的输出。1考虑3个输入，和。对系统1，将对这3个输入的响应存入w1,w2和w3中，向量w1,w2和w3仅需包含在区间内的值。利用subplot和stem在一张图上画出w1,w2，w3和w12w2代表的4种函数的图。对系

10、统2和3也作出类似的图。解：系统1：w1=1 -1 -1 0 0 0;w2=0 1 -1 -1 0 0;w3=1 1 -3 -2 0 0;subplot(1,4,1);stem(w1);subplot(1,4,2);stem(w2);subplot(1,4,3);stem(w3);subplot(1,4,4);stem(w1+2.*w2);系统2：y1=0.54 1 1 1 1;y2=1 0.54 1 1 1;y3=2.54 2.08 3 3 3;subplot(1,4,1);stem(y1);subplot(1,4,2);stem(y2);subplot(1,4,3);stem(y3);su

11、bplot(1,4,4);stem(y1+2.*y2);系统3：z1=0 0 0 0 0;z2=0 1 0 0 0;z3=0 2 0 0 0;subplot(1,4,1);stem(z1);subplot(1,4,2);stem(z2);subplot(1,4,3);stem(z3);subplot(1,4,4);stem(z1+2.*z2);2陈述一下是否每个系统都是线性的。若是线性的，说明理由；若不是，利用1中画出的各信号给出一个反例。解：系统1是线性的，因为其满足叠加性和均匀性；系统2和系统3不是线性的，因为其不满足均匀性 3概述一下是否每个系统都是时不变的。若是，说明理由；若不是，利用

12、1中画出的各信号给出一个反例。解：不是每个系统都是时不变的中等题 在这个练习中，要求用单位冲激响应计算一个lti系统的阶跃响应。有下列先行差分方程定义的两个因果系统： 系统1： 系统2： 这里每个系统都满足初始松弛条件。定义和是系统1和系统2的单位冲激响应。4在区间内计算和，并将它们存入h1和h2中，利用stem画出每个响应。解：a1=1 -3/5;b=1;n=0:19;a2=-3./(5.(19-n);x=1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;h1=filter(b,a1,x);subplot(1,2,1);stem(h1);h2=filter(b,a2

13、,x);subplot(1,2,2);stem(h2);5对每个系统，计算在区间内的单位阶跃响应，并将它们存入s1和s2中，利用stem画出每个响应。解：a1=1 -3/5;b=1;n=0:19;a2=-3./(5.(19-n);x=1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1;s1=filter(b,a1,x);subplot(1,2,1);stem(s1);s2=filter(b,a2,x);subplot(1,2,2);stem(s2);6从实际的角度看，和在都为零。因此h1和h2包含了每个系统单位冲激响应的全部信息。定义和，其中是单位阶跃函数。利用conv

14、计算在区间内的和，并将结果存入z1和z2中。首先须定义一个含有适当区间上的的向量，然后选取由conv(h1,u)和conv(h2,u)产生的一段代表在区间上的样本。因为 已经将两个无限长序列截断了，所以只有conv输出的一部分含有真是的序列值。解：a1=1 -3/5;b=1;n=0:19;a2=-3./(5.(19-n);x=1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;u=1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1;h1=filter(b,a1,x);z1=conv(h1,y);subplot(1,2,1);stem(z1);h2

15、=filter(b,a2,x);z2=conv(h2,y);subplot(1,2,2);stem(z2);7在同一坐标内画出s1和z1。如果这两个nqu信号完全一样，说明为什么本来就能估计到这一相似性。否则说明两者差异之所在。在不同的坐标轴内画出s2和z2，再次解释为何本就可以预期到两个信号之间任何差异或相似性。解：a1=1 -3/5;b=1;n=0:19;x1=1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1;x2=1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;s1=filter(b,a1,x1);h1=filter(b,a1,x2)

16、;z1=conv(h1,y);stem(s1);hold on;stem(z1,r);grid;8.5非因果有限冲激响应滤波器 在本练习中将学习如何实现单位冲激响应具有有限个非零样本的一类因果lti系统。这些lti系统的输入和输出是由下列差分方程所关联： (8.3)基本题1求输入输出满足(8.3)式的lti系统的单位冲激响应。如果系统不是因果的，对n1的值应该怎样？解：b=1 2 3 4;x=1 0 0 0 0 0;y=conv(b,x);stem(y);2假设一lti系统其单位冲激响应仅在内为非零，将它与一个仅在内为非零的信号卷积，该系统的输出也一定是有限长的，设其非零区间为。求用n1到n4

17、来表示n5和n6。解：n1+n3= n5,n2+ n4= n63令为如下有限长信号 为一非因果系统的单位冲激响应 定义matlab向量x和h代表这些信号，用stem画出这些信号。解：function x=ar2(n);if -3=n-1; x(j)=1; else x(j)=0; end;end;n1=0:24;n2=0:14;x=(1/2).n.*heaviside3(n-2);h=heaviside3(n2+2);y=conv(x,h)stem(0:38,y);结果分析：输出之中，前面15个是真实的，后面的都不真实，a=2，b=26，c=-2，d=12，图中中前面15个是真实的，后面的都不

18、真实中等题4对于和，直接利用conv计算内的，并用stem画出。解：n=0:99;h=(0.9).n.*(heaviside3(n)-heaviside3(n-10);x=cos(n.2).*sin(2*pi.*n./5);y=conv(x,h);a=length(y);stem(0:198,y);axis(0 100 -2 3);5设，现将分成两个序列。计算和，这里和分别是的前50个和后50个样本。输出的形式给出。求出合适的值并注意和都是长度为。当和相加在一起时，一般一定有一个两者都不为零的区域。正是这个原因，这种块卷积的方法称为重叠相加法。用这种方法计算，并画出内的，所得结果与4求得的一样

19、吗？解：n=0:99;h=(0.9).n.*(heaviside3(n)-heaviside3(n-10);n1=0:49;x0=cos(n1.2).*sin(2*pi.*n1./5);n2=50:99;x1=cos(n2.2).*sin(2*pi.*n2./5);y0=conv(x0,h);y1=conv(x1,h);y=zeros(1,199);for j=1:109; if j50; y(j)=y0(j); else if j59; y(j)=y0(j)+y1(j-49); else y(j)=y1(j-49); end; end; a=length(y);stem(0:a-1,y);axis(0 100 -2 3);结果分析：k的值为50；所得结果与4求得的一样深入题6写出一个matlab函数来完成重叠相加的快卷积。这个函数应当以单位冲激响应h，数据向量x和分段长度作为输入，而且该函数应