2021年沈阳市大东区高考数学一模试卷（文科）含答案解析

1、2021年辽宁省沈阳市大东区高考数学一模试卷文科一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的1设集合M=0，1，2，N=x|x23x+20，那么MRN=A1B2C0，1D1，22a为正实数，i为虚数单位，那么a=A2BCD13向量，那么3|=A83B63C57D234设Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和，假设a1=2a83a4，那么=ABCD5如图是秦九韶算法的一个程序框图，那么输出的S为Aa1+x0a3+x0a0+a2x0的值Ba3+x0a2+x0a1+a0x0的值Ca0+x0a1+x0a2+a3x0的值Da2+x0a0+x0a

2、3+a1x0的值6如图1，将水平放置且边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使C到C位置折叠后三棱锥CABD的俯视图如图2所示，那么其主视图是A等边三角形B直角三角形C两腰长都为的等腰三角形D两腰长都为的等腰三角形7设变量x，y满足约束条件，那么目标函数z=3x4y的取值范围是A11，3B11，3C11，3D11，38x、y取值如表：x014568y135678从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且=bx+0.6，那么b=A0.95B1.00C1.10D1.159设函数fx=，假设fx的值域为R，那么实数a的取值范围是A，12，+B1，2C，21，+D2，110一个正四棱柱的顶点均在半

3、径为1的球面上，当正四棱柱的侧面积取得最大值时，正四棱柱的底面边长为ABCD111设函数fx=ex+x2，gx=lnx+x23，假设实数a，b满足fa=0，gb=0，那么A0gafbBfbga0Cfb0gaDga0fb12F1、F2分别是双曲线C： =1a0，b0的左、右焦点，过点F1的直线与双曲线C的左、右两支分别交于P、Q两点，|F1P|、|F2P|、|F1Q|成等差数列，且F1PF2=120，那么双曲线C的离心率是ABCD二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分把答案填在答题纸中横线上13过原点向圆x2+y22x4y+4=0引切线，那么切线方程为14在ABC中，AC=AB=4，BC

4、=6，假设点M在ABC的三边上移动，那么线段AM的长度不小于的概率为15假设，那么=16an为各项为正数的等比数列，其中S5=3，S15=21，那么S20=三、解答题：本大题共5小题，共70分解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤17在ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且a+b+ca+bc=3ab求角C；fx=在区间上的值域18某区教育局对区内高三年级学生身高情况进行调查，随机抽取某高中甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高单位：cm，获得身高数据的茎叶图如下图：根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；计算甲班的样本方差；现从乙班身高不低于173cm的同学中选取两人，求身高176

5、cm的同学被抽中的概率19在四棱锥EABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC底面ABCD，G、F分别为EO、EB中点，且AB=CE求证：DE平面ACF；求证：CG平面BDE；假设AB=1，求三棱锥FACE的体积20椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，点，且F2在线段PF1的中垂线上求椭圆C的方程；过点A2，0且斜率为k的直线l与椭圆C交于D、E两点，点F2为椭圆的右焦点，求证：直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值21函数，gx=xlnxax1求函数fx在点4，f4处的切线方程；假设对任意x0，+，不等式gx0恒成立，求实数a的取值的集合M；当aM时，讨论函数hx

6、=fxgx的单调性选修4-1：几何证明选讲共1小题，总分值10分22A如图，ABC内接圆O，AD平分BAC交圆于点D，过点B作圆O的切线交直线AD于点E求证：EBD=CBD求证：ABBE=AEDC选修4-4：坐标系与参数方程23在极坐标系中曲线C的极坐标方程为sin2cos=0，点以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系斜率为1的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；求点M到A，B两点的距离之积选修4-5：不等式选讲24函数fx=|x2|2xa|，aR1当a=3时，解不等式fx0；2当x，2时，fx0恒成立，求a的取值范围2021年辽宁省沈阳

7、市大东区高考数学一模试卷文科参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的1设集合M=0，1，2，N=x|x23x+20，那么MRN=A1B2C0，1D1，2【考点】交、并、补集的混合运算【分析】求出集合M，根据集合的根本运算即可得到结论【解答】解：M=0，1，2，N=x|x23x+20=x|x2或x1，RN=x|1x2，MRN=1，2，应选：D2a为正实数，i为虚数单位，那么a=A2BCD1【考点】复数代数形式的混合运算【分析】根据复数的运算法那么，我们易将化为m+nim，nR的形式，再根据|m+ni|=，我们易构造一

8、个关于a的方程，解方程即可得到a的值【解答】解：=1ai|=|1ai|=2即a2=3由a为正实数解得a=应选B3向量，那么3|=A83B63C57D23【考点】平面向量数量积的运算【分析】直接利用数量积的坐标运算得答案【解答】解：，应选：A4设Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和，假设a1=2a83a4，那么=ABCD【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和【分析】根据a1=2a83a4，求出等差数列的首项与公差的关系，再利用等差数列的求和公式，即可得出结论【解答】解：设等差数列的公差为d，那么a1=2a83a4，a1=2a1+7d3a1+3d，a1=，=应选A5如图是秦九韶算法的一个程

9、序框图，那么输出的S为Aa1+x0a3+x0a0+a2x0的值Ba3+x0a2+x0a1+a0x0的值Ca0+x0a1+x0a2+a3x0的值Da2+x0a0+x0a3+a1x0的值【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图，根据秦九韶算法即可得解【解答】解：由秦九韶算法，S=a0+x0a1+x0a2+a3x0，应选：C6如图1，将水平放置且边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使C到C位置折叠后三棱锥CABD的俯视图如图2所示，那么其主视图是A等边三角形B直角三角形C两腰长都为的等腰三角形D两腰长都为的等腰三角形【考点】简单空间图形的三视图【分析】根据三棱锥的俯视图确定三棱锥的主视图，根据

10、主视图的结构计算腰长即可【解答】解：由俯视图可知，平面CBD平面ABD，那么其主视图如下图，那么为等腰三角形其腰长为=，应选：C7设变量x，y满足约束条件，那么目标函数z=3x4y的取值范围是A11，3B11，3C11，3D11，3【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象根据截距的大小进行判断，从而得出目标函数z=3x4y的取值范围【解答】解：变量x，y满足约束条件，目标函数为：z=3x4y，直线xy+2=0与x+y8=0交于点A3，5，直线x+y8=0与x5y+10=0交于点B5，3，分析可知z在点A处取得最小值，zmin=11，z在点B处取得

11、最大值，zmax=1512=3，11z3，应选：A8x、y取值如表：x014568y135678从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且=bx+0.6，那么b=A0.95B1.00C1.10D1.15【考点】线性回归方程【分析】求出样本中心坐标，代入回归直线方程，即可求解b【解答】解：由题意知，从而代入回归方程有b=1.10，应选C9设函数fx=，假设fx的值域为R，那么实数a的取值范围是A，12，+B1，2C，21，+D2，1【考点】函数的值域【分析】根据分段函数的表达式，判断函数的单调性进行求解即可【解答】解：当x2时，函数fx=2x+a为增函数，那么fxf2=4+a，当x2时，函数fx

12、=logx+a2为增函数，那么fxf2=log2+a2=log+a2=2+a2，要使函数fx的值域为R，那么4+a2+a2，即a2a20，那么a2或a1，应选：A10一个正四棱柱的顶点均在半径为1的球面上，当正四棱柱的侧面积取得最大值时，正四棱柱的底面边长为ABCD1【考点】球内接多面体【分析】设正四棱柱的底面边长为a，高为h，那么2a2+h2=42ah，可得正四棱柱的侧面积最大值，即可求出正四棱柱的底面边长【解答】解：设正四棱柱的底面边长为a，高为h，那么2a2+h2=42ah，ah，当且仅当h=a=时取等号，正四棱柱的侧面积S=4ah4，该正四棱柱的侧面积最大时，h=，a=1，应选：D11

13、设函数fx=ex+x2，gx=lnx+x23，假设实数a，b满足fa=0，gb=0，那么A0gafbBfbga0Cfb0gaDga0fb【考点】函数单调性的性质【分析】先判断函数fx，gx在R上的单调性，再利用fa=0，gb=0判断a，b的取值范围，即可得到正确答案【解答】解：y=ex和y=x2是关于x的单调递增函数，函数fx=ex+x2在R上单调递增，分别作出y=ex，y=2x的图象如右图所示，f0=1+020，f1=e10，又fa=0，0a1，同理，gx=lnx+x23在R+上单调递增，g1=ln1+13=20，g=+23=0，又gb=0，1，ga=lna+a23g1=ln1+13=20，

14、fb=eb+b2f1=e+12=e10，ga0fb应选：D12F1、F2分别是双曲线C： =1a0，b0的左、右焦点，过点F1的直线与双曲线C的左、右两支分别交于P、Q两点，|F1P|、|F2P|、|F1Q|成等差数列，且F1PF2=120，那么双曲线C的离心率是ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】设|F1P|=m，运用双曲线的定义和等差数列的中项的性质可得|F2P|=m+2a，|F1Q|=4a+m，|PQ|=4a，由条件可得QPF2为等边三角形，可得m+2a=4a，解得m=2a，在F1PF2中，由余弦定理可得c=a，由离心率公式计算即可得到所求值【解答】解：设|F1P|=m，由双曲线的定

15、义可得|F2P|=|F1P|+2a=m+2a，由|F1P|、|F2P|、|F1Q|成等差数列，可得2|F2P|=|F1P|+|F1Q|，即有|F1Q|=22a+mm=4a+m，可得|PQ|=4a，由双曲线的定义，可得|F2Q|=|F1Q|2a=m+2a，由F1PF2=120，可得QPF2=60，即有QPF2为等边三角形，可得m+2a=4a，解得m=2a，在F1PF2中，由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|22|PF1|PF2|cos120，即为4c2=4a2+16a222a4a，即有4c2=28a2，即c=a，可得e=应选：D二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分把答

16、案填在答题纸中横线上13过原点向圆x2+y22x4y+4=0引切线，那么切线方程为或x=0【考点】圆的切线方程【分析】求出圆的标准方程，求出圆心和半径，根据直线和圆相切的等价条件进行求解即可【解答】解：圆的标准方程为x12+y22=1，那么圆心为1，2，半径R=1，假设切线斜率k不存在，即x=0时，满足条件假设切线斜率k存在，那么设切线方程为y=kx，即kxy=0，圆心到直线的距离d=1，得|k2|=，平方得k24k+4=1+k2，即k=，此时切线方程为，综上切线方程为：或x=0，故答案为：或x=014在ABC中，AC=AB=4，BC=6，假设点M在ABC的三边上移动，那么线段AM的长度不小于

17、的概率为【考点】几何概型【分析】根据条件作出对应的图象，求出对应的长度，根据几何概型的概率公式进行计算即可【解答】解：假设线段AM的长度不小于，那么M在线段BE，BF，CG，CD上，其中AE=AE=，AH=，FH=1，那么FG=2，三角形的周长l=4+4+6=14，那么BE+BF+CG+CD=142=124，那么线段AM的长度不小于的概率P=，故答案为：15假设，那么=【考点】三角函数的化简求值【分析】根据诱导公式以及二倍角公式化简计算即可【解答】解：，那么=cos2+=2cos2+1=21=，故答案为：16an为各项为正数的等比数列，其中S5=3，S15=21，那么S20=45【考点】等比数

18、列的性质；等比数列的前n项和【分析】设正项等比数列an的公比为q0，可得：S5，S10S5，S15S10，S20S15，成等比数列，即可解出【解答】解：设正项等比数列an的公比为q0，S5=3，S15=21，S5，S10S5，S15S10，S20S15，成等比数列， =S10S5S20S15，解得S10=9，2192=93S2021，解得S20=45故答案为：45三、解答题：本大题共5小题，共70分解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤17在ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且a+b+ca+bc=3ab求角C；fx=在区间上的值域【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；余

19、弦定理【分析】根据余弦定理求出C的值即可；求出fx的解析式，并将函数fx化简，结合x的范围，求出fx的值域即可【解答】解：由a+b+ca+bc=3ab，得：a2+b2c2=ab，在ABC中，；由可知，=，函数fx的值域为18某区教育局对区内高三年级学生身高情况进行调查，随机抽取某高中甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高单位：cm，获得身高数据的茎叶图如下图：根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；计算甲班的样本方差；现从乙班身高不低于173cm的同学中选取两人，求身高176cm的同学被抽中的概率【考点】列举法计算根本领件数及事件发生的概率；茎叶图；极差、方差与标准差【分析】由茎叶图可知：乙班平均

20、身高较高由先求出平均数，由此能求出甲班的样本方差身高不低于173cm的情况分别是173cm、176cm、178cm、178cm、181cm利用列举法能求出身高176cm的同学被抽中的概率【解答】本小题总分值12分解：由茎叶图可知：乙班平均身高较高 cm 甲班的样本方差为：s2=+2+2+2+2=57.2身高不低于173cm的情况分别是173cm、176cm、178cm、178cm、181cm取出两人的根本领件空间为：=，共10种情况身高176cm同学被抽到的事件空间为：，共4中情况所求事件的概率为19在四棱锥EABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC底面ABCD，G、F分别为

21、EO、EB中点，且AB=CE求证：DE平面ACF；求证：CG平面BDE；假设AB=1，求三棱锥FACE的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【分析】连结OF，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，由三角形的中位线定理可得OFDE，然后利用线面平行的判定得答案；由EC底面ABCD，得ECBD，再由BDAC，由线面垂直的判定得BD平面ACE，进一步得到CGBD，在正方形ABCD中，由线段间的长度关系得到CGEO，再由线面垂直的判定得答案；由AB=1，求得，进一步得到EC底面ABCD，然后利用等积法求得三棱锥FACE的体积【解答】证明：连结OF，在正方形A

22、BCD中，AC与BD交于点O，那么O为BD的中点，又F是EB中点，OF是BDE的中位线，OFDE，DE平面ACF，OF平面ACF，DE平面ACF；EC底面ABCD，BD平面ABCD，ECBD，BDAC，且ACCE=C，BD平面ACE，CG平面ACE，CGBD，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，且，在OCE中，G是EO中点，CGEO，EOBD=E，CG平面BDE；解：AB=1，F是EB中点，且EC底面ABCD，20椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，点，且F2在线段PF1的中垂线上求椭圆C的方程；过点A2，0且斜率为k的直线l与椭圆C交于D、E两点，点F2为椭圆的右焦点，求证：

23、直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值【考点】椭圆的简单性质【分析】设椭圆C的焦距为2c，那么F2c，0，由点P，且F2在线段PF1的中垂线上，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程由知F21，0，设直线l：y=kx2，与椭圆联立，得1+2k2x28k2x+8k22=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合条件能证明直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值0【解答】本小题总分值12分解：设椭圆C的焦距为2c，那么F2c，0且a2=b2+c2，由点P，且F2在线段PF1的中垂线上，得|PF2|=|F1F2|，那么，解得c=1，又，所以b=1，所求椭圆C的方程为证明：由可知F21，0，由题意可设直线l：y

24、=kx2与椭圆的交点Dx1，y1、Ex2，y2由，得，整理得1+2k2x28k2x+8k22=0，那么，且，=2x1x23x1+x2+4=，即直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值021函数，gx=xlnxax1求函数fx在点4，f4处的切线方程；假设对任意x0，+，不等式gx0恒成立，求实数a的取值的集合M；当aM时，讨论函数hx=fxgx的单调性【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出原函数的导函数，得到f4=e2，又f4=e2，那么函数fx在点4，f4的切线方程为ye2=e2x4，即y=e2x3e2；求出原函数的导函数，根

25、据a的取值对函数的单调性加以判断，当a=1时，gx在区间0，1上单调递减，在区间1，+上单调递增，对任意x0，+，不等式gxg1=0恒成立，符合题意，即a=1，从而求出实数a的取值的集合M；把a的值代入函数解析式，然后求函数的导函数，求出导函数的零点，由导函数的零点把定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号求出原函数的单调区间【解答】解：，f4=e2，又f4=e2，函数fx在点4，f4的切线方程为ye2=e2x4，即y=e2x3e2； 由g1=0及题设可知，对任意x0，+，不等式gxg1恒成立，函数gx=xlnxax1必在x=1处取得极小值，即g1=0，gx=lnx+1a，g1=1a=0，即a

26、=1，当a=1时，gx=lnx，x0，1，gx0；x1，+，gx0，gx在区间0，1上单调递减，在区间1，+上单调递增，那么gxmin=g1=0对任意x0，+，不等式gxg1=0恒成立，符合题意，即a=1，M=1； 由a=1，函数，其定义域为0，+，求得，令mx=hx，为区间0，+上的增函数，设x0为函数mx的零点，即，那么，当0xx0时，mx0；当xx0时，mx0，函数mx=hx在区间0，x0上为减函数，在区间x0，+上为增函数，函数hx在区间0，+上为增函数 选修4-1：几何证明选讲共1小题，总分值10分22A如图，ABC内接圆O，AD平分BAC交圆于点D，过点B作圆O的切线交直线AD于点E求证：EBD=CBD求证：ABBE=AEDC【考点】与圆有关的比例线段【分析】根据BE为圆O的切线，证明EBD=BAD，AD平分BAC，证明BAD=CAD，即可证明EBD=CBD证明EBDEAB，可得ABBE=AEBD，利用AD平分BAC，即可证明ABBE=AEDC【解答】证明：BE为圆O的切线，EBD=BAD，AD平分BAC，BAD=CAD，EBD=CAD，CBD=CAD，EBD=CB