多元线性回归模型(2)ppt课件

1、第一节 模型的建立及其假定条件第二节 多元线性回归模型的估计第三节 最小二乘估计量的特性第四节 可决系数第五节 显著性检验与置信区间第六节 预测1 1、多元线性回归模型、多元线性回归模型 2 2、多元线性回归模型的根本假定、多元线性回归模型的根本假定 多元线性回归模型多元线性回归模型: :表如今线性回归模型中表如今线性回归模型中的解释变量有多个。的解释变量有多个。 普通表现方式：普通表现方式：ikikiiiXXXY 22110i=1,2,n其中:k为解释变量的数目，j称为回归参数regression coefficient。 习惯上：把常数项看成为一虚变量的系数，该虚变量的样本观测值一直取1。

2、这样： 模型中解释变量的数目为k+1 ikikiiiXXXY 22110也被称为总体回归函数的随机表达方式。它也被称为总体回归函数的随机表达方式。它 的的非随机表达式为非随机表达式为:kikiikiiiiXXXXXXYE 2211021),|( 方程表示：各变量方程表示：各变量X值固定时值固定时Y的平均呼应。的平均呼应。 j也被称为偏回归系数，表示在其他解释变量坚持不变的情况下，也被称为偏回归系数，表示在其他解释变量坚持不变的情况下，Xj每变化每变化1个单位时，个单位时，Y的均值的均值E(Y)的变化的变化; 或者说或者说j给出了给出了Xj的单位变化对的单位变化对Y均值的均值的“直接或直接或“净

3、不含净不含其他变量影响。其他变量影响。总体回归模型总体回归模型n个随机方程的矩阵表达式为个随机方程的矩阵表达式为 XY其中其中)1(212221212111111knknnnkkXXXXXXXXXX1)1(210kk121nn样本回归函数：用来估计总体回归函数样本回归函数：用来估计总体回归函数kikiiiiXXXY22110其随机表示式其随机表示式: : ikikiiiieXXXY22110 ei称为残差或剩余项称为残差或剩余项(residuals)，可看成是总体回归函，可看成是总体回归函数中随机扰动项数中随机扰动项i的近似替代。的近似替代。 样本回归函数的矩阵表达样本回归函数的矩阵表达: X

4、Y或或eXY其中：其中：k10neee21e 假设1，解释变量是非随机的或固定的，且各X之间互不相关无多重共线性。 假设2，随机误差项具有零均值、同方差及不序列相关性0)(iE22)()(iiEVar0)(),(jijiECovnjiji, 2 , 1, 假设假设3 3，解释变量与随机项不相关，解释变量与随机项不相关 0),(ijiXCov假设4，随机项满足正态分布 ), 0(2Nikj,2 , 1 上述假设的矩阵符号表示上述假设的矩阵符号表示 式：式： 假设1，n(k+1)矩阵X是非随机的，且X的秩=k+1，即X满秩。 假设2， 0)()()(11nnEEEEnnEE11)( 21121nn

5、nEI22211100)var(),cov(),cov()var(nnn假设3，E(X)=0，即 0)()()(11iKiiiiiKiiiiEXEXEXXE假设4，向量 有一多维正态分布，即 ),(2I0N 同一元回归一样，多元回归还具有如下两个重要假设：同一元回归一样，多元回归还具有如下两个重要假设：假设假设5 5，样本容量趋于无穷时，各解释变量的方差趋于有界，样本容量趋于无穷时，各解释变量的方差趋于有界常数，即常数，即n n时，时， jjjijiQXXnxn22)(11或Qxxn1 其中：Q为一非奇特固定矩阵，矩阵x是由各解释变量的离差为元素组成的nk阶矩阵 knnkxxxx1111x假设

6、6，回归模型的设定是正确的。 1 1、参数的最小二乘估计、参数的最小二乘估计 2 2、离差方式的最小二乘估计量、离差方式的最小二乘估计量3 3、随机误差项、随机误差项的方差的方差的无偏估计的无偏估计4 4、最大或然估计、最大或然估计* *5 5、矩估计、矩估计Moment Method, MMMoment Method, MM* *对于随机抽取的n组观测值kjniXYjii, 2 , 1 , 0, 2 , 1),(假设样本函数的参数估计值曾经得到，那么有： KikiiiiXXXY22110i=1,2n根据最小二乘原理，参数估计值应该是以下方程组的解 0000210QQQQk其中2112)(ni

7、iiniiYYeQ2122110)(nikikiiiXXXY于是得到关于待估参数估计值的正规方程组： kiikikikiiiiikikiiiiiikikiiikikiiXYXXXXXYXXXXXYXXXXYXXX)()()()(221102222110112211022110 解该（k+1）个方程组成的线性代数方程组，即可得到(k+1)个待估参数的估计值, , ,jjk 012 。正规方程组的矩阵方式正规方程组的矩阵方式nknkknkkiikikikiiiikiiYYYXXXXXXXXXXXXXXXXn212111211102112111111即YXX)X(由于XX满秩，故有 YXXX1)(将

8、上述过程用矩阵表示如下： 即求解方程组：0)()(XYXY0)(XXXYYXYY0)2(XXXYYY0XXYX得到： YXXX1)(XXYX于是：正规方程组正规方程组 的另一种写法的另一种写法对于正规方程组 XXYXXXeXXX于是 0eX或 0ie0iijieX(*)或*是多元线性回归模型正规方程组的另一种写法 (*)(*)ikikiiiexxxy2211i=1,2n其矩阵方式为 exy其中 ：nyyy21yknnnkkxxxxxxxxx212221212111xk21在离差方式下，参数的最小二乘估计结果为 Yxxx1)(kkXXY1102 2、离差方式的最小二乘估计量、离差方式的最小二乘估

9、计量 3、随机误差项的方差的无偏估计 可以证明，随机误差项的方差的无偏估计量为 1122knkneiee对于多元线性回归模型 易知ikikiiiXXXY 22110),(2XiNYi)()(21)(212122222211022)2(1)2(1),(),(XYXYeeYYYPLnXXXYnnnkikiiinY的随机抽取的n组样本观测值的结合概率即为变量Y的或然函数对数或然函数为)()(21)2()( 2*XYXYnLnLLnL对对数或然函数求极大值，也就是对 )()(XYXY求极小值。 因此，参数的最大或然估计为YXXX1)(结果与参数的普通最小二乘估计一样结果与参数的普通最小二乘估计一样 O

10、LS估计是经过得到一个关于参数估计值的正规方程组YXX)X(并对它进展求解而完成的。 该正规方程组该正规方程组 可以从另外一种思绪来导可以从另外一种思绪来导: : XYXXXYXXX(YX)求期望 :0XYX)(E0XYX)(E称为原总体回归方程的一组矩条件，阐明了原总体回归方程所具有的内在特征。 0)1X(YXn由此得到正规方程组 YXXX解此正规方程组即得参数的MM估计量。易知MM估计量与OLS、ML估计量等价。矩方法是工具变量方法矩方法是工具变量方法(Instrumental Variables,IV)和和广义矩估计方法广义矩估计方法(Generalized Moment Method,

11、 GMM)的根底的根底 在矩方法中关键是利用了在矩方法中关键是利用了 E(X)=0 假设某个解释变量与随机项相关，只需能找到假设某个解释变量与随机项相关，只需能找到1个工个工具变量，依然可以构成一组矩条件。这就是具变量，依然可以构成一组矩条件。这就是IV。 假设存在假设存在k+1个变量与随机项不相关，可以构成个变量与随机项不相关，可以构成一组包含一组包含k+1方程的矩条件。这就是方程的矩条件。这就是GMM。1 1、线性性、线性性2 2、无偏性、无偏性3 3、最小方差性有效性、最小方差性有效性4 4、高斯、高斯- -马尔科夫马尔科夫Gauss-Markov)Gauss-Markov)定理定理 在

12、满足根本假设的情况下，其构造参数的普通最小二乘估计、最大或然估计及矩估计仍具有： 线性性、无偏性、有效性。同时，随着样本容量添加，参数估计量具有： 渐近无偏性、渐近有效性、一致性。 1、线性性、线性性 CYYXXX1)(其中,C=(XX)-1 X 为一仅与固定的X有关的行向量 2、无偏性 2、无偏性 XXXXXXXYXXX11)()()()()()(1EEEE这里利用了假设: E(X)=03 3、有效性最小方差性、有效性最小方差性 3 3、有效性最小方差性、有效性最小方差性 其中利用了 YXXX1)(XXXXXXX11)()()(和I2)(E3 3、有效性最小方差性、有效性最小方差性 假设多元

13、线性回归模型满足根本假定，那么最 小二乘估计量 是 的最优线性无偏估计量Best Linear Unbiased Estimate, 简称为BLUE，也就是说 是一切线性无偏估计量中， 具有最小方差性。(1)(1)最小样本容量最小样本容量 所谓所谓“最小样本容量，即从最小二乘原理和最小样本容量，即从最小二乘原理和最大或然原理出发，欲得到参数估计量，不论其最大或然原理出发，欲得到参数估计量，不论其质量如何，所要求的样本容量的下限。质量如何，所要求的样本容量的下限。 样本最小容量必需不少于模型中解释变量样本最小容量必需不少于模型中解释变量的数目包括常数项的数目包括常数项, ,即即 n n k+1

14、k+1由于，无多重共线性要求：由于，无多重共线性要求：R(X)=k+1R(X)=k+1 (2) (2)满足根本要求的样本容量满足根本要求的样本容量 从统计检验的角度：从统计检验的角度： n n30 30 时，时，Z Z检验才干运用；检验才干运用； n-k n-k8 8时时, t, t分布较为稳定分布较为稳定 普通阅历以为: 当n30或者至少n3(k+1)时，才干说满足模型估计的根本要求。 模型的良好性质只需在大样本下才干得到实模型的良好性质只需在大样本下才干得到实际上的证明际上的证明 教材P62 例3.3 参看Eviews 1 1、总离差平方和的分解公式、总离差平方和的分解公式2 2、多元样本

15、可决系数、多元样本可决系数3 3、三个平方和的计算公式、三个平方和的计算公式4 4、修正调整的可决系数、修正调整的可决系数 总离差平方和的分解总离差平方和的分解 TSS=RSS+ESS TSS=RSS+ESS 总体平方和总体平方和Total Sum of SquaresTotal Sum of Squares22)(YYyTSSii22)(YYyESSii回归平方和回归平方和Explained Sum of Squares22)(iiiYYeRSS残差平方和残差平方和Residual Sum of Squares 那么2222)()(2)()()()(YYYYYYYYYYYYYYTSSiiii

16、iiiiii 总离差平方和的分解总离差平方和的分解22()iiTSSyYY总离差平方和22()iiESSyYY回归平方和22()iiiRSSeYY残差平方和 由于)()(YYeYYYYiiiiikiikiiieYXeXee110=0所以有： ESSRSSYYYYTSSiii22)()(留意：一个有趣的景象留意：一个有趣的景象 222222YYYYYYYYYYYYYYYYYYiiiiiiiiiiiiESS:由回归直线即解释变量所解释的部分，表示由回归直线即解释变量所解释的部分，表示X对对Y的线性影响。的线性影响。RSS:未被回归直线解释的部分，由解释变量未被回归直线解释的部分，由解释变量X对对Y

17、影响影响以外的要素呵斥。以外的要素呵斥。 TSS = RSS ESS 总离差平方和残差平方和回归平方和总离差平方和残差平方和回归平方和 自在度：自在度：n1nk1 k 多元样本可决系数TSSRSSTSSESSR12该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。 当样本容量对于30时，我们需求借助于计算机软件来求得TSS,ESS和RSS,但是对于小样本问题我们可以简化计算： TSS= RSS= ESS=222211()nniiiiYYYnYnYYY21niie Y Y- XY22()()nYnY Y YY Y- X Y X Y TSS= ESS= RSS= =22()iiYYyy y2ie y y-

18、xy2iy y y-(y y- xy) = xy2222iiyESSnYTSSnYy XY xyY Yy y2R 问题：问题： 在运用过程中发现，假设在模型中添加一个解释变量在运用过程中发现，假设在模型中添加一个解释变量， R2 R2往往增大往往增大Why?)Why?) 这就给人一个错觉：要使得模型拟合得好，只需添加这就给人一个错觉：要使得模型拟合得好，只需添加解释变量即可。但是，现实情况往往是，由添加解释解释变量即可。但是，现实情况往往是，由添加解释变量个数引起的变量个数引起的R2R2的增大与拟合好坏无关，而且，在的增大与拟合好坏无关，而且，在样本容量一定的情况下，添加解释变量使得待估参数样本容量一定的情况下，添加解释变量使得待估参数的个数添加，从而损失自度，由估计式的个数添加，从而损失自度，由估计式 可知，所以可知，所以R2R2需调整。需调整。221ienk2R调整的可决系数调整的可决系数adjuste