电路二阶电路分析课件

1、电路二阶电路分析课件16 6 二阶电路分析二阶电路分析 6 61 1 RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应 6 62 2 RLC串联电路在恒定激励下串联电路在恒定激励下的零状态响应和全响应的零状态响应和全响应 6 63 3 GCL并联电路分析并联电路分析 6 64 4 一般二阶电路分析一般二阶电路分析电路二阶电路分析课件2二阶电路：由二阶微分方程描述的电二阶电路：由二阶微分方程描述的电路。路。分析二阶电路的方法：仍然是建立微分分析二阶电路的方法：仍然是建立微分方程方程(二阶二阶)，并利用初始条件求解得到，并利用初始条件求解得到电路的响应。电路的响应。它是一阶电路的推广它是一阶电路的推

2、广。本章主要讨论含两个本章主要讨论含两个(独立独立)动态元件的动态元件的线性二阶电路，重点是讨论电路的零线性二阶电路，重点是讨论电路的零输入响应。输入响应。电路二阶电路分析课件3 为了得到图示为了得到图示RLC RLC 串联电路的微分方串联电路的微分方程，先列出程，先列出KVLKVL方程方程 )()()()(SCLRtutututu代元件代元件VCR VCR 2c2LcRcCLdddd)( dd)()(dd)()()(tuLCtiLtutuRCtRitutuCtititi得：得： )(ddddSCC2C2tuutuRCtuLC6 61 1 RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应 电路二

3、阶电路分析课件4这是一个常系数非齐次线性二阶微分这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。为了得到电路的零输入响应，方程。为了得到电路的零输入响应，令令uS S(t)=0(t)=0，得二阶齐次微分方程，得二阶齐次微分方程 0ddddCC2C2utuRCtuLC其特征方程为其特征方程为 012 RCsLCs由此解得特征根由此解得特征根 LCLRLRs122221 ，电路二阶电路分析课件5特征根称为电路的固有频率。当电路元特征根称为电路的固有频率。当电路元件参数件参数R,L,CR,L,C的量值不同时，特征根可的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况：能出现以下三种情况： CLR2 1 1 时，时，s

4、s1 1,s,s2 2为不相等的负实根。为不相等的负实根。 3 3 时，时，s s1 1,s,s2 2 为相等的负实根。为相等的负实根。 2 2 时，时，s s1 1,s,s2 2 为共轭复数根。为共轭复数根。 CLR2 CLR2 电路二阶电路分析课件61.1.当两个特征根为不相等的实数根当两个特征根为不相等的实数根时，称电路是过阻尼的；时，称电路是过阻尼的；2.2.当两个特征根为相等的实数根时当两个特征根为相等的实数根时，称电路是临界阻尼的；，称电路是临界阻尼的；3.3.当两个特征根为共轭复数根时，当两个特征根为共轭复数根时，称电路是欠阻尼的。称电路是欠阻尼的。以下分别讨论这三种情况。以下分

5、别讨论这三种情况。 电路二阶电路分析课件7一、过阻尼情况一、过阻尼情况 电路的固有频率电路的固有频率s s1 1, s, s2 2不相同的实数，不相同的实数，齐次微分方程的解为：齐次微分方程的解为： tstsAAtu21ee)(21C式中的常数式中的常数A A1 1，A A2 2由初始条件确定。令由初始条件确定。令上式中的上式中的t=0+=0+得得 21C)0(AAu对对uC C( (t) )求导，再令求导，再令t=0+=0+得得 CisAsAttut)0(d)(dL22110CCLR2 电路二阶电路分析课件8联立求解，可得联立求解，可得: : )0()0(1LC2121CiusssA将将A

6、A1 1，A A2 2代入代入v vC C(t)(t)得到电容电压的零输得到电容电压的零输入响应，再利用入响应，再利用KCLKCL方程和电容的方程和电容的VCRVCR可可以得到电感电流的零输入响应。以得到电感电流的零输入响应。 CiusssA)0()0(1LC1212电路二阶电路分析课件9 -)(2112011202tstsCessUsessUstu当当uC C(0(0+ +)=)=U0 0 , ,iL L (0(0+ +)=)= 0 0时时 )-()(d)(d)(21120tstsCeessLUttuCti )s-(dd)(2121120tstsLeesssUtiLtut 0电路二阶电路分析

7、课件10例例1 1 已知已知R=3=3 , ,L=0.5H, =0.5H, C=0.25F, =0.25F, uC C(0(0+ +)=2V,)=2V,iL L(0(0+ +)=1A)=1A，求，求uC C( (t) )和和iL L( (t) )的零输入响应。的零输入响应。 42138331222221LCLRLRs，)0(ee)(4221CtKKtutt则：则：解：由解：由R,L,CR,L,C的值，计算出固有频率的值，计算出固有频率电路二阶电路分析课件11利用初始值利用初始值uC C(0(0+ +)=2V)=2V和和iL L(0(0+ +)=1A)=1A，得，得 ：4)0(42d)(d2)0

8、( L210C21CCiKKttuKKut解得解得:K:K1 1=6=6和和K K2 2=-4=-4，最后得到电容电，最后得到电容电压的零输入响应为压的零输入响应为 )0(V)e4e6()(42Cttutt) 0(Ae4e3dd)()(42CCLttuCtititt电路二阶电路分析课件12它们的波形曲线如下图所示。它们的波形曲线如下图所示。 过阻尼情况过阻尼情况 uC20tiL10t电路二阶电路分析课件13从波形可看出，在从波形可看出，在t t00以后，电感电流以后，电感电流减少，电感放出它储存的磁场能量，一减少，电感放出它储存的磁场能量，一部分为电阻消耗，另一部分转变为电场部分为电阻消耗，另

9、一部分转变为电场能，使电容电压增加。到电感电流变为能，使电容电压增加。到电感电流变为零时，电容电压达到最大值，此时电感零时，电容电压达到最大值，此时电感放出全部磁场能。以后，电容放出电场放出全部磁场能。以后，电容放出电场能量，一部分为电阻消耗，另一部分转能量，一部分为电阻消耗，另一部分转变为磁场能。到电感电流达到负的最大变为磁场能。到电感电流达到负的最大值后，电感和电容均放出能量供给电阻值后，电感和电容均放出能量供给电阻消耗，直到电阻将电容和电感的初始储消耗，直到电阻将电容和电感的初始储能全部消耗完为止。能全部消耗完为止。 电路二阶电路分析课件14二、临界情况二、临界情况 固有频率固有频率s

10、s1 1, s, s2 2相同的实数相同的实数s s1 1=s=s2 2=-=- 。齐次解齐次解 tttKKtuee)(21C式中常数式中常数K K1 1, K, K2 2由初始条件由初始条件iL L(0(0+ +) )和和uC C(0(0+ +) ) 确定。令确定。令t=0+=0+得到得到 1C)0(Kv 对对uC C( (t) )求导，再令求导，再令t=0=0+ +, ,得到得到 CiKKttut)0(d)(dL210C联立求解以上两个方程，可以得到联立求解以上两个方程，可以得到 CLR2 电路二阶电路分析课件15)0()0( )0(CL2C1uCiKuK代入代入v vC C(t)(t)表

11、达式，得到电容电压的零输表达式，得到电容电压的零输入响应，再利用入响应，再利用KCLKCL方程和电容的方程和电容的VCRVCR可可以得到电感电流的零输入响应。以得到电感电流的零输入响应。 0t)1()(0tCetUtu当当uC C(0(0+ +)=)=U0 0 , ,iL L (0(0+ +)=)= 0 0时时 L-d)(d)(002ttCteUteCUttuCti 0t)1(dd)(0tLetUtiLtu电路二阶电路分析课件16例例2 2 已知已知R=1=1 , ,L=0.25H,=0.25H,C=1F, =1F, uC C(0(0+ +)=-1V,)=-1V,iL L(0(0+ +)=0)

12、=0，求电容电压和电，求电容电压和电感电流的零输入响应。感电流的零输入响应。解：固有频率解：固有频率 22024221222221LCLRLRs，)0(ee)(2221CttKKtutt利用初始利用初始值，得值，得则：则：0)0(2d)(d1)0( L210C1CCiKKttuKut电路二阶电路分析课件17求解以上两个方程得到常数求解以上两个方程得到常数K1 1=-1=-1和和K2 2=-2=-2，得到电容电压的零输入响应，得到电容电压的零输入响应. . )0(V)e2e()(22Ctttutt得到电感电流的零输入响应得到电感电流的零输入响应 )0(Ae4 )e4e2e2(dd)()(2222

13、CCLttttuCtititttt电路二阶电路分析课件18波形曲线如图所示。波形曲线如图所示。 临界阻尼情况临界阻尼情况 uC-10tiL0t电路二阶电路分析课件19 三、欠阻尼情况三、欠阻尼情况 固有频率固有频率s s1 1,s,s2 2为两个共轭复数根，即：为两个共轭复数根，即： CLR2 d20 jj1222221 LCLRLRs，其中其中 称称为为衰衰减减谐谐振振角角频频率率称称为为谐谐振振角角频频率率称称为为衰衰减减系系数数2200 1 2 dLCLR三者组成一个直角三角形。三者组成一个直角三角形。0d电路二阶电路分析课件20齐次微分方程的解为：齐次微分方程的解为：( (用欧拉公式用

14、欧拉公式) ) )106()cos(e)96()sincos(e)(dd2d1CtKtKtKtutt式中式中 122221KKarctgKKK 由初始条件由初始条件iL L(0(0+ +) )和和uC C(0(0+ +) )确定常数确定常数K K1 1,K,K2 2后，得到电容电压的零输入响应，再利后，得到电容电压的零输入响应，再利用用KCL和和VCR方程得到电感电流的零输方程得到电感电流的零输入响应。入响应。 电路二阶电路分析课件21例例3 3 已知已知R=6=6 , ,L=1H, =1H, C=0.04F, =0.04F, uC C(0(0+ +)=3V, )=3V, iL L(0(0+

15、+)=0.28A)=0.28A，求电容电压，求电容电压和电感电流的零输入响应。和电感电流的零输入响应。j4351222221 233LCLRLRs，则得：则得： )0()sincos(e)(21C ttKtKtvt443利用初始值利用初始值uC C(0+)=3V(0+)=3V和和iL L(0+)=0.28A(0+)=0.28A得得: : 解：固有频率：解：固有频率：7)0(43d)(d3)0( L210C1CCiKKttuKut电路二阶电路分析课件22解得解得 K1 1=3=3和和K2 2=4=4，得到电容电压和电，得到电容电压和电感电流的零输入响应感电流的零输入响应 ) 0( A )74.7

16、34cos(e)4sin244cos7(e04. 0dd)() 0( V)1 .534cos(e5)4sin44cos3 (e)(33CL33CtttttuCtitttttutttt(a) (a) 衰减系数衰减系数 = =3 3的电容电压波形的电容电压波形 (b) (b) = =3 3的电感波形的电感波形(c)(c) = =0.50.5的电容电的电容电压的波形（压的波形（d) d) = =0.50.5的电感电流的波形的电感电流的波形下图为欠阻尼情况下图为欠阻尼情况电路二阶电路分析课件23电路二阶电路分析课件24可以看出，欠阻尼情况的特点是能量在可以看出，欠阻尼情况的特点是能量在电容与电感之间交

17、换，形成衰减振荡。电容与电感之间交换，形成衰减振荡。电阻越小，单位时间消耗能量越少，曲电阻越小，单位时间消耗能量越少，曲线衰减越慢。当例线衰减越慢。当例3 3中电阻由中电阻由R=6=6减小减小到到R =1 =1，衰减系数由，衰减系数由3 3变为变为0.50.5时，可时，可以看出电容电压和电感电流的波形曲线以看出电容电压和电感电流的波形曲线衰减明显变慢。假如电阻等于零，使衰衰减明显变慢。假如电阻等于零，使衰减系数为零时，电容电压和电感电流将减系数为零时，电容电压和电感电流将形成无衰减的等幅振荡。形成无衰减的等幅振荡。 电路二阶电路分析课件25例例4 4已知已知R =0,L=1H, =0,L=1H

18、, C=0.04F, =0.04F, uC C(0(0+ +)=3V, )=3V, iL L(0(0+ +)=0.28A)=0.28A，求电容电压，求电容电压和电感电流的零输入响应。和电感电流的零输入响应。解：固有频率解：固有频率: : j551222221 LCLRLRs，则：则： )0()5sin5cos()(21CttKtKtu利用初始条件得：利用初始条件得： 7)0(5d)(d3)0( L20C1CCiKttuKut电路二阶电路分析课件26解得：解得：K1 1=3=3和和K2 2=1.4=1.4，得电容电压和，得电容电压和电感电流的零输入响应电感电流的零输入响应 )0(A)655cos

19、(66. 0)5cos75sin15(04. 0dd)()0(V)255cos(31. 3)5sin4 . 15cos3()(CLCtttttvCtitttttu电路二阶电路分析课件27 从电容电压和电感电流的表达式和波从电容电压和电感电流的表达式和波形可见，由于电路中没有损耗，能量在形可见，由于电路中没有损耗，能量在电容和电感之间交换，总能量不会减少电容和电感之间交换，总能量不会减少，形成等振幅振荡。电容电压和电感电，形成等振幅振荡。电容电压和电感电流的相位差为流的相位差为9090 ，当电容电压为零，电，当电容电压为零，电场储能为零时，电感电流达到最大值，场储能为零时，电感电流达到最大值，全

20、部能量储存于磁场中；而当电感电流全部能量储存于磁场中；而当电感电流为零，磁场储能为零时，电容电压达到为零，磁场储能为零时，电容电压达到最大值，全部能量储存于电场中。最大值，全部能量储存于电场中。 综上所述，综上所述，RLC二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应形式与其固有频率密切相关，如下图：形式与其固有频率密切相关，如下图：电路二阶电路分析课件28电路二阶电路分析课件291.1.过阻尼情况，过阻尼情况，s1 1和和s2 2是不相等的负实数是不相等的负实数，响应按指数规律衰减。，响应按指数规律衰减。2.2.临界阻尼情况，临界阻尼情况，s1 1= =s2 2是相等的负实数是相等的负实数，响应按

21、指数规律衰减。，响应按指数规律衰减。3.3.欠阻尼情况，欠阻尼情况，s1 1和和s2 2是共轭复数，响应是共轭复数，响应是振幅随时间衰减的正弦振荡，其振幅是振幅随时间衰减的正弦振荡，其振幅随时间按指数规律衰减，衰减系数随时间按指数规律衰减，衰减系数 越大越大，衰减越快。衰减振荡的角频率，衰减越快。衰减振荡的角频率 d d 越大越大， 振 荡 周 期 越 小 ， 振 荡 越 快 。， 振 荡 周 期 越 小 ， 振 荡 越 快 。 图中图中 按按Ke e- - t画出的虚线称为包络线，它画出的虚线称为包络线，它限定了振幅的变化范围。限定了振幅的变化范围。电路二阶电路分析课件304.4.无阻尼情况

22、，无阻尼情况，s1 1和和s2 2是共轭虚数，是共轭虚数， =0=0，振幅不再衰减，形成角频率为，振幅不再衰减，形成角频率为 0 0的等幅的等幅振荡。振荡。显然，当固有频率的实部为正时，响应的显然，当固有频率的实部为正时，响应的振幅将随时间增加，电路是不稳定的。由振幅将随时间增加，电路是不稳定的。由此可知，当一个电路的全部固有频率具有此可知，当一个电路的全部固有频率具有负实部时，电路是稳定的。负实部时，电路是稳定的。 电路二阶电路分析课件31 直流激励的直流激励的RLC串串联电路，当联电路，当uS S( (t)=)=US S时，可以利用初始条时，可以利用初始条件件uC C(0(0+ +)=)=

23、U0 0和和iL L(0(0+ +)=)=I0 0来求解以下来求解以下非齐次微分方程非齐次微分方程, ,从从而得到全响应而得到全响应 ) 0(ddddSCC2C2tUutuRCtuLC6 62 2 RLC串联电路在恒定激励下串联电路在恒定激励下的零状态响应和全响应的零状态响应和全响应 电路二阶电路分析课件32全响应由对应齐次微分方程的通解与全响应由对应齐次微分方程的通解与微分方程的特解之和组成微分方程的特解之和组成 )()()(CpChCtututu电路的固有频率为电路的固有频率为 LCLRLRs122221 ，当当s1 1 s2 2时，对应齐次微分方程的通解为时，对应齐次微分方程的通解为 t

24、stsKKtu21ee)(21Ch特解为特解为 SCp)(Utu电路二阶电路分析课件33全响应为全响应为 StstsUKKtututu21ee)()()(21CpChC利用初始条件，可以得到利用初始条件，可以得到联立求解，得到常数联立求解，得到常数K1 1和和K2 2后，就可后，就可得到电容电压的全响应，再利用得到电容电压的全响应，再利用KCL和电容元件和电容元件VCR可以求得电感电流的可以求得电感电流的全响应。全响应。CisKsKtdudUKKuLCSC)0()0()0(221121电路二阶电路分析课件34类似地，当类似地，当s1 1= =s2 2时，全响应为时，全响应为 StstsCUte

25、KeKtu1121)(CiKsKtdudUKuLCSC)0()0()0(2111求两个待定系数的方法也类似：求两个待定系数的方法也类似： 类似地，根据元件的类似地，根据元件的VCR或或KVL计算其计算其它响应。它响应。 电路二阶电路分析课件35类似地，当特征根为共轭复根时，全响类似地，当特征根为共轭复根时，全响应为应为 SddtCUtKtKetusincos)(21CiKKtdudUKuLdCSC)0()0()0(211求两个待定系数的方法也类似：求两个待定系数的方法也类似： 类似地，根据元件的类似地，根据元件的VCR或或KVL计算其计算其它响应。它响应。 电路二阶电路分析课件36例例5 5

26、已知已知R=6=6 , ,L=1H, =1H, C=0.04F, =0.04F, uS S(t)= (t)= (t)V(t)V。求。求t00时电容电压的零时电容电压的零状态响应。状态响应。( (单位阶跃响应单位阶跃响应) ) 解：解：t 0 0时，时， ( (t)=1V)=1V，可以作为直流激，可以作为直流激励处理。固有频率励处理。固有频率 j4351222221 233LCLRLRs，固有频率为共轭复根固有频率为共轭复根, ,可以得到可以得到 )0(1)4sin4cos()(213CttKtKetut电路二阶电路分析课件37利用初始值利用初始值uC C(0(0+ +)=0)=0和和iL L(

27、0(0+ +)=0,)=0,得得: : 043d)(d01)0( 210C1CKKttuKut解得：解得：K1 1-1-1和和K2 2-0.75-0.75，得到电，得到电容电压的零状态响应容电压的零状态响应 )0(V1)1 .1434cos(e25. 11)4sin75. 04cos(e)(33Ctttttutt波形如图波形如图(a)(b)(a)(b)：电路二阶电路分析课件38当电阻由当电阻由R=6=6减小到减小到R =1 =1，衰减系数，衰减系数由由3 3变为变为0.50.5时，波形如图时，波形如图(c)(c)和和(d)(d)。 电路二阶电路分析课件396 63 3 GCL并联电路分析并联电路分析 与与RLC串联电路对偶：串联电路对偶： 得二阶微分方程得二阶微分方程 )(ddddSLL2L2tiitiGLtiLC )(ddddSCC2C2tuutuRCtuLC电路二阶电路分析课件40其特征方程为其特征方程为 012 GLsLCs解得特征根解得特征根 LCCGCGs12222 , 1 同样对偶地，特征根可能出现以下三种同样对偶地，特征根可能出现以下三种情况：情况： 1 1，