本科毕业论文一类基因调控网络稳定性要点VIP

1、毕业（设计）论文题 目一类基因调控网络稳定性的线性矩阵不等式方法研究学生姓名 专业班级所在院系理学院指导教师 职 称所在单位理学院教研室主任完成日期2013年6月18日摘要在这篇文章中，笔者研究了一类带有时变时滞和非线性扰动基因调控网络的稳定性问题，通过建立一个更加有效的利亚普洛夫函数和利用一些自由权矩阵方法，可以获得一些保守型较低的基因调控网络稳定的充分条件。这些条件具有线性矩阵不等式的形式，可以利用 matlab 工具箱很容易对其进行验证，最后，笔者给出了两个列子来验证所提出理论的可行性和有效性。在此基础上,运用lyapunov方法,研究了定常基因调控网络平衡位置的稳定性,包括渐进稳定性、

2、 指数稳定性, 给出了一些实用的充分条件; 分析了时变基因调控网络平衡位置的稳定性、渐进稳定性和指数稳定性, 同样给出了若干简便的充分准则 ; 最后 , 运用lyapunov方法,结合线性矩阵不等式,简单讨论了时滞基因调控网络平衡位置的稳定性 与渐进稳定性.关键字：基因调控网络 lyapunov稳定性线性矩阵不等式非线性扰动abstractin this paper, the stability problem for the genetic regulatory network with time-varying delay and nonlinear disturbances is stu

3、died.by employing a more effective lyapunov function and conducting some free-weighting approaches,someless conservative sufficient conditions for the stability problem of genetic regulatory network are derived in the terms of the linear matrix inequality(lmi),which can be easily checked by matlab t

4、oolbox.finally,two simple examples are provided to demonstrate the effectiveness and applicability of the proposed testing criteria.on this basis, using lyapunov method, constant gene regulatory network is studied the stability of the equilibrium position, including asymptotic stability and exponent

5、ial stability, and gives some practical sufficient condition; analyses the time-varying gene regulation network stability, asymptotic stability and exponential stability of the equilibrium position, also introduced some simple criteria; finally, using lyapunov method, combined with the linear matrix

6、 inequality (lmi), a short discussion of time-delay gene regulation network equilibrium position stability and asymptotic stability.key words: gene regulatory networks lyapunov stability the linear matrix inequality (lmi) less conservativexxxx大学2013届本科生毕业论文目录一、基因调控网络简介 1（一） 基因结构和功能 1（二）中心法则 3（三）tay基

7、因表达的调控 3二、基因调控网络模型 4（一）布尔网络模型 4（二）线性组合模型 5（三）加权矩阵模型 6（四）贝叶斯网络模型 6（五）微分方程模型 7三、线性矩阵不等式与无源性条件 9（一）系统模型建立 9（二）考虑不确定性的时滞系统模型 10（三）无源性定义 11（四）无源性条件与线性矩阵不等式 11四、用lmi工具箱检验鲁棒稳定性程序 18（一）程序内容 18（二）结果 20谢辞 21参考文献 22xxxx大学2013届本科生毕业论文一、基因调控网络简介基因表达和调控过程是分子生物学的核心问题。基因调控网络是系统生物学 于合成生物学研究的基本内容。大量研究结果表明：基因调控网络具有非线性

8、相互作用，时间滞后，正负反馈调控，以及随机噪声等一般特性。本学位论文基于随机微 分系统lyapunov稳定性理论，泛函微分方程基本理论 ，利用it(o| a) s微分公式 随机分析原理，schur余(补)，矩阵不等式等方法，以线性矩阵不等式为工具 ，研究 在噪声作用下的时滞基因调控网络的稳定性与hf控制问题。主要包括以下内容：由于受到内噪声和外噪声的影响，基因调控本质上是一个随机过程。而噪声会引起动力学参数的波动和不确定性和基底速率的扰动。另一方面，由于基因调控网络中发生的不同生化反应，不可避免的会带来时滞 ，而且这些时滞也受到噪声的影响。 因此，首先提出一个受制于外噪声和内噪声，时变时滞的基

9、因调控网络模型。时变时滞假设属于一定区间而且对时变时滞的导数没有限制，这允许时滞可以是一个快速变化的函数。利用it(o| a) s微分公式、随机分析原理 ，并利用积分不等式和自由加权矩阵方法，我们分析这类基因调控网络的具有干扰抑制水平的鲁棒随机稳定性。基于lyapunov方法，我们给出一个新的依赖时滞上界和下界新的稳定性条件，并以线性矩阵不等式的形式表现出来。接下来，我们来设计基因反馈控制器来保证基因调控网络均方渐近稳定，并且能抑制噪声。其中可以根据工程要求指定控制器的结构。我们分别进行h_-性能分析，然后设计h_-状态反馈控制律使得系统稳定且具有给定的h_-干扰抑制度 t o基于hh控制理论

10、，我们将控制器的设计问题转化为一个凸优化问题，并且给出反馈增益的解析形式。这将有助于为合成生物学中的实验设计提供理论基础。(一)基因结构和功能基因作为遗传的一个基本单位已经被认识多年，基因原称遗传因子，一直以 一定的符号来代表。一、真核生物基因的基本分子结构原核生物的基因是一个连续编码的dna 分子的一个片段。 真核生物包括人类基因，其结构不同于原核生物基因，大多数真核生物基因的.dna顺序包括编码顺序和非编码顺序两部分。编码顺序在dna分子中是不连续的，被非编码顺序隔开，形成镶嵌排列的断裂形式，因此称为断裂基因。真核细胞的结构基因中含有的编码顺序，称为外显子(exon)。两个外显子之间的顺序

11、无编码功能，称为内含子(intron)。不同结构基因所含内含子数目和大小也不同。一般来说，真核生物的结构基因多为断裂基因，断裂基因中内含子和外显子的关系并非是固定不变的。有时可以见到这样的情况：在同一条dna分子上的某一段dna顺序，在作为编码某一条多肽链基因时是外显子，但作为编码另一条多 肽链基因时是内含子，结果造成同一段dna顺序(或结构基因区域的 dna顺序)可以转录两条或两条以上的mrnal,此为真核生物基因结构及其表达的重要特点。每个断裂基因中第一外显子和最末一个外显子的外侧都有一段不被转录的 非编码区，称为侧翼序列，其上有一系列调控顺序，对基因的有效表达起着调控 作用。这些结构包括

12、启动子、增强子和终止子等。一个结构基因，其5-3链为编码链(coding strand),可编码氨基酸，3-5链为反编码链，其碱基顺序与编码链 互补，是mrnk成的模板。二、真核基因的侧翼序列与调控序列作为调控顺序的启动子、增强子和终止子均位于编码链上的侧翼顺序区域。(一)启动子启动子(promoter)是一段特异的核甘酸序列，通常位于基因转 录起始点上游100bp的范围内，是 rna聚合酶的结合部位，能促进转录过程。启 动子包括以下几种重要的结构序列。1 .tata 框(tata box),位于基因转录起始点上游大约-19-27bp处，高度保守，其顺序由 tata a ta a t7个碱基组

13、成，该序列只有两个碱基(a/t , a/t)可以变化，周围为富含 gc的顺序。tata框通过与转录因子 tfii结合，能够准确识 别转录起始点。2 .caat 框(caat box),位于转录起始点上游约 -70-80bp处，由9个碱基 组成，其顺序为 gg t ccaatct其中只有一个碱基 (t/c)可以变化。caat框与转 录因子ctf结合，促进转录。3 .gc 框(gc box)有两个拷贝，分别位于caat框的两侧，其序列为 ggcggg能与转录因子 spl结合，起到增强转录效率的作用。( 二)增强子增强子是位于启动子上游或下游的一段dna序列，它可以增强启动子转录的能力，提高基因转录

14、的效率。增强子位于转录起始点上游或下游3kb或更远处，其发挥作用的方向可以是5-3,也可以是3-5,例如，人类珠蛋白基因的增强子是由两个相同顺序的72bp串联重复序列所组成的，可以位于转录起始点上游-l400bp或下游3300bp处，能使转录活性增加 200倍。(三)终止子终止子(terminator) 是位于3端非编码区下游的一段碱基序列，在转录中提供转录终止信号。原核生物的终止子目前研究得比较清楚，由一段反向重复序列以及特定的序列5-aataaa-3组成，二者构成转录终止信号。aataaa多聚腺甘酸的附加信号，反向重复序列是rna聚合酶停止工作的信号，该序列转录后，可以形成发卡式结构，后者

15、阻碍了rna聚合酶的移动，其末尾的一串u与模板中的a结合不稳定，从而使turna从模板上脱落，转录终止。因此，与启动子的作用不同，终止子的终止作用不是在dna序列本身，而是发生在转录生成的rnal上。真核生物的终止子存在着较明显的差异，不同的rn咪合酶有不同的终止子，rna聚合酶i和rna聚合酶i ii类的终止元件与原核相似，但对rna聚合酶ii类则不十分清楚。上述侧翼序列中的特殊结构均属于基因转录的顺式调控因子，也称调控序 列，它们对基因的表达均起到调控作用。(二)中心法则rna的自我复制和逆转录过程，在病毒单独存在时是不能进行的，只有寄生到 寄主细胞中后才发生。逆转录酶在基因工程中是一种很

16、重要的酶，它能以已知的 mrnafe模板合成目的基因。在基因工程中是获得目的基因的重要手段。生物遗传中心法则最早是由crick于1958年提出的，用以表示生命遗传信息的流动方向或传递规律。由于当时对转录、翻译、遗传密码、肽链折叠等都还了 解不多，在那个时候中心法则带有一定的假设性质。随着生物遗传规律的进一步 探索，中心法则也逐步得到完善和证实。中心法则是现代生物学中最重要最基本的规律之一，其在探索生命现象的本质及普遍规律方面起了巨大的作用，极大地推动了现代生物学的发展，是现代生 物学的理论基石，并为生物学基础理论的统一指明了方向，在生物科学发展过程 中占有重要地位。遗传物质可以是dna也可以是

17、rna细胞的遗传物质都是 dna只有一些病毒的遗传物质是rna这种以rna为遗传物质的病毒称为反转录病毒(retrovirus) ,在这种病毒的感染周期中，单链的rna分子在反转录酶(reversetranscriptase)的作用下，可以反转录成单链的dna然后再以单链的 dna为模板生成双链dna双链dna可以成为宿主细胞基因组的一部分，并同宿主细胞的基因 组一起传递给子细胞。在反转录酶催化下，rna分子产生与其序列互补的dna子，这种dna分子称为互补 dna(complementary dna),简写为cdna这个过程即为反 转录(reverse transcription) 。(三)

18、tay基因表达的调控基因表达调控的基本内容是介绍细胞或个体生长过程中基因表达的方式、规 律及调节机制，以及这些表达规律、调节机制与发育、分化的关系，个体与环境 的适应。基因表达就是指基因转录和翻译的过程。并非所有基因表达过程都产生蛋白质分子，有些基因只转录合成 rna分子，如rrna trna等。这些基因转录合成 rna 的过程也属于基因表达。原核生物，如细菌调节基因表达是为适应环境变化，调节代谢、维持细胞生 长与分裂。真核生物，如动物乃至人类在环境变化及个体生长、发育的不同阶段 调节基因的表达既为调节代谢、适应环境，也为维持生长、发育与分化。基因表达的规律与方式1 .基因表达的规律性可分为阶

19、段特异性和组织特异性两种：阶段特异性：按功能需要，原核生物某一特定基因的表达随时间、环境而变 化，严格按特定时间顺序发生，这就是基因表达的时间特异性。多细胞真核生物 从受精卵到组织器官形成经历不同发育阶段。在各个发育阶段，相应基因严格按 一定时间顺序开启和关闭，表现为与分化、发育阶段一致的时间性。因此，多细 胞生物基因表达的时间特异性又称阶段特异性。组织特异性：在多细胞真核生物中，同一基因在同一发育阶段的不同组织器 官表达水平是不一样的；在发育、分化的特定时期内，不同基因在同一组织细胞 内表达水平也不一样，即基因在不同组织空间表达不同，这就是基因表达的空间 特异性，又称组织特异性。原核生物基因

20、表达无组织特异性。2 .基因表达的方式不同基因功能不同，调控机制不同，基因表达的方式也不同。基本的基因表达：有些基因在生物个体生命全过程的几乎所有细胞中持续表 达，称为基本的基因表达。这类基因通常被称之为管家基因。基本的基因表达并 非绝对一成不变，其表达也是在一定机制控制下进行的。诱导与阻遏：大多数基因表达状况极易受外环境变化的影响，有些基因在特 定环境中或特殊条件刺激下表达水平增强，称作诱导。这类基因被称为可诱导基 因。相反，如果基因在对环境信号应答时表现为表达水平降低，称作阻遏。这类 基因就是可阻遏基因。刺激诱导发生的信号分子称为诱导剂，引起阻遏发生的分 子称为阻遏剂。二、基因调控网络模型

21、（一）布尔网络模型布尔网络模型最早由 kauffman于1969年引入的，奠定了使用布尔网络研究 基因调控网路的基础。在布尔网络中，每个基因所处的状态或者是“开”，或者是“关”。状态“开”表示一个基因转录表达，形成基因产物，而状态“关”则代表一个基因未转录。基因之间的相互作用关系由布尔表达式来表示，例如 ：a and not b- c表示“如果a基因表达，且b基因不表达，则c基因表达”。以有向图g=（v , h）表示布尔网络，其中 v是图的节点集合（图中的a、b、c）,每个节点代表 1条 基因，或者代表1个环境刺激，h表示转录表达路径。布尔网络模型节点c的值太在应用方面，yuh等人综合以往的研

22、究结果，详细分析了海胆stronglocentrotus purpuratus基因endol16 ,研究了如何对这一基因转录水平的基因调控网络进行了精确的逻辑描述，他们基于布尔原理描述了基因的顺式调 控系统，并使其 能够模拟endol16给定的转录条 件下的 表达情况。arnone和 davidson回顾了一些基因调控系统在结构和功能上的研究结果，他们认为对网络各水平下顺式调控系统的直接分析是非常重要的(二)线性组合模型线性组合模型是一种连续网络模型，在这种模型中，一个基因的表达值是若 干个其它基因表达值的加权和。基本表示形式为：xi(t -=t)ijxj(t)其中，xi(t十%是基因i在t+

23、z时刻的表达水平,人是基因j在t时刻的表 达水平,而代表基因j的表达水平对基因i的影响。在这种基因相互关系表示形 式中，还可以增加其它数据项，以逼近基因调控的实际情况。例如，可以增加一 个常数项a,反映一个基因在没有其它调控输入下的活化水平： xi(t t)- jxj a o这样，在给定一系列基因表达水平的实验数据之后，即给定每个基因的时间 序列xi，就可以利用最小二乘法或者多重分析法求解整个系统的差分方程组， 从而确定方程中的所有参数，即确定叫。最终，利用差分方程分析各个基因的表达行为。实验结果表明，该模型能够较好地拟合基因表达实验数据。d haeseleer等人用这种方法分析了大鼠脊髓和海

24、马回的基因表达数据，建 立了一个包含有 65个基因的调控网络模型。并通过在不同时点上对微分方程的迭 代运算，精确地复制出网络调控轨迹，包括脊髓发育、海马回发育到海马回损伤。(三)加权矩阵模型加权矩阵模型与线性组合模型相似，在该模型中，一个基因的表达值是其他基因表达值的函数。含有n条基因的基因表达状态用n维空间中的向量u(t)表示，u的每一个元素代表 1条基因在时刻t的表达水平。以加权矩阵 切表示基因之间 的相互调控作用，切的每一行代表 1条基因的所有调控输入，州代表基因j的表达水平对基因i的影响。在时刻t,基因j对基因i的净调控输入为j的表达水平即 uj乘以j对i的调控影响程度叫。基因i的总调

25、控输入ri为：ri=2%uj。 这一形式与线性组合模型相似，若叫为正值，则基因j激发基因i的表达，负值表示基因j抑制基因i的表达，0表示基因j对基因i没有作用。与线性组合模型不同 的是，基因i最终表达响应还需要经过一次非线性映射：,11ui(t1户； e该函数是神经网络中常用的sigmoid函数，其中和口是2个常数，规定非线性映射函数曲线的位置和曲度。通过上式，计算出 t+1时刻基因i的表达水平。在 最初阶段，加权矩阵的值是未知的。但是可以利用机器学习方法，根据基因表达 数据估计加权矩阵中各个元素的值。对于这样的模型，可以利用线性代数方法和神经网络方法进行分析。实验表明，该模型具有稳定基因表达

26、水平,与实际生物系统相一致。在这种模型中还可以加入新的变量，模拟环境条件变化对基因表达水平的影响。reinitz 和sharp利用加权矩阵模型构造了果蝇基因调控网络，以此用来描述果蝇基因在果蝇条纹形成过程中的机制，并找到了在果蝇分节中发挥重要作用的基因。这个基因网络是一种权重矩阵系统：通过模拟退火优化算法得到相互作用连接参数，同时空间参数也可由细胞间影响因素确定。(四)贝叶斯网络模型贝叶斯网络模型本质上是一种概率图模型。friedman等人于2000年提出了用贝叶斯网络模型分析基因表达数据的方法。它的基本思想是使用简单的局部概率 乘积来近似复杂的高维概率分布。贝叶斯网络引入有向无圈图模型和隐马

27、尔可夫 链来描述变量间的联系与相互作用，构建调控网络模型，通常贝叶斯网络可用数对b=(g，表示。其中，g为一有向无圈图，图中结点对应随机变量x=x1,xn,在微阵列数据中表示基因的表达向量。b中另一部分 ,表示一组条件概率分布。根据马尔可夫假设：每个变量xi在给定g中的父结点前提下各变量之间相互独立， 于是得到随机变量 x的联合概率分布：6x x x x大学2013届本科生毕业论文 nprxi,，xn=1| prxi|xj：j n -i)其中xj表示xi吊勺父结点集合。为了确定 x的联合概率分布，需要确定上式中 出现的各个条件概率，所有这些条件概率构成了日。贝叶斯网络的核心就是通过将这种条件独

28、立关系解释为因果关系，并用来表示基因间的因果调控关系。给定一组基因表达谱数据d =x1,.,xn, 一般是通过一个打分函数，利用打分函数在条件独立性的条件下可分解性，采用局部搜索的方法寻找使得得分增加 的路径，最后得到得分最大的网络结构的基因调控网络结构和参数：score(g : d)- scor |x j n 一)smith等人还提出了动态贝叶斯网络模型(dbns),这种模型和普通贝叶斯网络模型不同之处在于它将两个节点来表示同一基因前后时间点的表达向量，这种 模型的优势在于可以将调控的负反馈和延时因素考虑进去，克服了普通贝叶斯网 络是一个无环图带来的不足。husmeier和ong等人将这种模

29、型用于微阵列数据，进行基因调控网络的构建工作。(五)微分方程模型在24中，假设单基因自调控基因网络为 rdm(t)/dt=gp(t)-mm (t),、dp(t)/dt=m fp(t),模型等效图：其中，m和p分别表示在mrn母口蛋白质在时间t时的浓度；和，分别 是mrn厌口蛋白质降解速率；、是翻译速率；gp函数代表转录时蛋白质的反馈调节。考虑到转录的时间延迟，monk16提出了以下模型：dm(t)/dt=%gp(t-。 一%m(t),1dp(t)/dt=m(t)-，p(t),7xxxx大学2013届本科生毕业论文模型等效图:m23并显示所观察到三种蛋白质的振荡表达和活性很有可能受到转录的延迟驱

30、 动。一个基因调控网络由多个基因的相互作用和调节其他基因的表达蛋白(基因 衍生物)组成。刺激和抑制蛋白质在转录，翻译，翻译后的过程控制中基因表达 的变化。在本文中，我们考虑以下差分方程5,19所描述的grnsm*(t) = -aim i(t) +g (p1(t 仃)，p2(t 一仃),，pn(t 一仃)，* .i pi(t) =-gpi(t)+dimi(t-t(t),i =1,2,n,其中mi尸i三r分别是第ij节点的mrn符口蛋白质浓度。参数ai和c分别是 mrn舟口蛋白质的衰变率；di是翻译速率，函数 gi代表转录蛋白质的反馈调节，通常是一个非线性函数，但每个变量都具有单调性。人们可以发现

31、，网络中的任何单个节点i或基因中，有到其他节点输出或基因pi(t 一6)和来自其他节点的多输入pj(t-g(t)(j =1,2,-,n)o这些基因网络的结构和调节机理可以作为参考。作为一个单调递增或递减的调控函数，gi是通常的 michaelis-menten 或hill形式。在本文中，我们所采取的就是这种所谓的su建辑。也就是说，每个转录因子j是基因i的一个激励，于是gij(pj(t) f(pj(t)/ -j)hj1 (pj(t)/ -j)hj如果转录因子是基因的一种阻遏，于是gij(pj(t)=坊1 (pj(t)/ -j)hj(pj(t)/ -j) j= bij (1 h-);1 (pj(

32、t)/ j) j其中hj是hill系数，总是一个正的常数，氏是有界常数(无量纲的转录因子j至”的转录速率)。因此，我们可以改写系统如下：mi(t) =tmi(t)八 wjfj(pj(t-”t) b,jpi(t)=-gp(t) dimi(t . .(t),i =1,2,n,其中fj =(x/pj)hj/(l+(x/pj)hj),bi=同卜和ii是集所有的j,这是一个i基因阻遏, w =(wj)wrnni 定义如下：瓜，当转录因子j是i的激励，wj =0, 当节点j到i无连接，-6，当转录因子j是i的阻遏。系统改写成紧凑的矩阵形式，我们得到.m(t) = am (t) +wf(p(t 仃(t) +

33、b, p(t) = -cp(t) +dm (t-t(t),三、线性矩阵不等式与无源性条件(一)系统模型建立 变时滞基因调控网络：x(t)=-ax(t)+bf(y(t -a(t)+l,m(t) = qy(t)+ dx (t-kt),其中 x(t)=xi(t),x2(t),.,xn(t)t, y(t)=y(t),y2(t),yn(t)t；mi(t), pi(t)分别是t时刻i节点的mrna口蛋白质的浓度；a =diaga,a2,an , c =diagc1,c2,cn表小mrnaf口蛋白质的降解或稀释率;d =diagdi,d2,，dn , b =bj rnn是耦合矩阵。b被定义如下:当转录因子j

34、是i的激励，bj =s, 当节点j到i无连接， 耳，当转录因子j是i的阻遏。非线性函数f()wrn表示转录蛋白的反馈调节，用hill形式的单调函数，即hjfj(x)=一 , hj 是 hill 系数 1 x j随时间变化的延迟 七和仃(t)假定?f足0wt)we, 0 g(t) w。并且t(t) m吃,仃(t)er20,所有的tf之0tftf即 2 xt(s)u(s) yt (s)v(s)ds _ - ut(s)u(s) vt(s)v(s)ds00在零初始条件下。引理1.对于任何常数矩阵xwrn：x=xtao,标量。a0,向量函数 w:0,ot rn和有关的积分的明确界定，得0 w(s)ds

35、xw(s)ds-t /_；: 0 w (s)xw(s)ds.引理2.对于任彳s矩阵p a0和向量x,y下面等式成立 一 2xt y ,三 xt px yt py.引理3.设f, h和g(t)是适当尺寸的实矩阵且g(t)满足g(t)tg(t)ei 同时，任何标量；0t 1ttfg(t)h (fg(t)h)t ffthth.(四)无源性条件与线性矩阵不等式这节中，我们分析了不确定的基因网络的无源性，随时间变化的延误 (6)通过使用 lyapunov稳定性定理和无源性定义(9)。首先，我们考虑了系统的无源性(5),也就是说, 案件 m(t)=0, ab(t)=0, ac(t)=0,和 如0)= 0(

36、6)。在下面，我们用*表示对称的 一部分。定理1.模型(5)在任何0 wm mt(t) mem和0ctm ecr(t) mctm时渐近鲁棒稳定且无源, 如果分别存在正定矩阵qi,ri(i =1,2,3,4),s,t ,对角矩阵u ,满足：-as1 q3q1 i,-31q4-：4：0-11 -1 = -2q1 a q1 q2 - q302 -v0q32、q4 -s一 1 -1 一-3 - -q2 - q3 - - q4 0 j1 _,4 =dr1dq4 dtd口1-ct00r1 + i 1二001r4-40000_1二1-2rcr1r2 -r3二 0 r 1r 1r_3 - -r2 - r3 r

37、4二 0二 4 =btqb btsb-2ukk =diagk1，k2, ., kn.定理1的证明：使用的grns真型：；dx/dt = ax(t)+bg(y(t仃(t) +u(t);、dy/dt =-cy(t) + dx(t 4)+v(t);给出以下的lyapunov-krasovskii 泛函:v(t) =m(t)，2。)v3(t)，4。)75。)，v i(t) =xt(t)q：x(t)yt(t)r：y(t),t tt tv 2(t) = x (s)q2x(s)ds，1 y (s)r2y(s)ds, t -0.t mt t tt t tv 3(t) = j sxt q3 x(0)d6ds+

38、l yt r3 yd8ds,ttttv 4(t)=2、xt(s)q4 x(s)ds 2yt(s)r4 y(s)ds,t _p ft -r yq)dids.t -o t -otv 5(t) =xte)q4x(u)dudst vo s为了显示无源性j(tf) = 0f - ut(t)u(t) vt(t)v(t) 2xt(t)u(t) yt(t)v(t)dt, tf _0考虑到零初始条件，可推导tfj(tf) = 0 v(t) - ut(t)u(t) vt(t)v(t)2xt(t)u(t) yt(t)v(t)dt -v(tf)三 0fv(t) - ut(t)u(t) vt(t)v(t) 2xt(t)

39、u(t) yt(t)v(t)dt.通过我们使用的grns真型下面讨论泛函v (t) - ut(t)u(t)vt(t)v(t) 2xt(t)u(t)yt(t)v(t)下面将问题分解证明各部分v ： =dxt(t)q1x(t) yt(t)ry/dty(t)dt”xt q1x(t) xt(t)qt(t) ry yt(t)r dtdt dt带入基因调控网络，qi对称dxtq：x(t) = xt (t)qi dtdx(t) dyt (t)dt dtr：y(t) = yt(t)riy(t)dt= 2xt(t)qi 幽) 2yt (t)r1 幽 dtdt= -2xt(t)qax(t) 2xt(t)qbg(y

40、(t-二(t) 2xt(t)q：u(t)tvz(t)=d xtt -0-2yt(t)ricy(t) 2yt(t)r：dx(t - - (t) 2yt(t)r：v(t)t t(s)q2x(s)dsy (s)r2 y(s)ds/dtt 二-0u(t)由于 v(tj ds = f(u(t) u(l) . f(v(t)v(l) dtdtdt= xt(t)q2x(t) -xt(t - 0)q2x(t- 0)yt(t)r2y(t) -yt(t - dr2y(t -二。)tt t tx (0)q3x(e)d6ds+ ss y (0)r3 y(0)d6ds/dtt t . .t t .设x (8)q3x(8)

41、d日=x(t) x(s)y (6)r3 y(e)d8ds =y(t) y(s)-tt.=d if x(t) x(s)ds+ y(t) y(s)ds /dt nt4变换后，s变为合理的常数=0-x (t) - x (t - )二-y(t) -y(t - ：0)dtdtt小一 ,、 = 0 x (t) q3 x(t)t - i s -,1t .八, . t -q t 八, t。 t-s y -)r3yc)di sx(e)q3x(e)d0 - s x(e)q3xde+ % yt(t)r3 y(t)-ytr3y(日)d日ilst,t-x q3x(t)- ttx (u)q3x(u)du -0*t 号+%

42、 yt(t)r3y(t)-jyr3 y(det 与 yt(s)r4 y(s)ds / dtttv4(t) =d 2、,_.x (s)q4 x(s)ds 2tt_二 2、xt(t)q4x(t) -2：. xt(t - .0 、)q4x(t - 0 、)2 yt(t)r4 y(t)-2 yt(t -00)r4 y(t-二0)x，c)q4 x(i)dudst to 必 t f c.v5 = d i . s、txt(rq4x(u)dr - x(t - 0 、)-x(s),-0ty r yq)d =y(t - 0) -y(s).t-0 .0t-0 -iojx(t-0 - )-x(s)ds t_o_y(t

43、-0) -y(s)ds /dtts4 )q .0d6 n-t . x q)q4xq)di2 yt(t - 0 )r4 y(t- 0)-0 - t .y r4yq)d -tt t _*.=2 x (t - 0)q4 x(t - 0 、)- x (i)q4 x(u)dit -0t一. t .2 y (t - 0)r4 y(t- 0)-l o_y (fr,yqru卜面，推导要用的不等式根据引理1-xt(s)q3x(s)dst -01 tt t-t_0x(s)dsq3t_0x(s)ds-x(t)-x(t-.0)tq3x(t)-x(t-0)-01 t1t2 t-x(t) q3x(t)x(t - 0) q

44、3x(t - 0) x(t) q3x(t - 0),0- 0- 0t t,y (s)r3 y(s)dst t：01 -二 0tt tj：0y(s)ds r3tv0 y网1t _一y(t) -y(t -二。)&y(t)-y(t -二。) 二 5 yr3y(t)y(t -00)tr3y(t -二。)y(t)t r3y(t -二0).考虑工0,工(。0,和仃(t)关系,可以分类讨论(a) 0 ：二(t)：t-0 、.； x tf _1_一 (t) -1* . f t .q4x(1)df m - jx q4x(1)dit t0 tt t0 -t_(t)x(.)d.tq4t_(t)x(.)d.x(t-.

45、0)-x(t-.(t)tq4x(t-.0)-x(t-(t)二 0 ：(t)：t0 二tt 一 ytq)r4yq)d=-tt r-0 -tt t：0(rr4 yduct -ct1t r/0 . t t 与,.kvt)yd r4yt)y.1 _ y(t-10)-y(t-:(t)tr4y(t-；=0)-y(t-t).-0(b) o (t)：t -0 4 tt -.(t) t-xt(-)q4 x(-)d- - xt(-)q4 x(-)d-t to t t01 t_(t) t t_(t) -t x(u)du q4x(u)dio - (t)-0一01 tx(t - (t) -x(t - 0) q4x(t-

46、 .(t)-x(t- .0) - 0 - m二0 二(t)：t tt _p) t-t y r4y(rd，： -t y oryem。 t 4.0 t 4.01 tf.(t) ttf -t yc)dr,qy(u)d二 0 - o(t) i。if。1y(t -二)-y(t -/)tr4y(t -:)-y(t 入).；-0 7 m设s和t是正定矩阵，则t2xt(t)sx(t) ax(t) -bg(y(t -:(t) =0,2yt(t)ty(t) cy(t) -dx(t- (t) =0.因此，由引理22xt(t)q1bg(y(t -二(t)ext(t)q1x(t) gt(y(t -二(t)btq1bg(

47、y(t -二(t), 2xt(t)sbg(y(t-c(t)ext(t)s；(t) gt(y(t -二(t)btsbg(y(t -二(t),2yt (t)r1dx(t - (t)yt(t)r1y(t) xt(t-(t)dr1dx(t-(t), 2yt (t)tdx(t- (t) yt (t)t y(t) xt(t - - (t) dtdx (t - - (t).注意到边界条件，任何对角正定矩阵u,可以得到2yt(t -二(t)ug(y(t -二)-2gty(t -0(t)uk,g(y(t -二(t) - 0综合上述推导得到下面的不等式v(t) 一 ut(t)u(t) vt(t)v(t)2xt(t

48、)u(t) yt(t)v(t)=-2xt(t)qiax(t) 2xt(t)qibg(y(t 一二)2xt(t)qmt)-2yt(t)ricy(t) 2yt (t)rdx(t 一(t)2yt(t)rv(t)xt (t)q2x(t) -xt (t - 0)q2x(t - .0)yt(t)r2y(t) - yt(t - ：0)r2y(t 一入)_,tt. 一.t_t t._.0 x (t)q3 x(t) - x (u)q3x(u)d ：0 y (t)r3 y(t)-+ y (-)r3 y(-)d-t _ 0.t -c,0_，、，、_ t,、 ，、2 x (t)q4 x(t) -2、x (t i0、)

49、q4 x(t f ；0、.)2 yt(t)r4 y(t)-2 yt(t二0)r4 y(t -二0)一 t一 t -。j t 一 ,.2、x (t - 0 、)q4 x(t - 0-) - x ( i)q4 x(u)du-t -02 yt(t - 0)r4 y(t - 0)- ut(t)u(t) vt(t)v(t)2xt(t)u(t)yt(t)v(t)e-2xt(t)qiax(t) xt(t)qix(t) gt(y(t-:(t)btqibg(y(ti;(t) 2xt(t)qiu(t)其中-2yt(t)rcy(t) yt(t)ry(t) xt(t-.(t)dridx(t-.(t) 2yt(t)rv(t) xt(t)q2x(t) -xt(t - 0)q2x(t - 0) yt(t)r2y(t) - yt(t -dr2y(t -00)0 xt(t)q3 x(t) - x(t)t q3x(t)x(t - 0)tq3x(t - .0) - x(