数字图像处理课程设计-小波变换

1、摘要小波变换的理论是近年来兴起的新的数学分支，素有“数学显微镜”的美称。它 是继1822年傅立叶提出傅立叶变换之后又一里程碑式的领域，解决了很多傅立叶变换不能解决的困难问题。小波变换可以使得信号的低频长时特性和高频短时特性同时 得到处理，具有良好的局部化性质，能有效地克服傅氏变换在处理非平稳复杂信号时 存在的局限性，具有极强的自适应性，因此在图像处理中具有极好应用价值。 本设计 主要分析了基于小波变换的图像分解和图像压缩技术，并运用Matlab软件对图像进 行分解，然后提取其中与原图像近似的低频信息， 达到对图像进行压缩的目的。分别 作第一层分解和第二层分解，并比较图像压缩的效果。 关键词：小

2、波变换；Matlab；图像分解；图像压缩i摘要I第1章绪论11.1设计背景11.2设计要求11.3设计思路简介1第2章 小波变换处理图像设计过程 22.1小波变换的分解和重构算法22.2小波变换在图像压缩中的应用 4第3章 软件设计与仿真 63.1 MATLAB 程序63.2结果及分析7第4章总结与展望9参考文献10第1章绪论1.1设计背景小波分析 是当前应用数 学和工 程学科中一个 迅速发展的新 领域，经过 近10年的探索研究，重要的数 学形式化体系已经建立， 理论基础更加扎实。 与Fourier变换相比，小波变换是空间（时间）和频率的局部变换，因而能 有效地从信号中提取信息。通过伸缩和平移

3、等运算功能可对函数或信号进 行多尺度的细 化分析，解决了Fourier变换不能解决的许 多困难问题。小波变换联系了应用数学、物理学、计算机科学、信号与信息处理、图像处 理、地震勘探等多个学 科。小波分析是一个新的数学分支，它是泛函分析 、 Fourier分析、样调分析、数值分析的完 美结晶；小波分析 是时间一尺度分 析和多分辨分析的一种新技术，它在信号分析、语音合成、图像识另计 算机视觉、数据压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等方面的研究都取得 了有科学意义 和应用价值的成果。1.2设计要求利用小波变换的基本原理在MATLAB环境下编写程序对静态图像进行分 解并压缩，并观察分析其处理效果。1.3

4、设计思路简介一个图像作小波分解后，可得到一系列不同分辨率的子图像， 不同分辨率的 子图像对应的频率是不相同的。高分辨率 （即高频）子图像上大部分点都接近于 0,越是高频这种现象越明显。对一个图像来说，表现一个图像最主要的部分是 低频部分，所以利用小波分解就可以达到去掉图像的高频部分而只保留低频部分 的目的。MATLAB 是矩阵实验室（Matrix Laboratory ）的简称，它在数 学 类科技应 用软件中在数值计算 方面首屈一指。 MATLAB 可以进行矩阵运 算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其它编程语言的程 序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信

5、 号检测、金融 建模设计与分析等领域。本设计利用MATLAB 工具箱中的 Wavele Toolbox小波工具箱 对图像进行小 波变换。第2章小波变换处理图像设计过程2.1小波变换的分解和重构算法2.1.1小波变换的分解算法小波是函数空间l对于任意的函数或者信号f (x)，其小波变换定义为1x _ bWf(a，b)=jRf(X”(a,b)(x)dx 二而(xWhMx因此，对任意的函数f(x)，它的小波变换时一个二元函数。另所谓多分辨分析是指设Vj;Z是l2(R)上的一列闭子空间，其中的一 函数，如果它们满足如下五个条件，即(1)单调性：Vj Vj 1， j Z ；,IZVr0；j - Z 2y

6、ZVj = L(R)；f(x) Vj= f(2x) V j 1，一j Z ；(5) Riesz基存在性：存在(t V。，使得，：(2&- n) ; Z 构成Vj的Riesz 基。称(t)为尺度函数。那么称Vj；Z，(t)是L (R)上的一个多分辨分析。丄若定义函数),x) =22玖2一门)，于j，nZ，则由多分辨分析的定义，容易得到一个重要结果，即函数族_ji严 j n(x) = 2叫2 X - n) ； n e Z 是空间Vj的标准正交基。关于多分辨分析，在这里以一个三层的分解进行说明, 其小波分解树如图2.1所示(A表示低频，D表示高频)。(R)中满足下述条件的一个函数或者信号 书(X)2

7、I (x)|*C 屮=R* ii- dco(2) 唯一性:(3) 稠密性:(4) 伸缩性:这里，r=R-表示非零心丨实数全体。图2.1 小波分解法从图中可以明显看出，多分辨分析只是对低频部分进行进一步分解， 而高频 部分则不予考虑。分解具有关系 s二a3 d3 D? D1，另外强调一点，这里只是以一个层分解进行说明，如果要进行进一步分解，则可以把低频部分分解成低频部分和高频部分，以下再分解，依次类推。在理解多分辨分析时，必须牢牢把握一点，即分解的最终目的是力求构造一个在频率上 高度逼近空间的正交小波基，这些频率分辨率不同的正交小波基相当于带宽各异 的带通滤波器。从图2.1可以看出，多分辨分析只

8、对低频空间进行进一步的分解， 使频率的分辨率变得越来越高。2.1.2小波变换的重构算法i设 p、q,（ i=1,2,3）是由两个一元两尺度序列得到的二元尺度序列,12112212312 一Pi,j = Pi Pj，Pi,j = Piqj，qi,j=qi Pj，Piqq。则有重构算法为Ck 1 ；n,mi,j3 iiPn 2l,m=2jCk；l，jqn -2l ,m -2 j d k;l，jj=1小波重构的数据传递示意图如图2.2所示56LLLH 1 2T f 2 |k p(n) p (m)T f 2 |* q (n)c(n ,m)HL* f 2 p (n)* f 22q (m)HH图2.2 小

9、波重构数据流示意图2.2小波变换在图像压缩中的应用二维离散小波变换后的系数分布Sjf( n,m)wf( n,m),w2f( n,m),w3f( n,m) ezJ = - J - 1 (n,m)构成了信号f(x,y)的二维正交小波分解系数(如图2.3所示),S33W33W23W11W32W312W2W212W1W1图2.3二维正交小波分解系数它们每一个都可被看做一幅图像，W【f(n，m)给出了 f(x,y)垂直方向的高3频分量的小波分解系数， W j f(n，m)给出了 f (x, y)水平方向的高频分量的小波 分解系数，W2珂n,m)给出了 f (x,y)对角方向高频分量的小波分解系数，$j

10、f123给出了 f(x,y)的低频分量的小波分解系数。由此可见，若用Sj，Wj，Wj，Wj123分别表示 Sj f (n，m)，W j f(n，m)，Wj f(n，m)，WJ f(n，m)经 2 : 1 亚抽样后 的变换系数(简称为子图像)，则任一图像都可以分解为j=-J，,， -1之间的3J+1 个离散子图像：s，W【，W2，W3其中S是原图像的一个近似，wJ =1，2, 3; j=-J , , ,-1)则是图像在不同方向、不同分辨率下的细节；如果原图像123i有N2个像素，则子图像Sj，Wj，Wj，Wj分别有2 N个像素，因而分解后 总的像素数Nt为J 2 I 叮 22Nt =4 N +3

11、區 4N -N可见，分解后总的像素数不变。二维数字信号也即数字图像，对它的处理时基于图像的数字化来实现的。图 像的书画结果就是一个巨大数字矩阵， 图像处理就在这个矩阵上完成。 所以，可 将二维数字信号dmn看做S f(n，m)，即*dmn=sf( n，m) = f (x, y) * 0(X,y)(n,m) = JJf (x, y)(x n, y m)dxdy R2并米用与一维情况类似的mallat算法。由于两次一维小波变换来实现一次 二维小波变换，所以先对该矩阵的行进行小波变换，再对列进行小波变换。从信号滤波的角度实现二维小波变换的框图分别如图3.4所示。图2.4二维小波变化的框图第3章软件设

12、计与仿真3.1 MATLAB 程序下面的实例是基于二维小波分析对图像进行压缩。一个图像作小波分解后， 可得到一系列不同分辨率的子图像 ，不同分辨率的子图像对应的频率是不相同 的。高分辨率（即高频）子图像上大部分点都接近于 0,越是高频这种现象越明显。 对一个图像来说，表现一个图像最主要的部分是低频部分， 所以一个最简单的压 缩方法是利用小波分解，去掉图像的高频部分而只保留低频部分clc;clear all;a二imread(l.bmp);X=rgb2gray(a);subplot(221);image(X);colormap(gray(256);title(原始图像);axis square;

13、c,s=wavedec2(X,2,bior3.7);ca仁 appcoef2(c,s,bior3.7,1);ch1=detcoef2(h,c,s,1);cv 仁 detcoef2(v,c,s,1);cd1=detcoef2(d,c,s,1);a仁 wrcoef2(a,c,s,bior3.7,1);h仁 wrcoef2(h,c,s,bior3.7,1);v1=wrcoef2(v,c,s,bior3.7,1);d1=wrcoef2(d,c,s,bior3.7,1);c1=a1,h1;v1,d1;subplot(222);image(c1);axis squaretitle(分解后低频和高频信息)；

14、ca仁 appcoef2(c,s,bior3.7,1);ca仁 wcodemat(ca1,440,mat,0);ca1=0.5*ca1;subplot(223);image(ca1);colormap(gray(256);title(第一次压缩图像);axis squareca2二appcoef2(c,s,bior3.7,2);ca2二wcodemat(ca2,440,mat,0);ca2=0.25*ca2;subplot(224);image(ca2);colormap(gray(256);axis square;title(第二次压缩图像);3.2结果及分析运行程序，得到的结果如图3.1所

15、示ile tdi t i ew 】四七 Jcols HesHap D a； U # h 欣遲分解后低频和高频信息5010015020050 100 15Q 200 250庫始图像10020C30040010U 200 300 400 5D0R 40 GO SO 100120140第一績压缩图像2040GO80WO20如60204060第二次压缩圄傑图3.1运行结果从图中可以看出，第一次压缩我们是提取原始图像中小波分解第一层的低频 信息，此时压缩效果较好，压缩比较小（约为1/3）；第二次压缩是提取第一层分 解低频部 分的低频部分（即小波分解第 二层的低频部分），其压缩比比较大 （1/12），压缩

16、效果在视觉上也基本过得去， 它不需要经过其它处理即可获得较好 的压缩效果。第4章总结与展望这次设计利用小波变换完成了对静态图像进行压缩的目的，基本上实现了设计的要求，在这里对江老师的指导和帮助表示感谢。图像压缩是一个很有发展前途的研究领域， 它的研究就是寻找高压缩比的方 法且压缩后的图像要有合适的信噪比，在压缩传输后还要恢复原信号，且在压缩、 传输、恢复的过程中，还要求图像的失真度小。而将小波分析引入图像压缩的研 究范畴，当一个图像作小波分解后，可得到一系列不同分辨率的子图像， 不同分 辨率的子图像对应的频率是不相同的高分辨率子图像上大部分点的数值都接近 0,越高就越明显。而对于一个图像来说，表现一个图像的