数学竞赛难点之无穷级数

1、第四章无穷级数4.1.基本概念与内容提要级数J an与J can收敛性相同。若级数 J an与J bn都收敛，贝U级数佝_ bn)也收敛, nnn4n4n且7 (an _bn)八，anbn。若级数a.与bn都发散，则级数7 (an _bn)不一定发散。n =1n 4n $若级数J an收敛，bn发散，则级数n 4n =4qQ由级数J (an bn)收敛不能得到级数n 4等比级数qnJn 41,当q ci时收敛且送n=1qQV (an _bn)必发散。n 4qQqQ、 an与7 bn收敛。n =1 n =1qn=丄；当q时发散n =41 -qP级数7丄，当p1时收敛，当0 :： p叮发散。其中调

2、和级数n空nr 1r级数发散，其中k为正常数。级数7 (an-an1)收敛二n 二 n + knAqQqQOd A、-发散。n ! nlim an存在。n如果级数J an收敛，则lim an =0。如果lim a= 0，则级数an必发散。n经y5n经改变一个级数的任意有限项，不改变其敛散性，但在收敛时原级数的和改变。收敛级数 加括号后仍收敛于原级数和。若加括号后所得级数发散，则原级数也发散。 正项级数审敛法：1 .正项级数的收敛准则： an收敛=n A2.正项级数比较判别法：大收小必收，小散大必散。cdoOoOCO若lim 5=1 l 0 ,则bn收敛=、a.收敛；a.发散=、d发散。n =1

3、n bnn z!n=1nVa血oOa、an发散。n T若lim电=0,则a bn收敛=、an收敛。若lim电:，则b发散= bnn 吕nn 厂 gnd解题时常将级数a an与p级数三比较，以判定a an的敛散性。n Tn T nnW3.根值判别法：设：? =lim n ，则当0：1时，级数收敛；当r1时,级数发散；当=1时，不确定。注意： 上0时级数也收敛4比值判别法：设：亍=lim -anl，则当0空亍：1时，级数收敛；当1时,级数发散；当5.积分判别法：i an亍=1时，不确定。注意：；-=0时级数也收敛。f x是在1,：上单调递减的正项连续函数，则正项级数二f n与广义积分.f x dx

4、具有相同的收敛性。n d广义积分f x dx的敛散性的判别方法与正项级数的相同。6定义法：Sn =5 U2亠亠Un；lim Sn存在，则收敛；否则发散。n_SC交错级数q -u2（或-q u2-U3 ，un 0）的审敛法莱布尼兹定理:Un _ Un 4如果交错级数满足nn+，那么级数收敛且其和S兰u4,其余项rn的绝对值rn Eun*。交lim un =01nn 计qQ错级数瓦（-1 j1 an判断收敛一般用下述方法：n 4莱布尼兹定理：如果交错级数满足a.色仏卑,lim仏=0那么级数收敛且其和sE,（1）n 厂其余项rn的绝对值rn an 1O如果:an 不满足条件，则一般可改用：（2）取通

5、项的绝对值所构成的级数，若收敛则原级数绝对收敛；若此绝对值所构成的 级数用比值法或根值法判定发散，则通项不趋于 0，原级数发散。（3）拆项或并项的方法，将通项拆成两项，若以此两项分别作通项的级数均收敛，则 原级数收敛；若一级数收敛另一发散，则原级数发散。若并项后的级数发散，则原级数 也发散。（4） 如果能立即看出nim_an=0，则级数an必发散。nnT绝对收敛与条件收敛：qQqQqQqQ若二an收敛，则& an收敛且称为绝对收敛；若二an发散但an收敛则称为条件收敛。n土nnn4由产an发散不能断言芳an也发散。但如果I an的发散是由比值法（或根值法）n 2nAnAqQ推断出的，贝U li

6、m an式0，从而lim an鼻0，于是送an也发散。调和级数1发散，而上亠收敛；级数1收敛。nni绝对收敛级数的和仍绝对收敛，绝对收敛级数与条件收敛级数的和是条件收敛。Q0O0任意项级数的判别法： 绝对值判别：若级数瓦|an收敛，则瓦an收敛。即绝对收敛的级n经n T数一定收敛。拆项或并项的方法，将通项拆成两几项之和，利用交错级数和正项级数 的判别方法。其一般判别步骤如下图所示：幕级数:1 x x2 x3xn x对于级数(3)a0 a1x - a2x2 anx数轴上都收敛，则必存在 R,使x c1时，收敛于1 -x_1时，发散，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全:R时收敛-R时发散，其中R称

7、为收敛半径。二R时不定级数在收敛域上的性质:若幕级数& anxnn =1cOcO、(anbn)xx anXnn Mn 二 1liman +n-?Can求收敛半径的方法：设-:，其中a的收敛半径为Ran 1是 (3)的系数，贝0时,，&bnxn的收敛半径为&，则n =1,收敛半径 R = mi。丄xn的收敛域为例：幕级数：J i 1=n 5亦艺丿解：由于limn艺nJ 5 1 . n 1 f 1 半径为2，、nTn 2 丿所以，收敛域为i-1,11。当两个幕级数的收敛域不同时，它们的和的收敛域是两个收敛域的交集，这种方法可以简化求幕级数的收敛域。n=2n= 1,lim 令 二，a 1 xn的收敛

8、半径为1 =xn的收敛 八才 2 n*nn/2n00 f 11 、的收敛半径为1，当x = 1时，级数送一戸+ xn绝对收敛,2 丿n =2qQ幕级数在收敛域-R,R上绝对收敛，且和函数S(x)为连续函数。若anxn在-R或R处n丄收敛，则S(x)在-R或R处分别右连续、左连续。和函数S(x)为可导函数且qQS X =anrxn，逐项求导后收敛半径不变。和函数S(x)为可积函数且n二QOx- x.0 S(t dt =瓦10 antndt，逐项积分后收敛半径不变。逐项求导、逐项积分后，收敛半径n生不变但收敛域可能改变，在端点处的敛散性可能改变。若幕级数E anxn在x =x()处发散，则当x x

9、时级数2 a n发散n吕。如果在某点n 4X二Xo处幕级数条件收敛，则X = X0必位于该幕级数的收敛域的端点。anoCioCi ”例：设幕级数送an(x-1)n在x=3处条件收敛，则幕级数送 旦 xn*在x=3处(C ) n 二nT n + 1A.条件收敛B. 绝对收敛 C. 发散 D. 收敛性与相关解：原幕级数在 x=3处条件收敛说明收敛半径为3-仁2。幕级数经逐项积分、平移后，收敛半径不变，所以后一幕级数的收敛域为(-2，2。X=3在收敛域外，所以在该点处发散。或P = 1计扃(P可以为渋)nSC 5,1an 1an幕级数、anxn收敛半径的求法：设=limn#1P=0时Rh当P 时R

10、= 0当Ph 0, oo时R=。此种求收敛半径的方法是充分条件,则当an 1anoOoO2n 3nanX 、anXn壬n *若limn1】不存在时并不能说收敛半径不存在，因为收敛半径总是存在的。对于类似等级数的收敛半径不能这样做，应根据nmUn 1Un:1求收敛半径。例：求二2卑/的收敛半径。解：设Un二単 X2n,用比值判别法,n(n!)(n!)由nmUn 1Un2n 2 2n 122x(n +1)1= 4x2得：当 x 1，级数2n发散；所以收敛半径为 R=122n2X nd n!错解：由公式lim5an二 lim 2n 2 2? 1 二 4，所以 R =1。n/ n ：；-14n小试身手

11、：幕级数n一 x2n的收敛半径为z2n +(3)级数的和的求法： 观察所给幕级数通项xn的系数an，若an为n的简单有理式，则通过拆项将其拆成更 简单的分式之和；通过逐项积分，设法消去分式中分子的n(或n-1,n+1等)；通过逐项1。1 -X(答案：x3)求导，设法消去分式中分母的n(或n-1，n+1等)；最后设法利用级数之和xnn若q的分母为n!或2n !或2n-1 !也可通过上述方法化简，最后利用ex,sinx,cosx的展开 式求和。若an的分母为(2np或(2n-1)!也可通过上述方法化简，最后利用(1 + x)m的展开式求和。幕级数求和还应求出收敛域。常用方法举例：设s X =&an

12、Xn,用下列两种n 二,、d a途径求和函数 s(x )： ( 1) s(x)=f (瓦 nanXn_L)dx ； (2) s(x)=l 送 一 xn舟 n二(心 n+1用幕级数求和的方法求某些数项级数的和时，要找到一个适当的幕级数，求出它的 和，再命x为某值得到欲求的数项级数的和。已知某些和求另一些与此相关的和时，关 键步骤时，将欲求的前n项部分和表示成已知部分和，然后取极限。 函数展开成幕级数： 直接展开法：利用泰勒级数公式，将函数在某个区间上直接展开成指定点的泰勒级数。+ 3(XX0)2 叫。)2!x :(n)函数展开成泰勒级数：f (x)二f (x0)(x -x0)(n 1)余项：Rn

13、二Q(x-xo)n1, f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件 (n 1)!疋：x0 =0时即为麦克劳林公式:f(xrf(0) 5 中晋乩 lim R 0n :(叭n xf x展开成x的幕级数的步骤：1 求出 f n x n =1,2,. ; 2 求 f n On =1,2,.;3 写出 f(0)f(0)xf 2!n!上(n 1)Qxn1=0 位于0与x之间是f x的(n)xn 并求出敛散半径R;4当x HR时，mRnxTm(n I”f_xnn!x2 2!迈克劳林级数收敛的充要条件。此时f (x f (0) f (0)x f-(0)间接展开法：通过一定的运算(主要是加减法，数乘运算，逐项积分和逐

14、项求导运算) 将函数转化为其它函数，进而利用新函数的幕级数(主要是一些简单函数的迈克劳林展 开式)展开将原来函数展开为幕级数。间接法是将函数展开为幕级数的主要方法，具体 方法是：先求导，展开成幕级数后在积分；先积分，展开成幕级数后在求导。当然, 中间还要通过一些适当的运算。一些常用函数展开成幕级数：m 彳m(m-1) 2 m(m-1) (m-n 1) n(1 x) -1 mxxx (1 ： x ： 1)2!n!n 1;*1 f -1 2n-3 ! n 1 X =1 xx -1 X 12 n仝(2 n)!n11ii2 n -1 ! n1-2n 1 ! n1xn 一 1 ： X 空 1 ,1xn

15、一仁 X :： 1歼匸 心(2 n)!2n !=1-xx2n n-.AJ-1x . 1 ： x : 11 11 x x2. xn . 1 ： x 1 ，-2 = 1 2x . nxn，1 ： x ： 11-x1 - xIn 1x 二 xxn12x “x3 xn x+ +.-e =1 x+ +.+ +n 12!3!n!2:x :3 x5z2n 1-(-1)n ( _： : X ”牡巧3!5!(2n 1)!242nxxnX+- -1X:：2!4!2n !x+ +2sin x =xcosx =1n 1 xn 1-.一1 ： x : 123In 1 x-.23欧拉公式： eix =cosx isin

16、x cosx =2三角级数：ix_ixe e sin x 二2f沁弘心小；oO (an cosnx bnsinnx)n A其中，ao 二 aAo, a.二 An sin n, bn 二 An cos ；, 7 二 x。正交性:1,sinx,cosx,sin2x,cos2x sinnx,cosnx 任意两个不同项的乘积 在日,二 上的积分=0o傅立叶级数：a 00一亠二(an cosnx bn sinnx)，周期二 2 -,2 n A1 二1 二f (x)cos nxdx , bhf (x)sin nxdx(n 二 1,2,3)_ L7兀2_ 24111 2士(相减)22 32 4212f(x)

17、二其中an1 .1 - 232521 122328丄42正弦级数:an 二 0,左丄+丄十,224262二24丄-(相加)62,1余弦级数:0=0,bnf (x)sin nxdx n = 1,2,3二 02 二anf (x)cos nxdx n =0,1,2f(x)=v bn sinnx是奇函数f(x)二殳亠二an cosnx是偶函数0周期为21的周期函数的傅立叶级数：f(x) =a 7(ancosnx*bnsin nX),2 心llii1njr xinj x周期为 2l,其中 a. =- f f (x)cosdx , bn =- J f (x)sindx(n = 0,1,23 )1 _L11

18、 _L1当x是f(x)的连续点时，该级数收敛于f(x);当x是f(x)的间断点时，该级数收敛于在该点的左右极限的平均值O2f(x)42例题选讲00A例1.试求无穷级数7 arctan 的和。n2 +n +1tan x tan y 解：由于tan x - y :1 tan xtan yx _ y 时有 x _ y 二 arctan | tan x _ y = arctan tan x tan y1 tan xtan y.arctan n +n +1=arctan n _ n=arctan- arctan 1 n旳1二 Z arctann =1n2 n 14例2.设 U 是单调递增且有界的正数数列

19、,证明：级数收敛。证明：由于g单调递增，则0乞1Un二 U1 -山Un1Un1；Ui1 -Ui _UnU1 i4 U1U1由U单调递增且有界得lim Un存在II- I I级数a也也收敛,n =1U 1oo二级数送1-Un收敛例3.求级数v arctan 丄 的和。n =12n n T1解:2n2n = tan arctan，n丄 n - 1arctann 1narctany 二 arctanarctann 1 2nn +1JIn 14001nZ arctan = limarctan 心2nn -0的敛散性。00 ann!例4.讨论级数、nn丄nn 1a n 1 !解：limn=:n -a n

20、!nn级数发散；1 2x1 2QO解：设s x八当ae时，例5.求级数1-1、=alim n + 1 丿n-?c n + 1 丿oalimn .：:0ae时，级数收敛 x4- x6 +5 6+3 41 x2n，贝U s x=二 x12n x 2n (2 n -1)QO2n_2-nd-nn1a的收敛域并求其和.心 2n(2n -1)dx1 , 1 x2 In ,x 2 1 - xs x =1 -1s x In2 1 x1l xdx xln1 - x21 - x1 - x1 :心 2n(2n T)心= limn敛域为1-1,1】，和函数+丄n + n12n -1匚1丄二 Iim nn:-1 1 +

21、 x dx xln2 1- x_ +丄 1、2n12nn当1 2 In 1 - x2n丿11 - n1 dx01 xx In I n1-x2,x=1,1s x i；=二21 - x 2In 2,x-1例6.设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连导数，且iimf(x = 0，证明：级数丄绝对收敛 in丿因为函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且|皿旦直=0,则f(x)- f(0) 0f (0) =lim f (x) =0，且 f (0) =lim x证方法1由洛必达法则，lim丄单二lim f (x)二limf (X) f (0)f-2所以，叽 1二丄里，由比较判别法知，级数 f

22、2n 2绝对收敛。X-0 x2X-0 2Xt112112则f (x)在该邻域内的某闭方法2因为函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数, 子区间v,a上有界，即存在常数M 0，使得f(x)M。由泰勒公式f(x)二 f(0)知，在区间1 Mf | 例7.设an二0f(x)兰Mx2，从而存在正整数N ,当n.N时，恒有由此较判别法知，级数f绝对收敛。inx sin xldx,n = 1,2,，试求E色的值。 n二 2nan = /n兀-t) sint dtn兀八=n兀|sin xdx- xsin x dx，n応n 口所以 a.=f sin xdx22n : 20 sin xdx = n, n

23、 = 1,2,。 2记 S(x)八 n2xn, T ： x : 1，n =1 -x逐项求导，得J nx1(1-x)2整理得nxn=1(1-x)2再次逐项求导，得QO 2n x(1 - x)3整理得 S(x)=二 n2xnnmx(1 x)3 , T X1。(1 - x)3112112例 8.设 a4,a1,an n(n - 1)乱，n - 2，(1)求幕级数a.xn 的和函数 s(x)； (2)n =0求S(x)的极值。解：(1)设幕级数7 anXn的收敛区间为(-R,R)，逐项求导得n为S(X)=為 nanxn， S (x)=亠 n(n - 1)anxn，x (-r,r)。依题意，得 S (x

24、) an2xn anxn，所以，有 S(x)- S(x)二 0。 n三 n丄解此二阶常系数齐次线性微分方程，得S(x Cex C2e。代入初始条件S(0) = a0 = 4,S (0) = at = 1。得 = 5 ,C2 = 3。于是，s(x) = 5 e*3 e* o2 2 2 2(2)令 S (x)exe0，得 Xn3。又S (x)exe0，所以 s(x)在2225221 3x In处取极小值。2 5例9.设f(x)是(0,;)上递减的连续函数，且f(x) .0，证明数列an收敛，其中nnan - f (k) - f (x)dxok 土1n 1 n 1Q an+1 -a f (n 1)

25、- f (x)dx 二(f (n 1) - f (x)dx -0;nn(Q f(n 1)- f (x)乞 0)23又 Qan 珂 f (1)- f (x)dx f (2) - f (x)dx K12nf (n - 1) - f (x)dx f (n) - 0 a 收敛n dn 1n 111注a.=為- dx =1 - Inn收敛，它的极限值记为C，kk 1 x2n11一称为欧拉常数， 1Inn二C+o I (o I表示无穷小).2nn 1欧拉公式：Hn=I nn c o I ，其中 Hn， c = 0.57721， k0(1)表示无穷小，即limHn- ln)= co欧拉常数c，其近似值约为0

26、.57721566490153286060651209，目前还不知道它是有理数还是无理数。在微积分 学中，欧拉常数有许多应用，如求某些数列的极限。用欧拉公式求解有关级数的问题：1 11 + 丄 + I-(1)求级数V2n的和。心(n + 1Xn + 2)Hn 1 解：、112:H 二 H、上 Hn1n1n 1 n% 21 1Q0n A(2)求积分0dxlx x丿初,/1 _n解：I = .odx = .1IX x丿匚_x1(10 (1ndx = Zn +x 丿n丄iN* n +11zInn In2.通常也可以使用定积分的定义法求lim xn:1 1 1 1 1 limxn=lim lim()

27、= lim (-n n；：n n； n 1 2n n、 1 n1In2n二C+o (1), 2n1 n)n01 + x例10.设函数f(x)在(-：,；)上有定义，在x=0的某个邻域内有一阶连续导数，且1计丄凶 二a 0，证明、：(-1)nf(丄)收敛，而：f()发散x 0 xn 丄ny n证明：由 lim f (x) = a 0=f(0)=0和f (0) = a 0E0 XQQmQ(o f再由导数的连续性，存在x=0的某邻域I,使得f (x)0.(x I) f(x) (x l)，f(1)0f($ 0,且单调递减并以零为极限(n为自然数) nf (x)交错级数三(-1) f (石)收敛。再由linj = a 0二limnoO doO doOd.正项级数v讯丄)与a丄同敛散，级数a讯丄)发散。y n nn心n462 n例11.证明二2 -+收敛，并求和3!5!(2 n -1) !2n+1 !JI2nx2n02n 2Imm: H n2JI设s X八n吕(2n T )!a二 X、nd=x(eX2n T !2JCJs - e - e即所求和为 e - e 0 221100 a例12.设f x ,an = f n 0，求证：级数v o1-x-xn!g)anan+2珀1证明：将f(x)按马克劳林展开得f x 八