数学建模竞赛答案

1、答卷编号（竞赛组委会填写）论文题目：C组 另I：参赛学校：报名序号：（可以不填）参赛队员信息（必填）:姓名专业班级及学号联系电话参赛队员1参赛队员2参赛队员32011高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证

2、竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规 则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D中选择一项填写）： C我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话） ： 所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员（打印并签名）：1.2. 3. 指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：日期：2011 年月J2日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）C题：企业退休职工养老金制度的改革摘要：养老金制度是

3、指在一定历史条件下，一定社会层面上设计或形成的退休金的资金筹集、管理运营、支付模式的体系。在任何一个国家的现代化过程中，养老问题都是必然遇到且无法回避的一个问题。为实现建立适应市场经济体制要求的养老保险制度的目 标，养老保险模式选择及其运作必须遵循保障水平与社会生产力发展水平的承受能力相 适应的原则。那么反映保障水平的指标是养老金替代率，即养老退休金与退休前工资的 比率。社会生产力发展水平的承受能力反映在企业交纳的社会统筹基金在养老保险中的 比例，最后反映在养老保险基金的余额水平上。本模型运用MATLAB件模拟出职工未来的平均工资并用精算模型计算出养老金的替代率和收支平衡情况，并进一步了解养老

4、保险金的缺口情况。1一、问题提出：养老金也称退休金，是一种根据劳动者对社会所作贡献及其所具备享受养老保险的 资格，以货币形式支付的保险待遇，用于保障职工退休后的基本生活需要。我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，即企 业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按 一定比例（8%）缴纳到个人账户。这两个账户我们合称为养老保险基金。退休后，按 职工在职期间每月（或年）的缴费工资与社会平均工资之比（缴费指数），再考虑到退休前一年的社会平均工资等因素，从社会统筹账户中拨出资金（基础养老金），加上个人工资账户中一定比例的资金（个人账户养老金

5、），作为退休后每个月的养老金。养老 金会随着社会平均工资的调整而调整。 如果职工死亡，社会统筹账户中的资金不退给职 工，个人账户中的余额可继承。个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息， 为简单起见，利率统一设定为3%。养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切关系；工资的增长又与经济增长相关。近30年来我国经济发展迅速，工资增长率也较高；而发达国家的经济 和工资增长率都较低。我国经济发展的战略目标，是要在21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。现在我国养老保险改革正处于过渡期。养老保险管理的一个重要的目标是养老保险 基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄化社

6、会的顺利过渡。影响养老保险基金收支 平衡的一个重要因素是替代率。替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比 例。按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%.替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代 率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。 所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之差。附件1是山东省职工历年平均工资数据；附件 2是2009年山东省某企业各年龄段 职工的工资分布情况，附件3是养老金的计算办法。请建立数学模型，解决如下问题：二、模型假设1）假设此问题的外部因素不会发生

7、改变；2）参加计划的投资者在一开始投资后，到 59岁末都必须每月按时、按额投资该月 的资金，中间无间断和拖欠。三、模型的建立与求解：问题一：对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的假设， 并参考附件1,预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。由问题知，投保人每月都按照自己所处年龄段存入相应的金额，我们可以将其 按照月份不同分为12个不同的虚拟账户，并且假定将相应月份的投保金额存入相应 的虚拟账户中。至每年末，各月份所对应虚拟账户的存款相同，且利息至次年对应 月份才能获得。因此我们可以将每年中各月份的存款问题简化为只关注其中某一月 份进行分析。根据现阶段我国的经济

8、发展形势，并查找一些相关资料对我国未来经 济发展和工资增长做出以下假设：（1）经济发展方面：趋势之一：人民币国际化步伐加快人民币难成自由兑换货币，稳健升值是大势所趋趋势之二：新能源助中国成汽车强国趋势之三：能源消费居世界第一国内能源产出与需求间差距拉大，能源进口占总消费比例进一步提高趋势之四：银行走向“金融百货公司”银行杠杆化产品将通过提高资金使用效率 对实体经济投资产生积极影响趋势之五：由纺织大国迈向纺织强国创新将促使我国纺织服装产业结构向价值链 高端延伸趋势之六：文化创意产业迅速崛起潜力最大的是文化与其他产业尤其是制造业的 深层次结合趋势之七：网络生活进入物联网阶段“物联网”将引领电子消费

9、进入一个更便捷、 人性化、智能化的新时代趋势之八：粮食长期处于紧平衡趋势之九：资本市场趋于国际资本市场国际化程度的提高，将提升我国在全球资本市场的份额和地位趋势之十：城镇化率将接近六成户籍制度将逐步开放， 中小城市将成为吸纳农村 人口转移的主力。（2）工资增长方面：11511006.0106.060S.1109.0409.0910.0210.0710.1211.05酸全国暂城市B农杓图中所示是我国现阶段人民消费指数，即CPI可以从图中看出从99年开始是成稳步增长的形势，而工资的增长与CPI是同步的，所以可以推断出我国国民工资会持续 上。2、根据文中所给山东省19782010年平均工资统计表运用

10、 MATLAB软件模拟出如下 所示图形；1975198019S619901995200020052010由图形可预测山东省职工20112035年均工资为:年份年均工资：元年份年均工资：元201135123202373130201237889202475883201340212202578251201442769202680033201545216202782594201649012202885315201751203202987656201853897203099921201962031203110092720206498220321025642021663212033104683202269

11、25820341075312035110935问题二：根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年起分别从30、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下得养老金 替代率。问题分析：按一月份进行分析。如果在 30岁的第一月存入X元的投保资金，则在第二 年的第一个月对应虚拟账户上的累计户额为上一年一月利息加上本金，以及本年一月所存入的养老金额X。依次类推，在55岁的一月对应虚拟账户累计金额为 25年来所有一 月的本金和利息的总和。但是在 55岁开始，且在以后的20年里，每

12、月月初将会领到一 定数额（P）的养老金，我们可以认为所领取的养老金是从该月所对应的虚拟账户扣除。因此对于一月而言，从55岁开始领取P金额后，所剩的资金还会在次年有 3%的利息， 依次类推到第二十年时，一月的虚拟帐户将会为零，即虚拟账户中所有累计金额全部返 回给投保人，此时可以得到一个一次方程，P是未知量，所以方程的解就是 P的值。用此方法可以计算出不同年龄阶段的投资者投资不同资金时，从55岁开始的后二十年内每月月初所领取的养老金 P。因此针对上述问题可建立如下四个不同年龄阶段的数学模 型，（符号说明：30-75岁之前第n岁，一月份办理业务之后账户所剩余额；X2为3039岁阶段每月存入的金额数量

13、；X3为40 49岁阶段每月存入的金额数量；Xi为50 59 岁阶段每月存入的金额数量；p为55岁开始每月领取的退休金）110 % Sn+ x2 n = m,，39;110 % S + x n = 40 49 ；1.从30 39岁开始参加养老金计划的数学模型为：Sn =2 3，；110%Sn4 +x4 n = 50,59; 110%SnJ - p n =60,79.2. 从4049岁开始参加养老金计划的数学模型为：110 %Sn ! X3 n = m,，49;Sn =110 % Sn+ X4 n = 50,59;110%Sn一 p n = 60,，79.3. 从50 59岁开始参加养老金计划的

14、数学模型为：110 %Sn丄 +x4110%Snpn = m,59;n = 60,79.4. 从60 69岁开始参加养老金计划的数学模型为:Sn 一 110 % Sn A _ p n = 60 ,，791.职工缴费参考值:年龄段20-24 岁25-29岁30-34 岁35-39 岁40-44岁45-49岁50-54岁55-59岁平均 工资1730.1772085.222517.9292736.7833073.83244.243095.812980.14缴费 指数0.6730.8110.9791.0651.1961.2621.2041.1592.养老金替代率的计算:F表是该企业职工养老保险情况表

15、;年龄累计工作年资养老金个人账户累计金额/元缴费金额/元301578.25736.8483121255.26840.5883232042.69955.4163342932.391055.6283453965.131203.8883565179.293987.3636一 76602.185076.1923788306.126030.81638910295.866970.656391012561.777837.623401115052.948467.536411217819.849272.472421320852.0810026.696431424128.4210615.968441527671.

16、6111291.016451631482.4011939.168461735657.7412939.168471840102.7713517.592481944755.2614228.808492050187.0016376.184502155976.2217155.248512262027.3917508.744522368453.7023484.112532475328.0419306.32542582590.0920033.112552690226.1020658.264562798208.6621128.7125728106599.5221804.8165829115421.47225

17、23.165930124662.4023141.1846031134989.0626379.1446132145691.8626644.7286233156823.6127076.8966334168429.0227636.3126435180570.3428388.1846536186718.7029286.84退休前月平均工资S与刚退休时所得养老金和养老金替代率 乙应分为六种情况，即;30 岁-55 岁、30 岁到 60岁、30 岁-65 岁、40-55 岁、40-60 岁、40-65 岁。年龄段/30-5530-6030-6540-5540-6040-65岁S/元1329.0611428

18、.9561562.2771558.1301650.7061408.014Y/元6323.5837304.6668960.913768.0005169.2506323.583Z/元21.1%19.6%17.43%41.4%31.9%22.3%缴费指数1525.5842106.5143253.5911555.3602350.6543196.660问题三：假设该企业某职工自2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休(55 岁，60岁，65岁)，并从退休后一直领取养老保险金，至 75岁死亡。计算养老保险基 金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时， 其缴存得养老保险基金与领取的 养老金之

19、间达到收支平衡。1. 计算养老金缺口：由问题二中表格中可知；年龄段30岁一55岁30岁一60岁30岁一65岁所缴纳养老费总额298576.255 元373553.271 元412586.231 元所得总养老费325437.101 元366591.874 元379820.137 元基金缺口-26860.846 元6961.397 元32766.094 元2. 收支平衡的计算自2006年1月1日起,山东省按照国务院关于企业职工基本养老保险制度的决定， 开始实施新的养老保险金计发办法，同时,按3%起步逐步做实个人账户。在该新政策下， 按照部分积累的筹资模式，为了实现养老基金在当期和未来一个较长时期内

20、的收支平衡 根据部分积累平衡的精算模型，对影响养老保险基金收支平衡变动的各相关变量进行定 量和定性分析，考虑养老金收支平衡首先要确定平衡的目标期间。确定目标期间的目的 是为了使不同年份的社会养老负担均衡化。对于处在老龄化过程中的社会来说，是把未来老龄化严重时期的一部分养老负担转移到老龄化前期或初期。根据2005年12月颁布的国务院关于企业职工基本养老保险制度的决定(国发200538号)，由社统筹账户和个人账户相结合的现行统一的基本养老保险制度可 建立如下精算模型：养老保险费收入=月平均工资总额 X缴费率二企业缴纳的社会统筹基金(20% ) + 个人缴纳的个人账户基金(8% )(2)用公式可以表

21、示为：(3) A = c 1Wj + c 2Wj =Wj X ( c 1 + c 2 )(原政策规定：c 1 = (20% - 3%) = 17% , c 2 = (8% + 3% ) = 11%。新政策下，c 1=20% , c 2 = 8% ) 式中Wj表示第j年份在职职工的月平均缴费工资,c 1 和c 2 分别表示社会统筹账户和缴费比例与个人账户的缴费比例。式中Wj表示第j年份在职职工的月平均缴费工资,c 1 和c 2分别表示社会统筹账 户和缴费比例与个人户的缴费比例。(2)基本养老金支付=基础养老金=(参保人员退休时当地上年度在岗职工月平均工资+本人指数化月平均缴费工资)/2 X缴费年

22、限X 1%。(缴费年限须满15年)+个人账户养老金=(个人账户储存额 -国家规定的计发月数) 用公式可以表示为：b wjj 十B 二(Wb Wb 1N)2 N 1% 二 12c2WtS|r(1r)jN=15i -a W1i a式中；b表示退休年龄,a为参保年龄,Wb - 1表示在职职工退休前一年的当地社会月 平均工资水平,Wi表示第i年份在职职工的月缴费工资,Wi表示第i年份当地社会月平 均工资，N表示职工退休前累计缴费年数，c 2 表示个人账户的缴费比例，r表示个j人账户记账利率，Z 12c2wtS | r(VH r) j +为职工个人自缴费之日起至第j年的个人账i曲?1户累计额，E表示国家

23、规定的个人账户计发月数。如果不考虑隐性债务问题，养老保险收支平衡方法是以缴费期的收入满足若干年后退休养老金的支付。设养老金收支平衡的目标期为n年，n年期间内社会养老金收支平衡可表示为各年养老金积累额的期末终值等于零。即年龄段30岁一55岁30岁一60岁30岁一65岁差值为0时的年龄65岁69岁73岁问题四；如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为可以采取 什么措施。请给出理由。1缴费率缴费率表示缴费者的养老金缴费占缴费工资总额的比率。缴费率是平衡养老金收支时应放在首位考虑的因素，是决定养老金收支平衡的关键。因此，替代比例和退休年龄的确定要使缴费者能够承受缴费负担。如果缴费者

24、负担过重，应采取切实措施调整替代比例和退休年龄，使缴费率降下来。目前我国养老保险缴费率应控制在2628%以 下，其中企业缴费部分的缴费率应控制在 1820%以下。2退休年龄假定开始就业年龄为一定，退休年龄的规定关系到就业年龄以上人口中在职职工人 口和退休职工人口的比重，从而影响扶养比的大小。可适当延长退休年龄以减轻缴费者 负担。假定退休年龄延迟采取从2020年起延迟到60岁和从2050年起延迟到65岁的 分步延迟办法,可计算出19902100年目标期间在7080%替代比例下的缴费率为 21152416%。这个缴费率负担对缴费者来说是比较适中的。3工资增长率和养老金增值率工资增长率和养老金增值率

25、也是影响养老金收支平衡的重要因素。当工资增长率与养老金增值率差别不大时，对缴费率的影响不大。但是，当工资增长率高于养老金增值 率较大时，则会对缴费率和养老金收支平衡产生较大影响。因此，为使工资增长率与养 老金增值率的不等对养老金收支平衡的影响尽量减小 ，应使养老金增值率接近或等于工 资增长率。4目标期间目标期间是指维持养老金收支平衡所取的期间。当其他条件不变时，目标期间所取的长短与养老金平衡条件即缴费率的大小有很大关系。所以有两种方法。第一种取法体12现均衡负担原则，使前人和后代人在缴费上公平负担。第二种取法体现承受能力原则，即随着经济发展水平的提高，缴费者承受能力增强，缴费率也相应提高。5通货膨胀通货膨胀是通过对工资增长率和养老金增值率的影响对养老