数列求和常见的7种方法

1、数列求和的基本方法和技巧一、总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法（合并法求和）利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础.在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列

2、求和的最基本最重要的方法1、等差数列求和公式:2、等比数列求和公式：snn(ai , an)2naisn = 3(1 -qn) _ ai -anq i-q i-q(q =i)(q 二 i)3、. nisn = k n(n i) k i24、snin(n i)(2n i) 6i5、i23n例1已知log3 x =，求x + x +x + x +的刖n项和.log 2 3解：由log3 x-ilog 2 3， ci=log 3 x - - log 3 2 = x =由等比数列求和公式得23nsn=x x x-x(利用常用公式)11x(1-xn)_2(1-n1-12例 2设 sn= 1+2+3+ -

3、 +n , nc n ,求 f (n)=sn-的最大值.(n 32)511解：由等差数列求和公式得sn=n(n+1),21，八，sn =(n1)(n2)2(利用常用公式)f (n)=sn(n 32)51n2n 34n 6412111= 648 250n 34( . n -)5050nn8 r, ,、1当 jn，即 n=8 时，f(n)max= . 850二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an - bn的前n项和，其中 an 、 bn分别是等差数列和等比数列.例 3求和:sn =1 +3x +5x2 +7x3 + +(2n -1)xna

4、解：由题可知，(2n -1)xn的通项是等差数列2n 1的通项与等比数列xn的通项之积设 xsn =1x+3x2 +5x3 +7x4 +(2n-1)xn (设制错位)一得(1 -x)sn =1 +2x + 2x2 +2x3 +2x4 + + 2xn-(2n-1)xn(错位相减)1 - xn 4再利用等比数列的求和公式得：(1 -x)sn =1 2x 1- -(2n-1)xn1 一 xsn(2n -1)xn 1 -(2n 1)xn (1 x)(1 -x)2例4求数列2,当；”,前n项的和.2 22 232n2n 1解：由题可知，丁的通项是等差数列2n的通项与等比数列二的通项之积2n2n设sn1

5、sn22=一+222246 十22232n2nr1得(1 -)sn2二2-一2221 nj+ -十一-十+ 34n2222n 2n 12n2n 1（设制错位）（错位相减）sn = 4 -三、反序相加法求和这是推导等差数列的前 n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序）,再把它与原数列相加，就可以得到 n个（a1 +an）.例 5求证：c0 +3c： +5c2 + + (2n +1)c： =(n+1)2n证明： 设 sn =c0 +3c： +5c2 + - + (2n +1)cn把式右边倒转过来得sn =(2n 1)cn (2n -1)c -十+3c： +c0又由cnm=c：r可得

6、sn =(2n 1)c0 (2n-1)c；3c尸 cn+得 2sn =(2n+2)(c0 +c； + + c：/+c：) = 2(n+1)，2n（反序）（反序相加）sn =(n 1) 2n22222例 6求sin 1 +sin 2 +sin 3 + +sin 88 +sin 89 的值2、2、2、2 工、2斛：设 s = sin 1 sin 2 sin 3 d-sin 88 sin 89将式右边反序得（反序）（反序相加）_2 j 242-2-2s =sin 89 sin 88 一 s i n 3 s i n 2 s i n 122,又因为 sinx=cos(90 - x), sin x cos

7、 x=1+得2s = (sin21 +cos21 ) + (sin2 2 + cos2 2 )+ +(sin2 89 + cos2 89 )=89s= 44.52*题1已知函数(1)证明： /+/(1-加1;/fl+/fv-+/(-l+f-求uojuoj 1划的值.解：(1)先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边 (2)利用第(1)小题已经证明的结论可知，=右边令s=/113两式相加得:所以 2 .练习、求值:r 2 = -77 + 7 + t hf -t :f+l2,站 32+82102+t四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等

8、比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可一111例 7求数列的前 n 项和：1+1,+4，f + 7,：fj+3n2, 一 a aa111 一 _、解：设 sn =(1 , 1) ,(一 , 4) ,(二, 7)上二(f 3n -2) a aa将其每一项拆开再重新组合得111sn = (1 _ 二 -nr)(1 4 7 -3n -2)a a a当a=1时，&i十正如=且更 22(分组)(分组求和)当a#1时，snan . (3n-1)n121 -na - a (3n -1)na -12例8求数列n(n+1)(2n+1)的前n项和.解：设 ak = k(k 1)(2k 1); 2k3 3k2

9、 ksn = k(k+1)(2k+1) = (2k3 +3k2 十k)将其每一项拆开再重新组合得32sn=2 k +3 k +z k（分组）= 2(13+23，n3)+3(12+22 -,n2)+(1 + 2，n)n2(n 1)2n(n 1)(2n 1) n(n 1)（分组求和）n(n 1)2(n 2)五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如:(1)an二 f (n 1) - f(n)(2)sin 1=tan(n 1) - tan n cosn cos(n 1)(3)

10、ann(n 1)(4)an(2n)2(2n -1)(2n 1)2 2n -1 2n 1(5)(6)(7)(8)anan=二n(n -1)(n 2)2 n(n 1) (n 1)(n 2)n(n 1) 2n例9求数列2(n 1)。nn(n 1)(an b)(an c)2nn 2nj(n 1)2nc - b ( an b12,2. 3, , .n ，n 1解：设anan c,的前n项和.，则 sn =1-(n 1)2n（裂项）,111（裂项求和）则 sn1cos1：(tan89 -tano ) =： cot1 = sin1sin1sin 1. .11.2.2.3n 、n 1=(、.2 - .1) (

11、.3 - . 2) ( . n 1 - n)=.n 1 -1例 10在数列an中，an =十二一 + 一，+一n n 1 n 1 n 1_12n解：an =+，+n 1 n 1 n 1bn =j=8(1_,)n n jn n 12 2数列b n的前n项和.2 ,又bn =,求数列bn的刖n项的和.an an 1n2(裂项)（裂项求和）111111sn=8(1-2)(2-)(-；)(-例 11求证:1=8(1一有8nn 1111 + + * + zcos0 cos1 cos1 cos2 cos88 cos89cos1.2 .sin 1111斛：设 s =- -cos0 cos1 cos1 cos

12、2cos88 cos89sin1cosn cos(n 1)-=tan(n 1) -tan n（裂项）原等式成立答案:111一 一s =1e +1： + +1e(裂项求和)cos0 cos1 cos1 cos2 cos88 cos891=(tan 1 -tan 0 ) (tan 2 - tan1 ) (tan 3 - tan 2 ) tan 89 - tan88 sin 1六、分段求和法（合并法求和）针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这 些项放在一起先求和，然后再求 sn.例 12 求 cos1 + cos2 + cos3 + cos178 +

13、 cos179 的值.解：设 sn= cosl + cos2 + cos3 + cos178 + cos179（找特殊性质项）cos177 ） + （合并求和）cosn - _cos(180 -n )sn=(cos1 + cos179 ) + ( cos2 + cos178 ) + (cos3 + (cos89 + cos91 ) + cos90 =0例 13数列an： a =1,a2 =3, a3 =2且付二a9 -an,求 s2002.解：设s2002=a1a2a3 -，a2002由a1 =1,a2= 3,a3 = 2, an 电=an+ an 可得a4 = -1, a5 - -3, a6

14、 = -2,a7 = 1, a 8 = 3,a9 = 2,a10 二 - 1,an 二 -3, a12 = -2,（找特殊性质项）（合并求和） a6k-2 a6k 6 ） a2002-log 3 a10 的值.（找特殊性质项）a6）（合并求和）a6k 1 =1，a6k2 =3, a6k3 = 2,a6k:：；4二 -1, a6k 5二 -3,a6k 6a6k 1 a6k2 a6k 3 a6k 4 a6k 5 a6k 6 = 0s2002= a1 +a2 +a3 + +a2002=(a1a2a3a6) (a7a8a12)(a6k 1(a1993 a1994 a1998 ) a1999 a2000

15、 a2001= a1999 a 2000 . a2001 a2002=a6k 1 a6k 2 a6k 3 a6k 4=5例14在各项均为正数的等比数列中，若a5a6 =9,求1。93为+ log3 a2 + 11解：设 sn -log 3 a1 log 3 a2 - 一 log 3 a10由等比数列的性质 m n = p q= aman =apaq和对数的运算性质loga m +loga n = loga m，n 得sn = (log3 a1log 3a10)(log 3 a2log3 a9) (log 3 a5 log3=(log 3a1 aq(log 3 a2 a9)1log 3 a5 a

16、6)=log 3 9 log 3 9 - tog 3 9=10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来 求数列的前n项和，是一个重要的方法.例 15求 1 +11 +111 +11工二1 之和.n个1解：由于 1111 =39999 =1(10k -1)仆1* 9 1 * 3k个19（找通项及特征） 1111111111n个1111o 1,1(10 -1)(10 - 1)(10 - 1)(10 - 1)9999（分组求和）1123n=-(101010 + 3。)91 (1111)1 10(10n -1) _n910 -19=(10n 1 -10-9n)81例16已知数列an： an(n 1)(n 3)解：丁 (n 1)(an -an 1)=8(n 1)(n 1)(n 3) (n 2)(n 4)（找通项及特征）(n 2)(n 4) (n 3)(n 4)（设制分组）11-)8(-n 4 n 34)（裂项）x (n - 1)(an -an 1) =4、()81n 1（分组、裂项求和）133提高练习：1 .已知数列中，sn是其前n项和，并且sn书=4an+2(n=1,2,|),ai=1 , 设数列