一堂基于PISA的概念课实录与点评：人教版初中数学七年级下册《多边形》

1、类比引路 正反互助一堂基于pisa的概念课实录与点评“类比是思维的引路人”，在概念教学中若适当利用类比的方式，能有效驱动学生的思维于最近发展区，便于概念的初步构建，然后借助正反例，彼此依托，相互为用，能使概念的理解得到深入.当然这个历程不会一挥而就，需要师生、生生的相互碰撞、彼此争论等成长过程，在历经磨砺后修成“正果”.这也是pisa测试给我们教学的启示.以下以人教版7年级下多边形第一课时为例做一阐述.一. 类比引路，辩驳中建构播放图片，定格图形，学生观察，增进直观.问题1：图中你能抽象出你认识的几何图形吗？生全体：有，有三角形、四边形、五边形、八边形师：四边形、五边形可用一个名称表达，叫？生

2、众：多边形师：多边形包含三角形吗？生众：包含，三角形属于多边形，问题2：你能类比三角形的概念，给多边形以定义吗？生1：多条线段首尾顺次相连所构成的图形，叫多边形生2：不对，应该在同一平面内师：为什么加这一个条件，而三角形概念中为什么没加？生2：因为三条线段只要首尾相接就会在同一平面内，而其它多边形不行师：你能举出一个反例吗？生2：能，你看（比划着）a.dbc图1生3：还不对，还得需要指明不在同一直线上的多条线段！师生：愕然！师：能举一个反例说明吗？生3（请求板演画图说明）：如图1，ab、bc、cd、da四条线段顺次连接，但没有构成四边形全体同学鼓掌叫好！师：这个反例举得好，这样多边形该怎样定义

3、呢？生众：在同一平面内，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次相接所组成的图形称为n边形.三角形是最简单的多边形.问题3：根据三角形学习获得的经验，同学们估计多边形还需要明确哪些相关概念？生4：多边形的边、多边形的角、多边形的外角图2图3师：说得好，这其实就是类比的思想在起着作用，由于三角形是一个最基本、最简单的多边形，三角形的相关概念也应该能体现在多边形中师：如图2，五边形abcde（借此说明多边形的表示法：用顶点字母顺次书写，不能跳跃），谁能借助图形说明五边形的顶点、边、内角、外角？生5：顶点5个：a、b、c、d、e；边有5条：ab、bc、cd、de、ae；内角有5个：a、b、c、d、e；外角

4、在图里面见不到，得需要做出来.师（示意上黑板板演）：生5：延长任何一条边（如图3），延长线与相邻边构成的角就是，这样的角可以作出5个生6：不对，应该做出10个，不过其中的两两都分别相等问题4：我们知道，五边形的边是相邻顶点间的线段，从完善的角度思考，还应该研究？生众：不相邻顶点之间的线段师：对，这也是我们思考问题的常用方式求和谐.谁能命名这样的线段应该叫什么合适？生7：斜角线师（追问）：为什么？生7：因为这些线都斜着师（发现，画出来的这类线确实都是斜的，感觉有点误导，重新把五边形调整了一下，让be成水平状，来一个不斜的消除错觉）：连接be，还斜吗？生8（挠挠头，自己否定）：看来这个名字不合适师

5、：谁再说说？生9：可以叫对接线吗？师：理由？生9：因为这些线所连结的两个顶点不相邻，而是相对，所以才这样猜的师：同学们感觉如何？生众：可行师：说法确实合理，但为了表述更加明确，数学上称之为“对角线”生众（心有灵犀，点头称是）师：这是一般多边形不同于三角形的一个地方，自然也成了我们今天研究的重点.（师板书：对角线）（点评：教学至此，多边形的相关概念在类比的引领下已经悉数出场了，执教者营造环境，诱使学生观察、表述、画图、举例，相互辩驳，思维联动，各个概念在执教者的组织下形成并得以强化.）问题5：从一个顶点出发，4边形有多少条对角线？分成多少三角形？5边形？6边形？n边形？（师组织小组讨论）讨论结果

6、：1条，2个三角形；2条，3个三角形；3条，4个三角形；从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，分成（n-2）个三角形.师：你能确定一个n边形一共有多少条对角线吗？讨论结果：n 边形共有 条对角线（点评：问题5不但巩固、深化了对对角线的认识，揭示出多边形对角线条数的一般结论，更重要的是为下一节课探寻多边形的内角和作了孕伏，这种瞻前顾后的“大局”意识非常重要，彰显出执教者的教学“大气”.）二、四条线段足以撑起四边形吗？问题1：任意给出三条线段，能否构成三角形？生众：不能，需要满足三边属性任意两条线段的和大于第三条线段，否则，不能构成师：举个例子说明一下，好吗？生10：长分别1，2，4的三条线

7、段就不行师：例子简单但不失典型性，很好问题2：那任何4条线段都能构成四边形吗？生：一时语塞师：具体的考察一下如何？生：开始试生11：不一定，你看（板演：夸张地画了一条长线段40，3条短线段5、10、15，形成反差，如图4）图4师：同学们看怎样？能构成四边形吗？生众（大笑）：肯定不行师：这说明什么问题？生众：构成四边形的线段也需要讲条件！师：对，根据刚才同学的反例给予的启示，结合三角形的构成条件，我们猜想一下构成四边形的条件？生12：任意三边之和大于第四边，生13（反问）：这不和三边关系一样吗？生14：只要保证三条较短线段的和大于最长线段即可.师（点睛）：是的，它类似于三角形的构成条件，在识别时

8、，可借助生14的说法去确定，可缩短求解历程.有了这个发现，我们就不愁判断任何4条线段能否构成四边形了！师（追问）：5边形的构成条件我们能做出猜想吗？6边形呢？n边形呢？生众：（部分学生）任意n-1条边之和大于第n边；（部分学生）只要保证n-1条较短线段的和大于最长的线段即可.师：同学们使用类比，获得两种说法，都说得非常好，通过以上我们再次体会了一般与特殊的辩证关系.小试牛刀：1长度为1 cm、2 cm、3 cm、4 cm的四条线段能构成四边形吗？2若一个四边形的三边长为2cm、3cm、11cm，则它第四条边长x的取值范围是 .3246图53.（2009年台湾中考题）如图5，用四个螺丝将四条不可

9、弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整。若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为何？（ ）a. 5 b. 6 c. 7 d. 10 答案：1.能；2. 6 cmx16 cm；3.c.（点评：学生画龙老师点睛，体现了教为主导、学为主体的和谐，教材中并无本段内容，但类似的问题在后续学习中时有出现，故而执教者“风物长宜放眼量”，以拓展为基发展学生的思维力，类比三角形构成的条件探得多边形各边之间的关系.可见，执教者组织的这段教学，一定程度地体现了“用教材教而不是教教材”的现代理念.其中小试牛刀中的3很好地联通了四边形

10、与三角形的互化关系，透出执教者的良苦用心.）三：正反对照见真谛出示特殊多边形图片（图6）图6问题1：这些图片集体呈现，较之前面的图片有何差异？生15：正规，顺眼师：对，这些图片长得比较匀称，但同学们知道它们叫什么吗？生16：正正当当，应该叫正多边形吧？师：这位同学真会会意，的确叫正多边形问题2：你能根据这些图片说说怎样给正多边形一个界定？生17：各边一样长生18：不行，还需要各角一样大，生19 ：没必要，你看等边三角形，不就是正三角形吗，等边三角形怎么定义的？不就是各边都相等的三角形吗？生18：你反问就能强词夺理了，你举的三角形只是一个特殊的图形，不能代表全体生19（不服状）：你说不行，举个例

11、子让我们看看生18：这还不好说，你看菱形，四条边相等吧？是吗？生19：还真是的（一番交锋后，达成共识）各边都相等、各角都相等的多边形叫正多边形.说明：有几条边就叫正几边形，如下：生20（冷不丁一句）：只有各角都相等不行嘛？生21（立刻回击）：不行，比如一般的长方形，四个角都是直角，行吗？生20（顿悟）：噢！知道了图7师：同学们你来我往，辩驳的精彩，举出了很好的反例，让同学们心服口服.现在，老师也有个疑问，除了刚才举的反例，谁还能举出其它的反例？这一下可难住了全体同学，学生一筹莫展，满脸疑惑5分钟后，终于有人发言了生22：先画一个正五边形，再把它压扁了或拉长了，因为五边形具有不稳定性，说着上黑板

12、画图示7图8生众：热烈的掌声生23（掌声未息，快步登台）：看我的反例：一个正方形上放一个正三角形，擦去重合的边就行.（说着，画出图示8）生众（唏嘘一片）：呀！太经典了师：这是两个典型的各边相等但不是正多边形的反例，真了不起，不但五边形的不稳定性排上了用场，而且正多边形的组合也展示了魅力.哪谁还能举出另外一类：即满足各角相等，但不是正多边形的反例？图9abcded/e/生24（稳操胜券的神态）：这个好办，我受同学22的启发，把边动一动就行了（图9中的abcd/e/）（来了个大喘气，学生都翘首以待）把边（de）平移下来不就over了，生（大部分如梦方醒）：对呀，平移能把角转移啊，我们怎么没想到呢！

13、（点评：执教者瞅准时机，在看似无疑处巧设疑问，触动了学生的思维神经，把学生引上求索之路.本段教学的精彩就在于此！学生的一番唇剑舌枪，激烈的交锋，在反正对照中，达成了视界的融合，对正多边形的概念的内涵与外延做了比较充分的交流，从学生的表情可以看出情绪的高涨，有效渗透了情感态度价值观目标.“真理愈辩愈明”，执教者搭建了放飞学生思维的平台，学生们争先恐后登台竞技，大展了个人风采.）四、凹凸谁来见证？师（投影展示图形）：观察以下图形，说说它们的异同？图10图11图12图13生25：图10、11是四边形，而图12、13是5边形生26：不对，图13从外边看是10边形，里面是5边形，还有三角形、四边形，这还

14、真难说生27：图13是个五角星，不过不标准生28：图10、12都是往外鼓的，而图11、13有的地方往里陷生29：图10、12都是丰满的，而图11、13则显得干瘪师：说的都非常形象、具体，可见同学们的观察之仔细，从数学的角度来看，几边形问题本节开始就解决了，现在我们从凸凹的角度加以区分（讲解凸多边形、凹多边形）凸多边形与凹多边形图14图15在图14（1）中，画出四边形abcd的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；而图14（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画bd所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形

15、.师：你能画一个凹五边形吗？一人板演，其他同学画在自己的练习本上，同位互查（巡视、指导中）生30：如图15师：同学们画得不错，看来识辨凹多边形、凸多边形没太大问题.为了研究问题方便，以后没有特别说明，多边形是指凸多边形.（点评：执教者一个开放的发问，引发了学生的仁者见仁智者见智，发散了学生的思维，加深对这些图形的多维认识，最后落脚于“凹、凸”聚化了思维，概念水到渠成.如此的同中求异、异中求同的对比，给了学生话语权，拉长了获知过程，见证了执教者着力发展学生思维的育人理念）五、共话多边形问题1：多边形的定义及附件？问题2：多边形的分类？问题3：构成多边形的条件？问题4：正多边形的概念？问题5：整节

16、课我们经常用到的数学思想方法是？问题6：整节课我们多次用到的一种说明某一说法不合理的方法是？问题7：若你来设计后面的教材，你能做出怎样的设想？（交流后达成共识）：问题1：（1）在同一平面内，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次相接所组成的图形称为n边形.（2）组成多边形的各条线段叫做多边形的边.（3）多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角.（4）多边形的边和它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.（5）多边形的对角线:连接多边形的不相邻的两个顶点的线段.叫做多边形的对角线.问题2：可分成凸多边形和凹多边形，没有特别说明，均指凸多边形问题3：只要保证n-1条短线段的和大于最长的线段即可.问题4：

17、各边都相等、各角都相等的多边形叫正多边形.问题5：类比、转化问题6：举反例.问题7：安排多边形的内角和、外角和等的学习.（点评：课堂小结是落叶归根的“根”，执教者通过问题串，引领学生共话多边形，历数了知识技能、思想方法，获取成功之愉悦，实实在在地落成三维目标.其中的问题7，把类比方法进一步迁移，在本节即将落幕时，为下一节课抹上一撇神秘.真可谓，课尽意绵.再次透射出执教者敢于灵活驾驭教材的深厚功底）【总评】：1、秉承概念教学乃重中之重的理念.概念是数学的基石，是人进行思维的基本单位，是数学学习的起点，对概念的准确把握可以说是衡量认知水平的第一标志. 李邦和院士一语道的：“数学根本上是玩概念的，不

18、是玩技巧技巧不足道也！”.有了这些认知，如何将“知”落实在“行”上才是关键！教师往往在教上穷心竭力，而在学生的学上却显得有点绵软，不经意间就会忽略学生的学习方式和认知心理. 本节课不然，执教者把重心放在引导学生的学上，给了学生足够的话语权，在还原概念的形成过程、关注学生是如何获得数学概念、如何理解概念、以及概念与学生的生活经验、知识经验等的联系上浓墨重彩，这种师生、生生的纠结、交互、碰撞，把彻彻底底的一节抽象乏味的概念课，赋予灵动，焕发生机，从而澄明概念、深化概念.尤其是多边形与正多边形的两个概念的教学，历经背景引入、丰富的例证、概括本质特征、试下定义、概念辨析（正例、反例）等悉心打磨，从具体到抽象，从偏颇到完善，执教者的主导作用与学生的主体参与和谐共进，不时擦出智慧的火花，这种深度的参与，使课堂变得鲜活，各个概念在一波三折、多维互动中落定.2、类比引领，凸显其能.类比是数学的法宝.著名的数学大师波利亚曾说过“类比是获得发现的伟大源泉”；著名的日本物理学家论及，类比是一种创造性的思维形式；天文学家开普勒曾经说过：“我诊视类比胜于任何别的东西，它是最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学中它应该是最不容忽视的.”这些论断都突出了类比的不菲作用