谈谈任意相对速度方向下的洛伦兹变换

1、谈谈任意相对速度方向下的洛伦兹变换 摘要：凡是提到相对论，都会只使用一种特殊的相对运动：相对运动方向沿x轴。这种情况最简单，却也容易引起歧义。所以本文将给出任意相对速度方向下的洛伦兹变换以供读者参考、使用。 关键词：相对论 任意相对速度 洛伦兹变换 一、引言 在许多文献和参考书中，都提到了两个做相对运动的惯性系，几乎全部都选取了一个特殊的情况：相对速度v的方向与两坐标系的x轴方相同（如图1）。这种情况下的洛伦兹变换关系是最简单的。尽管有简单的好处，但是在一般情况下，或者在讲到四维动量、四维力时，相对速度方向仅与x轴方向相同就显得不太够了，它展示出来的物理图像过于“特殊情况”或者不完整，容易引起

2、很多歧义。所以，本文将给出任意相对速度方向下的洛伦兹变换（如图2），以供读者参考、使用。 zyx v zyx 图1 两个惯性系之间相对速度方向与x轴 方向相同，相对速度为v zyx v zyx 图2 两惯性系之间的相对速度方向 是任意方向 二、相对速度 如图2显示，相对速度方向是任意的，我们先分析一下相对速度。如图3，蓝色为相对速度矢量 。红色为坐标轴上的相对分量v1、v2、v3。我们采用逆变矢量方式：符号的指标写在上面，并不是表示次方的意思。绿色表示在 平面上的速度分量矢量和。 yxv1 vv3v2v1 图3 蓝色是相对速度矢量，红色是其在坐标轴上的分量，绿色是xy平面上的速度分量矢量和 很

3、明显最终的转换公式中，这些分量全部都会出现，我们约定凡是两个相同量相乘的连续写出两次，例如：v2v2表示两个v2相乘，并不是四个v相乘，我们不再使用指数。 根据很简单的三角函数，我们可以得到关系： 三、坐标系的旋转 对于任意相对运动速度方向的情况，我们先将坐标系进行旋转，变成图1的情况，然后利用简单的洛伦兹变换推出一般情况下的洛伦兹变换。这种旋转分两步进行。会得到三个坐标系，我们分别用红、绿、蓝三种颜色来表示（如图3）。 从红色坐标系r（red）开始，先是绕z轴旋转角，得到绿色坐标系g（green）。再绕绿色坐标系的y轴旋转角，得到蓝色坐标系b（blue）。这个蓝色坐标系的x轴沿着相对运动速度

4、的方向。 这里会有两套这种坐标，我们约定第一套的r、g、b坐标分别为（ct，x，y，z）r、（ct，x，y，z）g、（ct，x，y，z）b。第二套的r、g、b坐标分别为 红色坐标系r与绿色坐标系g转换关系为 绿色坐标系g与蓝色坐标系b转换关系为 四、任意相对速度方向下的洛伦兹转换关系 通过上面的准备，现在可以进入转换关系的求解。大致过程如下，先从红色坐标系r开始，转换成蓝色坐标系b，通过简单洛伦兹转换变成蓝色坐标系b，再通过逆转换变回红色坐标系r。 这两个公式在研究四维力、四维动量、电磁场的描述中将非常有用。而且只需将速度的第二与第三分量设为零，很容易转变为相对速度沿x轴的简单情况。 至于加入

5、虚指标的情形， 由于逐渐被人们所淘汰，建议读者不必过多使用。 参考文献： 1b schutz. a first course in general relativityj， 1985. 2sean m. carroll. lecture notes on general relativity. 3misner， thorne， wheeler. gravitationj. 4claudio nassif. a fundamental explanation for the tiny value of the cosmological constantj. 5tomohiro harada. i： formulation and asymptotic anal