二次项定理典型例题教师版

1、典型例题例1在二项式(石+吕二1的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项.分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决.解：二项式的展开式的通项公 式为：(时韶二c :存畔前三项的一 0,1,2.得系数为:r,=l,f2=c* i = lw,r3 =ca1 =抑一 1 ),由已知：2 匚二人+匚 n = +n(n !)t.* /i = 881通项公式为7 ; +i=q%r = oa,2-& :为有理项，故163厂是4的倍数，二04821依次得到有理项为7;二木75二。vx说明：本题通过抓特左项满足的条件,利用通项公式求出了的取值,得到了有理项

2、.类似地，(v2 + v3 )，1得：rv.即= 0. 1、2时，上述不等式成立.2 ( r+ i )3所以，系数的绝对值从第1项到第4项增加，以后逐项减小.55系数绝对值最大的项为第4项，7 ; = ( 4 ( -1 ) 32 ja=-15总从系数绝对值的变化情况及系数的正负交替，只要比较第3项与第5项的系数， 3=cr()-2-2=,r$=c ; o-2-4 = =所以，系数最大的项为第 5 项，5 二%7.41688例 3 已矢 nd-2x)7 =ao + ax + a2x2 + aixh 求：(1)北 + a2+33+- +ai；(2 ) 6/)+:(3)如+八+心.分析：本题是有关展

3、开式系数和的问题，通过对等式中字母的赋值，往往会得到此类问题的结果.字母经常取的值有0、1、一 1等解：（1 ）取 x = 0 可得。0=1,取 x=1 得兔箱）+。7 =（-1 ） 7 =-1 (2 )取 %= 1 得 d() 7| + d?”业67|+”，+ ” ： + f c/i=2.一二3?,记+ “6, = +“3 + “5 + 5a+b=-,a-b = 37.可得a = _l(37-l) = 1093,8 = -，a + 3d = -1094 从而为+%+%+的=-13(3)从(2)的计算已知+ ci2 + a4 +加=1093 .说明：赋值法不仅可以用来求二项展开式的系数和，对于

4、展开式为多项式的代数式的系数和大多数也能用此方法解决， 如：(1 +x)5-(1-2a)6的展开式中各项的系数和为多少？可以看到(1 +x)5(1-2a)6的展开式仍是多项式，令x= i,即得各项系 数和为25(-1)6 =32 .再比如：(1 + x + x2尸=a()+ a.x + a2x2 + + a2nx2n jij a +羽g”-92等于多少？本题可以由取 x = 1得到各项系数和，取x =-得到奇数项系数和减去偶数项系数和，两式相加可得兔+勺+ ”二，(3+1)此外，为 了赋值的需要，有时需要用一个新的二项式替换原来二项2式，只要它们的系数等同即可.如：(x + 21ogzxr的展

5、开式中齐项的系数和是多少？我们可以用一个更简单的二项式(1 + 2a)h代替原来的二项式.，它们的系数并不改变，令x = i便得各项系数和为3.例4 (1)求(lx)3(| + x)i。展开式中p的系数；(2)求(x +_l+ 2)6展开式中的常数项.分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，(1)可以视为两个二项展开式相乘：(2)可以 经过代数式变形转化为二项式,.解：(1) (1-a)3(1+x)】展开式中的丘可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：用(1-x)3展开式中的常数项乘以(1 +x)i。展开式中的f项，可以得到c : f :用(1x)3展开式中的一次项

6、乘以(1 +x)】。展开式中的项可得到(-3xxc ; 0x4)=3c ; x5：用(1x)3中的*乘以(1 +刈。展开式中的可得到3x2cjx3=3c?。/ :用(1x)3中的/项乘以(1 +刈。展开式中的，项可得到-3x3-c?ox2=-c?x5,合并同类项得“项为：(c： oc： o + 3c： oc：(工 +,+ 2)、= xo) f=63f.(2) x 4b2= y/x +展开式的通项公式7 ; +严邙(属严彳jj=邙少，可得展开式的常数项为cf2 = 924 .说明：问题(2)中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决.这时我们还可以通过合并项转化为二项式展开的问题来解决.例5求(1

7、 + xx2)6展开式中云的系数.分析：(1 + x-x2)6不是二项式,我们可以通过1 + x , =(1 +兀)一，或| +(x f)把它看成二项式展开.解:方法一 :(l+x-x2)6=(l + x)-x2l - =(1 + x6)-6(l + a：)5x2+15(1 + x)4x4-其中含云的项为一6c霉+ 15c路=6x5.含十项的系数为6.方法二：(1+x-x2)6 = + (x-x)f=1 +6(x ) + 15(x x) + 20(x x + 15(x x) + 6(x ),+ (x x)6其中含7e的项为20(-3)7e+15(-4)p +6“ =6x5.a云项的系数为6.方

8、法3 :本题还可通过把(1 + xx2)6看成6个i 相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项，f项可由下列几种可能得到.5个因式中取x,一个取1得至i c衣3个因式中取x,一个取一7e，两个取1得至【j ca-c ; x3(x2).1个因式中取%，两个取一尸，三个取1得至u c*-c ； x(x2)2.合并同类项为(c : c : c ; +c ; c ; )f = 6x5, x5项的系数为6.例 6 求证：(1)c*+2c; + +=n2/】；(2) c : + c : + c : + .+c : =_l(2 域 1).23/7 i w + 1/7l分析：二项式系数的性质实际上是组合数的

9、性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些 组合数式子的值,解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边并项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质 u + c : + c : +.+ c ; : =2解:左必珊+ “c舄+ nc : z ; =/7。”+。舄+-+(3;:;尸2心二右边.n n15 + 1)!荷(+1)！()! 左边诂各+ + 占*占心心严+*)二岛(27尸右边.!(料一幻!j火)！(一切！说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质求解-此外.有些组合数的式子 可以直接作为某个二项式的展开式，但这需要逆用二项式泄理才能

10、完成，所以需仔细观察，我们可以看下而的例子：求 29c ; s + 28c?o + 27c?o + - + 2c?0 +10的结果仔细观察可以发现该组合数的式与(1 + 2)”的展开式接近，但要注意：(1 +2严=带。+略.2+畸-22 + +褊29+畸 2k)=i + 2x10 + 22cfo + + 29ca + 2-a =1 + 2(10 + 2cf0+- + 28cjo + 29c ; 2)从而可以得到：10 + 2c ; +2 七；+2 叱：；=2(3一 1).例7利用二项式定理证明：3如2 8 一 9是64的倍数.分析：64是8的平方，问题相当于证明32，什28/7-9是f的倍数，

11、为了使问题向二项式立理贴近，变形3+2=90+,=(8 + i)，,将其展开后各项含有言十，与时的倍数联系起来.解：i 3 皿 2 _8/7-9= 9b+-8w-9 = (84-i)，-8n-9= 8，+ c*_, 8 + + c 阳 +18: : ： 0 + ”8 田：0 +,+u8 = 6y/8j + u + u)8+与：。+ +“皆。+国=(8如+c嘉8”2 +c ; ; ; ; ) 64是64的倍数.说明人利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题，而且可以用此方程求一些复杂的指数式除以一个数的余数.例8展开(2一六).分析1:用二项式定理展开式.解法 1：(2一工| =c；(2x)

12、s(三、 2x jy 2a y1 2.x ji 2x )+音寸)2 卜茁+co)(v_x =32 120 r型-辱+ 452438x7 32x10(2彩二但押二分析2:对较繁杂的式子，先化简再用二项式怎理展开.q?(4x3)5 + c* (4x3)4(_3) + c/(4x3)3(-3)2+ c ; (4x3)2 (3y + c ; (4x3)1 (-3)4 + c ; (-3)5 (1024/ -3840% +5760/ 4320 + 1620/ 2437)3 2v二32120135 405 243x x4 8x732xi0说明：记准、记熟二项式向力协的展开式，是解答好与二项式泄理有关问题的

13、前提条件.对较复杂的二项式，有时先 化简再展开会更简便.例9若将0+乙炉展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为(a. 11 b 33 c- 55 d 66分析：(x+y + z)1。看作二项式(x + y) + z严展开.解：我们把x + y + z看成(x+y) + z,按二项式展开，共有11 “项”，即10(x +)*)”=(”+ zf=c : o(x +yh ?.jo这时，由于和”中各项z的指数各不相同，因此再将各个二项式优,伊/展开，不同的乘积(x+y)g/(k=o,l,一，10 )展开后，都不会出现同类项.下面，再分别考虑每一个乘积盘“+刃心于(r=o,1,，10).其中每一个乘积

14、展开后的项数由+/”决定，而且各项中兀和y的指数都不相同，也不会出现同类项.故原式展开后的总项数为11 + 10+9 +.+1 = 66,应选d.例10若-+l2的展开式的常数项为一20,求ix/:当xvo时,同理x+-2yjx然后写出通项,令含x的幕指数为零，进而解出川.解:当 x0 时 ix + -2=y/-x ，其通项为卷二c ; （善严（一挣二（jyc ;皿）z当 xv。时，x +20时，把三项式ix+2聒化为lx +_l i x令2n-2r =。得/? = r, a展开式的常数项为（_1化舄；同理可得，展开式的常数项为（一 i ） c ;无论哪一种情况，常数项均为（一i ） c;:令

15、（）c : =_20以尸=1,2,3，逐个代入，得n = 3.例11的展开式的第3项小于第4项，贝u的取值范带i是分析：首先运用通项公式写出展开式的第3项和第4项，再根据题设列出不等式即可.解使（彳反+占j-八 有意义，必须x0 :依题意，有一即c : （ /7 ）10x9 厂 10x9x81q x x2x13x2x1 vx的取值范用是0应填:0x1 ）,则有6;：仑：（7=1 ： 2 : 3,即 nl c/=1 ; 2 ： 3,伙)(_k + l)! 4 !(-)！伙+ l)(n_r)！1.11)k(n-k)k(k + )k(n-k)_ 1k_1 /? = 14, 所求连续三项为第5、6、7

16、三项.又由已知，a,oa=112.即+呢“二8或x 二 2八.两边取以2为底的对数 (log2x)2=3, log2x = v3,说明：当题目中已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时，常利用二项式通项，根据已知条件列出某些等式或 不等式,进行求解.例13 (1+2力”的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.分析：根据已知条件可求出“，再根据”的奇偶性：确怎二项式系数最大的项.解：7；=c； (2x)5,7l=c八(2x)6,依题意有 c,f25=c56=n = 8.(1 + 2才的展开式中，二项式系数最大的项为7 ; = ca*(2x)4 = 112

17、0x4 r-i设第厂+ 1项系数最大，则有 贝 ij-o ； +绻一。5 +八4 -。2+。0 =(7)*/ + % + % + % = l u 28 - (- 4)7 = 8256(3)由空反得:%+/+4+。卜a +a. +a9 +af +(k +a. + a j276543210=l128 + (-4)7 = -8128.+ ( 6v + a 色 + 佝一+ cl-) 67| + “()说明：(1)本解法根据问题恒等式特点来用“特殊值”法.这是一种重要的方法，它适用于恒等式.(2)一般地，对于多项式g(x) = (px + q) = a0+ax + a2x2 + +劣刈/g(x)的各项的

18、系数和为g(i): g(x)的奇数项的系数和为川式)+ g(-l) g(x)的偶数项的系数和为g- g(1).22例6填空：(1)23。-3除以7的余数:(2)55八+15除以8的余数是分析(1):将23。分解成含7的因数，然后用二项式立理展开，不含7的项就是余数.解：23。-3 = (23)，。-3 = (8严-3 =(7 +1严一 3 = ca7-0 + c/j9 + .+ c ; )7 + c ; -3=7xc w+ c 押+ + c 倚-2又 余数不能为负数,需转化为正数a 230-3除以7的余数为5应填：5分析(2):将55八写成(56-1)55,然后利用二项式泄理展开.解：5555

19、 +15 = ( 56 -1 ) 55 + 15 = c ; ; 5655 c ; 556 + + c ; ; 56 - +15该式只有-c/ +15 = 14不能被&整除,因此55八+ 15除以8的余数，即14除以8的余数，故余数为6-二应填:6.例17求证：对于nena1+ 1+n)、# 1证明：1+-i展开式的通项；(1x1 二)r! n n n由二项式展卷的法/7+1 ；z -/胡蝠询*v7 ; +1，所以z+l 1 + (7)+八)陋平t j1 xn+l)说明：本题的两个二项式中的两项为正项，且有l项相同!&明时，根据题设特点，采用比较通项大小的方法完成本 题证明.例18在(x2+3

20、x + 2)5的展开式中兀的系数为(a.160 b- 240 c- 360 d- 800分析；本题考查二项式左理的通项公式的运用.应想办法将三项式转化为二项式求解.1 /7/7 i ) ( n 2 )(舁一厂 +1 ) 7t r解法 1 :由(x2+3x + 2)5=(f+3x) + 2f,号tz =c(/+3x)i -廿二心 2 代-仰+3疗”，再一次使用通项公式得，=c ；-c二,这里0srs5 , 0r39根据题设，一厂一 9 = 3,所以r = 8 代入通项公式，得兀=axl2169q本月上昆早市音，一 a = 一 曰斤仅。=4由埴：4-若(2x+=3+。4；-求(“0+“2+如)一(

21、1 +“3),的值分析：(1)注意观察。+ a? = 1 + c国，c/ + -一+的系数、指数特征，即可通过赋值法得到证明.(2)注意到0 +22 +h4)2 ( +23/=(0 + ax +22 +&3 +的)傀一+。2-勺+属)，再用赋值法求之.解：在公式(i + xf =1 +ck + c ; f+.+ c ;划中令x = 3,即有53户=1 + c (-3)* + c : (-3 尸 + + c ; ; (-3) = l_3- c : +32- c ; +(ir 3” 等式得证.(2)在展开式(2x+y/3)4 = ao + atx-a2x2 + cy + a4m 中，令 x = 1

22、 得 “()+吗 +“2+6+勺=(2 兀 +(3)4 :令 x =-1 ,得 00/七2 f?七4 二(一 2+75尸/.原式=(“()+ q+ 以+ 匕 3+(仃)(“。一”1 + 幺 2么 3 + 4尸(2+ (2 + v3)4 = 1 说明：注意“赋值法”在证明或求值中的应用,赋值法的模式是，在某二项展开式，如(a + bx = q + drv + a2x2 + + an/ 或 + 协=c 冷 + canab + c;3a2b2 + + c : ; 6中，对任意的 xea (a, be a) 该式恒成立，那么对a中的特姝值，该工也一沱成立.特殊值x如何选取,没有一成不变的规律，需视具体

23、情况而左,其灵活性较强.一般取入-=0,1,-1较多.一般地，多项式/(x)的各8/10项系数和为/，奇数项系数和为-/(1)/(1)偶次项系数和为_l/(1)+/(1).二项式系数的性质22c八+ c*+c ; + - + c ； ; =2n及c ; ; +c : + c ; +=c : +c ; +c ; +=2”的证明就是赋值法应用的范例.例21若em,求证明：32n+324n+37能被64整除.分析：考虑先将32*3拆成与g的倍数有关的和式，再用二项式泄理展开.解：32n+3 - 24 + 37 = 3 32n+2 - 24“ + 37 = 3 砂+， 24“ + 37 = 3 (8

24、+ i)， 24 + 37=3- c* g +c m - 8+c 扁 8 心叶+c m-8 + * :卜24“ + 37=3-8n+1+c, ; +i-8n+c ; +18k，+ + (/7 + l)-8 + l-24h + 37=3 8，+ * 8n + c;+i- 8” + + c ,; 82 + (sn + 9)- 24/7 + 37=3-828”-1 + c ; + 8n2 + c : + 8/，-3 + .+ c ： ； / + 3*(8m + 9) 24“ + 37=3 648n- + c*+i - 8 + ch 8”“ + .+ 64,v 85 c*+i -8n-2, c ; +

25、i- 8心，均为自然数，上式各项均为64的整数倍.- -原式能被64整除.说明：用二项式左理证明整除问题，大体上就是这一模式,，先将某项凑成与除数有关的和式，再展开证之.该类题也 可用数学归纳法证明，但不如用二项式定理证明简捷.2例22已知(p +3x2f的展开式各项系数和比它的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项：(2)求展开式中系数最大的项.解：令x 二 |得展开式的各项系数之和为(1 + 3)” =2”,而展开式的二项式系数的和为c ; +c, ; +c ; +- +c : =2, - -有 2?一 2=992. u =5.(1) vh = 5.故展开式共有6,其中二项式系数最大的项为第三、第四两项.2 2 22,-=c ;(近)3 (3/)2 = 90x6, - = c ; (7)2 .(3八)3 = 270x7