二次函数图像与性质总结(含答案)

1、二次函数的图像与性质、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y ax2的性质:a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上0, 0y轴x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随 x的增大而减小；x 0时，y有最小值0.a 0问卜0, 0y轴x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随 x的增大而增大；x 0时，y有最大值0.a的绝对值越大，抛物线的开口越小。22. y ax c的性质:上加下减。a的符号:开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上0, cy轴x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随 x的增大而减小；x 0时，y有最小值c.a 0问卜0, cy轴x 0时，y随x的增大而减小；

2、x 0时，y随 x的增大而增大；x 0时，y有最大值c .23. y a x h的性质:左加右减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上h , 0x=hx h时，y随x的增大而增大；x h时，y 随x的增大而减小；x h时，y有最小值0 .a 0问卜h , 0x=hx h时，y随x的增大而减小；x h时，y 随x的增大而增大；x h时，y有最大值0.24. y ax hk的性质:a的符号；开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上h, kx=hx h时，y随x的增大而增大；x h时，y 随x的增大而减小；x h时，y有最小值k .a 0问卜h, kx=hx h时，y随x的增大而减小；x h时，

3、y 随x的增大而增大；x h时，y有最大值k .、二次函数图象的平移1 .平移步骤：2万法一： 将抛物线解析式转化成顶点式y a x h k ,确定其顶点坐标 h, k ; 保持抛物线y ax2的形状不变，将其顶点平移到h, k处，具体平移方法如下：y=ax2y= y=ax2+k向右（h0）【或左（h0）【或向下（k0）【或下（k0）【或下（k0）【或左（h0）或左（h0）】平移|k|个单位y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k2 .平移规律在原有函数的基础上 h值正右移，负左移；k值正上移，负下移概括成八个字“左加右减，上加下减”.方法二：y ax2 bx c沿y轴平移：向上（下）平移m个

4、单位，y ax2 bx c变成2，八.2.、yaxbxc m （或 yax bx c m）y ax2 bx c沿轴平移：向左（右）平移 m个单位，y ax2 bx c变成ya（xm）2b（x m） c（或y a（x m）2b（x m） c）二、二次函数y a x h 2 k与y ax2 bx c的比较从解析式上看，y a x h 2 k与y ax2 bx c是两种不同的表达形式，后者通过配222方可以得到前者，即 y a x b，其中h , k 4ac b .2a 4a2a 4a四、二次函数y ax2 bx c图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 y ax2 bx c化为顶点式y a（x

5、 h）2 k ,确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 y轴的交点0, c、以及0, c关于对称轴对称的点 2h, c、 与x轴的交点 x,0, x2,0 （若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.五、二次函数y ax2 bx c的性质1.当a0时，抛物线开口向上，对称轴为2bb 4ac b,顶点坐标为, 2a2a 4a当x 2时，y随x的增大而减小；当x2a2时，y有最小值4ac b .4a2.当a 0时，抛物线开口向下，对称轴为xbb一时，y

6、随x的增大而增大；当x 2a2a,顶点坐标为2a2a4ac b24ax 2时，y随x的增大而增大；当xb时，y随x的增大而减小；当x -b时，y2a2a2a2有最大值4ac b .4a六、二次函数解析式的表示方法21 . 一般式：y ax bx c (a, b, c为常数，a 0)；2 .顶点式：y a(x h)2 k (a, h, k为常数，a 0)；3 .两根式：y a(x x)(x x?) (a 0, x , x2是抛物线与x轴两交点的横坐标)注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x轴有交点，即b2 4ac 0时，抛物线的

7、解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1 .二次项系数a二次函数y ax2 bx c中，a作为二次项系数，显然 a 0 . 当a 0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之 a的值越小，开口越大；当a 0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之 a的值越大，开口越大.总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，| a的大小决定开口的大小.2 . 一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.在a 0的前提下，当b0时，0,即抛物线的对称轴在 y轴左侧；2a当b0时，0,即抛物线的对称轴

8、就是 y轴；2a当b0时，0,即抛物线对称轴在 y轴的右侧.2a在a 0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b 0时， 2 0,即抛物线的对称轴在 y轴右侧；2a当b 0时，_b_ 0,即抛物线的对称轴就是 y轴；2a当b 0时， 2 0,即抛物线对称轴在 y轴的左侧.2a总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置.bab的符号的判定：对称轴 x 在y轴左边则ab 0,在y轴的右侧则ab 0 ,概括的说就是“左同右异”总结：3 .常数项c当c 0时，抛物线与当c 0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与 y轴的交点为坐标原点，即抛物线与当c 0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，

9、即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；y轴交点的纵坐标为0； y轴交点的纵坐标为负.总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置.总之，只要a, b, c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式， 通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的 解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：1 .已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2 .已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3 .已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4 .已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式八、二次函数图象的对

10、称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于x轴对称y ax2 bx c关于x轴对称后，得到的解析式是y ax2 bx c；2.一 一 .2y a x h k关于x轴对称后，得到的解析式是 y a x h k；2.关于y轴对称y ax2 bx c关于y轴对称后，得到的解析式是 y ax2 bx c；2.一 一 .2y a x h k关于y轴对称后，得到的解析式是y a x h k ；3 .关于原点对称y ax2 bx c关于原点对称后，得到的解析式是yax2 bx c；2y a x h k关于原点对称后，得到的解析式是4 .关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180。）

11、2.一口2b2y ax2 bx c关于顶点对称后，得到的解析式是y ax2 bx c ；2a2y a x h k关于顶点对称后，得到的解析式是5.关于点m, n对称2.一 一 .2y a x h k关于点m, n对称后，得至解析式是 y a x h 2m 2n k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换， 抛物线的形状一定不会发生变化， 因此|a永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时， 可以依据题意或方便运算的原则， 选择合适 的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线） 的顶点坐标及开口方向， 再确 定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.二次函数图像参

12、考:2y=-2x 2y=-2x 2y=-2(x-3)2【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法一 一一【例1】求作函数y -x2 4x 6的图象21c1c【解】y 1x2 4x 6 1(x2 8x 12)221(x2 4)2 -41(x2 4)2-222以x 4为中间值，取x的一些值，列表如下:x-7-6-5-4-3-2-1y52032-232052【例2】求作函数yx2 4x 3的图象。【解】y x2 4x 3(x2 4x 3)(x 2)2 7(x 2)2 7(1) 配方；(2)列表；(3)描点成图； 也可利用图象的对称性，先画出函数的左(右)边部分图象，再利 用对称性描出右(左)部分就可。

13、二、一元二次函数性质【例3】求函数y x2 6x 9的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间。【解】 y x2 6x 2 x2 6x 9 7 (x 3)2 7由配方结果可知：顶点坐标为(3, 7),对称轴为x 3;1 0当 x 3 时，ymin7函数在区间(，3上是减函数，在区间3,)上是增函数。【例4】求函数y 5x2 3x 1图象的顶点坐标、对称轴、最值。4.2-2b 33 4ac b 4 ( 5) 1 329_ _ _ ? 2a 2(5)10 4a4 ( 5)203 29函数图象的顶点坐标为 （一，），对称轴为x10 203当x 时，函数取得最大值10292029ymaz 20

14、3 一函数在区间（，一上是增函数，在区间3,10）上是减函数。【点评】要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时，方法有两个:（1）配方法；如例3（2）公式法：适用于不容易配方题目（二次项系数为负数或分数）如例4,可避免出错。任何一个函数都可配方成如下形式:b 2 4ac b /y a(x )(a 0)2a 4a【二次函数题型总结】1.关于二次函数的概念例1如果函数y(m2m 3m 23)x mx1是二次函数，那么m的值为例2抛物线y2x 4的开口方向是2.关于二次函数的性质及图象3 函数y2ax bx c（a 0）的图象如图所本,则 a、b、为c, a b c, a b c的符号已知

15、ab + c=0 9a+ 3b+c=0,则二次函数 y=ax2 + bx+c的图像的顶点可能在）第一或第二象限（b）第三或第四象限（c）第一或第四象限（d）第二或第三象限3.确定二次函数的解析式已知：函数ax2bx c的图象如图：那么函数解析式为（(a)2x(b) yx2 2x 3(c)2x(d) yx2 2x 34.一次函数图像与二次函数图像综合考查例6已知一次函数y=ax+c二次函数y=ax2+bx+c(a w0),它们在同一坐标系中的大致图象是 ().abicd例7如图： abc是边长为4的等边三角形，ab在x轴上，点c在第一象限，ac与y 轴交于点d,点a的坐标为(-1,0)(1)求b

16、、c d三点的坐标；(2)抛物线y ax2 bx c 经过b、c d三点，求它的解析式；(2, 3)y 2x2 1【练习题】-6一、选择题1 .二次函数y x2 4x 7的顶点坐标是()a.(2, 11) b. ( 2, 7)c. (2, 11) d.2 .把抛物线y2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是()a. y 2(x 1)2 b. y 2(x 1)2 c. y 2x2 1 d.2 一一 k3.函数ykx k和y -(k0)在同一直角坐标系中图象可能是图中的()x4.已知二次函数y ax2 bx c(a 0)的图象如图所示 当x 1和x 3时，函数值相等：4a b 0当y确的个数是()

17、a.1个5.已知二次函数 由图象可知关于( )a. 1 1 .b.26.已知二次函数a.c.第一象限第三象限7.方程c 22x xa.0个8.已知抛物线过点a. yx22c. yx二、填空题9 .二次函数y10 .已知抛物线个 c. 3 2ax bx c(a 0)的顶点坐标( 一元二次方程2axd. 4-1个,-3.2 )及部分图象(如图),bx c 0的两个根分别是x1 1.3和x2b.-2.3c.-0.3d.-3.32ax bx c的图象如图所不，则点 (ac,bc)在(b.第二象限d.第四象限2的正根的个数为xb.1a(2,0),b(-1,0),2xy=-2c.2与y轴交于点个.3b.d

18、.bx 3的对称轴是x2,，则下列结论：a,b同号； 2时，x的值只能取0.其中正c,且oc=2.则这条抛物线的解析式为2x2x(x+3) 2+5 ,如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是11. 一个函数具有下列性质：图象过点(一 1 增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是,2),当xv0时，函数值y随自变量x的12.抛物线y 2( x 2)2 6的顶点为c,已知直线y(只写一个即可)。kx 3过点c,则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为213. 一次函数y 2x ，4x 1的图象是由y一 2.一一一 ， ,一一 一，2x bx c的图象向左平移1个单位，再向卜平移2个单位得到的，则b=,c=14.如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是m处5米的地方，桥