重庆市重庆一中高二上学期期末考试数学理试题含答案

1、秘密启用前2014年重庆一中高2015级高二上期期末考试数学试题卷（理科）2014.1数学试题共4页。满分150分。考试时间120分钟。注意事项：1 .答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。2 .答选择题时，必须使用 2b铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。3 .答非选择题时，必须使用 0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。4 .所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。第i卷（选择题，共50分）、选择题：（本大题10个小题，每小题5分，共50分）在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的

2、；各题答案必须填涂在答题卡上相应位置。1 .直线ax y 1 0与直线2x 3y 2 0垂直，则实数 a的值为（）a. 2b.1c. 2d. 3322.抛掷一枚均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有1、2、4 4、5、6个点）一次，观察掷出向上的点数，设事件a为掷出向上为偶数点， 事件b为掷出向上为3点，则p（a|jb）（）1a.32b.-33.已知圆的半径为 2,圆心在1c.2x轴的正半轴上，且与5d.6y轴相切，则圆的方程是（c.2x2x2y2y4x2x4.棱长为2的正方体b.d.2x2x2y2y4x 02x 3 0abcdab1cld1的内切球 的表面积为（ 4a.一3b. 16c. 4d.

3、3235.已知函数f x的导函数为2f x ,且满足关系式f x =x 3xf 2ex,则f 2的值等于（a. 2d.6.已知是不重合的平面,a、b、c是不重合的直线，给出下列命题: aa bac b其中正确命题的个数是（）a. 3b. 2a/c； a/ac. 1d. 07.一空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（a.c.2.333b. 2d. 22.33捷3f且倾斜角为600的直线与双8.已知双曲线b21(a 0,b0）的右焦点为f ,若过点曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）a.(1,2b.(1,2)c.2,)d. (2,)一 、1 ， 一八一，9.（原

4、创）若函数y sinqx。3函 0,）,函数y?最小值为（）.25 ,2622a.正b.（3、3 15）2d.72x222 .3,则(为 x2) (y1 y)的52.6 2c. ()2xf (2x) 0 ,(其中 f (2x)10 .（原创）若对定义在r上的可导函数f （x），恒有（4 x）f （2x）表示函数f（x）的导函数f （x）在2x的值），则f（x）（）a.恒大于等于0b.恒小于0c.恒大于0 d.和0的大小关系不确定第r卷（非选择题，共100分）、填空题：（本大题5个小题，每小题 5分，共25分）各题答案必须填写在答题卡相应位置上，只填结果，不要过程）。11 .如图，直三棱柱 ab

5、c a1b1c1 中，aai ab 2,bc 1, ab bc ,则该三棱柱的侧面积为 。12 .（原创）如图所示的 赵爽弦图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为 2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角 一，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正6方形内的概率是。3213 .已知函数f(x) x ax x 1在(）上是单调减函数，则实数a的取值范围是14.如图，平面abcdabef是矩形，且afagc所成角的正弦值为平面abef,四边形abcd是正方形，四边形1，一一一一ad a, g是ef的中点，则gb与平面 215.（原创）已知抛物线x2 2py（p 0

6、）的焦点为f ,顶点为o,准线为l ,过该抛物线上异于顶点。的任意一点 a作aa1l于点a ,以线段af, aa为邻边作平行四边形 afca1,连接直线ac交l于点d ,延长af交抛物线于另一点 b。若 aob的面积为s aob， abd xo的面积为s abd,则(s aob)的最大值为s abd三、解答题：（本大题6个小题，共75分）各题解答必须答在答题卷上相应题目指定的方框内（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）。16.（本小题满分13分）已知一条曲线c在y轴有侧，c上每一点到点f （1,0）的距离减去它到y轴距离的差都是1。（1）求曲线c的方程；（2）设直线l交曲线c于a,b两

7、点，线段 ab的中点为d（2, 1）,求直线l的一般式方程。17.(本小题满分13分)如图，p是正方形abcd所在平面外一点，且pdad,pd dc , pd 3, ad 2 ,若n分别是ab、pc的中点。(1)求证：mn dc;(2)求点m到平面pac的距离。m18.(原创)(本小题满分13分)已知三次函数 f x1 3 1 , 2-ax - bx 6x 1(x r) , a,b 为32实常数。(1)若a 3,b 3时，求函数f x的极大、极小值;(2)设函数g(x) f (x) 7 ,其中f (x)是f x的导函数，若 g(x)的导函数为g (x), g (0) 0 , g(x)与x轴有且

8、仅有一个公共点，求 01)的最小值。g(0)19.(本小题满分12分)如图，在 abc中， c 900 , ac bc a,点p在边ab上，设ap pb( 0),过点p作pebc交ac于e,作pfac交bc于f。沿pe将ape翻折成 ape,使平面ape 平面abc；沿pf将bpf翻折成 b pf ,使平面b pf 平面 abc。(1)求证：bc 平面ape ;(2)是否存在正实数，使得二面角c ab p的大小为900?若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由。20.(原创)(本小题满分12分)如图，已知椭圆c: 1(a b 0)的离心率是更， a b221.(原创)(本小题满分12分)函数f

9、(x)in x ,其中a为实常数。 x(1)讨论f (x)的单调性;(2)不等式f(x) 1在x(0,1上恒成立，求实数 a的取值范围;1 11(3)右 a 0,设 g(n) 1 - - u1 , h(n)233343iii(n 2,n是否存在实常数 b ,既使g(n) f (n) b又使h(n) f (n 1) b对一切n 2,n n恒成立？若存在，试找出 b的一个值，并证明；若不存在，说明理由。1.d11.16.2014年重庆一中高 2015级高数学试题（理科）2.b3.a（本小题满分,(x 1)2 y24.c5.d6.c12.113.3, .313分)解:(1)设p（x, y）是曲线x

10、1( x0）,化简得y2 4x( x(2)设 agyjbnyz)上期期末考试答案7.b8.c9.d10.c215.4c上任意一点，那么点0）。（或由定义法）p(x, y)满足:得：(y y2)(y12,yi由 2y24(xi4x4x2由于易知l的斜率k存在,故l的一般式方程为2k 4 ,所以l:2x y 3 0。k2 ,(2,0, 3),pc (0,2,故(y y2)yy2 4,即ay3),npan pc 02x3z2y3z3zx y 一，2(3,3,2), ma (0, 1,0),3,223一2222点m到平面pac的距离为3j2o22法二:18体积法。f(x)(3一 x2题 满 分 13

11、分2 6x1,f (x) 3x2 3x 6 3(x 1)(x2),x(,2)2(2,1)1(1,)f (x)00f(x)/极大值极小值/令 f (x) 0,xi2,x2 1,f(1)f极小值11 ，5-of极大值f ( 2)(2) g(x)2 axbx2 axbx1(a0)，g (x) 2ax b, g (0) b0,b2 4a法一:g(1)g(0)1 人一 1,令 h(b) bb 1,b0,h(b)11人4 b7,h(b)0,又b0,则b2,(0,2)时，h (b)0,当b(2,)时,h(b)20, h(b)min h；(叫ming(0)法二:g(1)g(0)b24 bb 11i4 b2b1

12、 14 b2,邸田,2。g (0)19.(本小题12分)解:(1)法一：以c为原点,cb所在直线为x轴，ca所在直线为y轴,过c且垂直于平面abc的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图,则 c(0,0,0), a(0,a,0), b(a,0,0)设 p(x,y,0),(x,ya,0) (a x, y,0)从而e(0,a(0,a7y 一。0)， ai , 1f(a1)平面ape的一个法向量为a apl,。0)a ,0,0), 1bc。,吃),ce (0,0),1又cb ( a ,0, a), cb ce 0 ,从而bc平面ape。 11法二：因为fcpe, fc 平面ape ,所以fc 平面ap

13、e ,因为平面 ape 平面 abc,且ae pe,所以ae 平面abc.同理，bf 平面abc ,所以bf ae , 从而bf/平面ape.所以平面bcf 平面ape,从而bc平面ape。(2)解：由(1)中解法一有：ca (0, ,), 11a a (171，一aa-)。可求得平面 cab的一个法向量 m1一个法向量n 。,1,1),由m n(0,0,3 0,所以不存在正实数，使得二面角c ab p的大小为900。20.(本小题满分12 分)解：(1) a(11有二-2,又fd 1, x a x ac 1 (c 1 a)(c 1 a),1),平面pab的a,0), a2(a,0), f(c

14、,0)，设 d(x,0),由二ada2dc 1 (c 1 、,2c)(c 1 、.2c)2c c 0,又 c 0, c 1, a,2,b1,椭圆2 x c : 一21 ,且 d(2,0)。(2)1q(2,2k m),设 p(%,y0),kx(kxm)2 12(kx m)2 2(2k2 1)x2 4kmx 2m2由于一 22 一 2 一 216k m 4(2k1)(2m_ 22) 0 2kmi2k2 1（*）,而由韦达定理：2x04kmx02k2 12km 由(*)2k2 12km-2 m2k my kx0 m2k2p(生)m m设以线段pq为直径的圆上任意一点m (x,y),由0有/ 2k-(

15、x -)(x 2)m1(y 一)(y (2kmm)22/2k0 x y (2)xm(2k m1、 小 2k、八)y (1 一)0 m m由对称性知定点在x轴上，令y1时满足上式，故过定点k(1,0)。21.（本小题满分12 分）解：（1）定义域为r a 1(0,), f (x)-x x当a 0时，x 0, x a0, f (x) 0, f (x)在定义域(0,）上单增;当a 0时，当x a时，f (x) 0, f(x)单增；当 0 x a 时，f(x) 0 , f(x)单减。增区间：（a,(0,a)。综上可知：当a0时，增区间(0,）,无减区间;当a 0时，增区间：（a,）,减区间:(0, a

16、)。(2) f(x) 1a .一ln x xln x 1a xln xx max, xg (x) ln xg(x)max g(1) 1,(0,1,令g(x) xlninx 0(x (0,1),a xlnx x对任意x （0,1恒成立x x,x (0,1,g(x)在x (0,1上单增,a 1 ,故a的取值范围为1,）。（3）存在,0等。下面证明:3 hi nlnn(n 2,n先证43-3iii这只要证-21k 1iiin 13n1ln(nin n容易证明ln(1x ln(1 x)对 x让k 2,3,n分别代入（再证法一:12 1 亍1 1+ 231231233hln34334313211)(n(

17、nn),p) (k k 12,n n ）成立。注意in n2,3,|n)0恒成立（这里证略），取*)式再相加即证:1nq(*)即可,（k 2）即可得上式成立。11iiinn3n3 iii121n 1lnln(nln(n1)(n2,n1)(n2,nhi nn (nln n (n n ),n )。2322(1 1)12 131只须证-1k2326133)23)令u(x) x2u (x)0,u(x)u(x)u(0)0,(11r即证法二:421421321ln(1 1)(kln( x1),0,33)n ),u (x)ln( xiii11(-2 -3)ln(nn niii j 4) ln(1 n nl| (-t) ln(1n n构造证明函数不等式:2x 3x2调递减1) (x1)ln(11,2,3,。n分别代入上式再相加即证:11 1(32 33)官12323_3343n 13nilln 1- ln(n 1) (n n(n 1)(nj2 n 1)又 u(0)0）恒成立。ln(111n(11)2,n1)1)1