直线与圆位置关系知识点与经典例题

1、直线与圆位置关系一.课标要求1 .能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；2 .能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3 .在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。.知识框架f相离j几何法r弦长4直线与圆的位置关系相交代数法切割线定理相切直线与圆(f代数法求切线的方法,几何法圆的切线方程i过圆上一点的切线方程、圆的切线方程,切点弦过圆外一点的切线方程方程三.直线与圆的位置关系及其判定方法1.利用圆心o(a,b)到直线ax by c 0的距离daa bb cn 22a b与半径r的大小来判(1) dr直线与圆相交(2) dr直线与圆相切(3) dr直线与圆相离

2、2 .联立直线与圆的方程组成方程组，消去其中一个未知量，得到关于另外一个未知量的一元次方程，通过解的个数来判定。(1)有两个公共解(交点)，即0 直线与圆相交0直线与圆相切(位置关系)1.已知动直线l : y kx 5和圆c ： (x 1)2 y21，试问k为何值时，直线(2)有且仅有一个解(交点)，也称之为有两个相同实根，即(3)无解(交点)，即 0直线与圆相离3 .等价关系相交dr0相切dr0相离dr0练习ax by 1与圆。的位置关与圆相切、相离、相交?22.(位置关系)2.已知点m(a,b)在圆o：x y 1外，则直线a.相切 b. 相交 c. 相离 d. 不确定（最值问题）3.已知实

3、数x、y满足方程x2 y2 4x 1 0,（1）求_y的最大值和最小值；x（2）求x y的最大值和最小值；（3）求x2 y2的最大值和最小值。r分析1考查与圆有关的最值问题，解题的关键是依据题目条件将其转化为对应的几何问题求解，运用数形结合的方法， 直观的理解。转化为求斜率的最值；转化为求直线y x b截距的最大值；转化为求与原点的距离的最值问题。（位置关系）4.设m,n r,若直线（m 1）x （n 1）y 2 0与圆（x 1）2 （y 1）2 1相 切，则m n的取值范围是（）（位置关系）5.在平面直角坐标系 xoy中，已知圆x2 y2 4上有且仅有四个点到直线12x 5y c 0的距离为

4、1,则实数c的取值范围是6.直线v3x y 2j3 0截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角是（c ）a 6(位置关系)( )a. 2 bb 、一 c 、一 d 、一x y 2的距离最大值是7 .圆x2 y2 2x 2y 1 0上的点到直线、. 2141c . 1 d . 1 2v22（最值问题）8.设a为圆（x 2）2 （y 2）2 1上一动点，则 a到直线xy 50的最大距离9 .已知圆c的半径为2,圆心在c的方程为（）a. x2 y2 2x 3 0c. x2 y2 2x 3 010 .若曲线y j1 x2与直线yx轴的正半轴上，直线 3x 4y 4 0与圆c相切，则圆b. x2 y2 4

5、x 0d. x2 y2 4x 0x b始终有两个交点，则 b的取值范围是.（对称问题）11.圆c1：（x 3）2 （y 1）2 4关于直线x y 0对称白圆c2的方程为：（）a.(x3)2(y1)24b.c.(x1)2(y3)24d.12.直线 y kx 3与圆(x 2)2 (y 则k的取值范围是()(x 1)2 (y 3)24(x 3)2 (y 1)243)2 4相交于m ,n两点，若| mn | 273,2c. .3,、,3 d. -,0313.圆 c： (x1)2+(y 2)2=25,直线 l： (2 m 1)x+ ( m 1)y= 7mu 4 ( mc r).(1)证明：不论m取什么实

6、数，直线l与圆恒相交于两点；(2)求。c与直线l相交弦长的最小值.解析(1)将方程(21)x+(m 1)y=7m 4,变形为(2x+y 7)(x+y 4)=0.直线l恒过两直线2x+y7=0和x+y4=0的交点，2x+ y- 7 = 0由得交点m3,1).x+ y 4= 0又(3 1)2+(1 2)2=525, .点m3,1)在圆c内，直线l与圆c恒有两个交点.(2)由圆的性质可知，当lcm寸，弦长最短.又 1cm = #3 1) 2+(1 f =卡, .弦长为 l =2卡2_| cm!2： 225-5 =45.四.计算直线被圆所截得的弦长的方法1 .几何法：运用弦心距、半径、半弦长构成的rt

7、计算，即 ab 2；r2 d22 .代数法：运用根与系数关系(韦达定理)，即ab| vk2 i|xa xb| v(k2 1) (xa xb)2 4xaxb(注： 当直线ab斜率不存在时，请自行探索与总结；弦中点坐标为(xa xb , ya yb ),求解弦中点轨迹方程。)22练习1 .直线y 2x 3被圆x2 y2 6x 8y 0所截得的弦长等于()2 .过点(2,1)的直线中被圆x2 y2 2x 4y 0截得的弦长最大的直线方程是()a. 3x y 5 0 b. 3x y 70 c. x 3y 5 0 d. x 3y 5 03 .已知圆c过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上，直线l : y

8、 x 1被圆c所截得的弦长为2盘,则过圆心且与直线l垂直的直线方程为()4 .直线x 2y3=0与圆c: (x2)2+(y+3) 2=9交于e、f两点，则 ec用勺面积为()a.2 b. 3 c . 2审 d. 3555 .已知圆 c：(x 3)2 (y 4)24 和直线 l：kx y 4k 3 0(1)求证：不论k取什么值，直线和圆总相交；(2)求k取何值时，圆被直线截得的弦最短，并求最短弦的长.6 .若曲线x2+y2+2x6y+1= 0上相异两点p、q关于直线kx+2y- 4=0对称，则k的值为1( )a. 1b. 1c.2d. 27 .已知过点m 3, 3的直线l与圆x2 y2 4y 2

9、1 0相交于a, b两点，(1)若弦ab的长为2灰,求直线l的方程；(2)设弦ab的中点为p ,求动点p的轨迹方程.解：(1)若直线l的斜率不存在，则 l的方程为x 3,此时有y2 4y 12 0 ,弦| ab11ya yb| 268,所以不合题意.故设直线l的方程为y 3 k x 3 ,即kx y 3k 3 0 .2将圆的万程与成标准式得 x2 y 225,所以圆心 0, 2 ,半径r 5 .圆心0, 2到直线l的距离d 13k ”,因为弦心距、半径、弦长的一半构成直角三、k2 122 3k 12角形，所以 j152 25,即k 30,所以k 3.k2 1所求直线l的方程为3x y 12 0

10、 .(2)设 p x,y ,圆心 o1 0, 2,连接of,则oipab .当x 0且x3时,ko, p kaby ( 3)x ( 3)(1)3, 3都是方程(1)3 25 2 51，化简得x 3 y 55222当x 0或x 3时，p点的坐标为 0, 2 , 0, 3 , 3, 23 的解，所以弦 ab中点p的轨迹方程为 x 3 y -.2228.已知圆x2 y2 x 6y m 0和直线x 2y 3 0相交于p,q两点，o为原点，且 op oq ,求实数m的取值.五.已知切点，求切线方程1 .经过圆x2 y2 r2上一点p (x0, y(o)的切线方程为 x y0y r22 .经过圆(x a)

11、2 (y b)2 r2上一点p (x, y)的切线方程为(x a)(x a) (y0 b)( y b) r23 .经过圆x2 y2 dx ey f 0上一点p(x, y)的切线方程为%x yy练习1 .经过圆上一点p( 4, 8)作圆(x 7)2 (y 8)2 9的切线方程为()2 .圆x2 y2 4x 0在点p(1, j3)处的切线方程为()a. x 43y 2 0 b . x 73y 4 0 c. x v3y 4 0 d . x 73y 2 0六.切点未知，过园外一点，求切线方程1. k不存在，验证是否成立；2. k存在，设点斜式，用圆到直线的距离d r,即y y k(x %)b v。 k

12、(a xo)|, r 1、k2 1练习1.求过a(3,5)且与圆c：x2 y2 4x 4y 7 0相切的直线方程。七.切线长2. 22右圆c:(x a) (y b) r ,则过圆外一点p(x0,y0)的切线长d ,(x0 a)2 (y0 b)2 r2练习1 .自点 a( 1,4)作圆(x 2)2 (y 3)21的切线，则切线长为( b )(a)5(b) 3(c).10(d) 52 .自直线y=x上点向圆x2+y2-6x+7=0引切线，则切线长的最小值为 八.切点弦方程过圆c :(x a)2 (y b)2 r2外一点p(x, y)作圆c的两条切线方程，切点分别为a, b ,则切点弦ab所在直线方

13、程为：(x0 a)(x a) (y0 b)(y b)r21 .过点c(6 , 8)作圆x2+y2=25的切线于切点 a b,那么c到两切点a、b连线的距离为()15a. 15b. 1 c. 5d. 5九.切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线， 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，即|pt|2 |pc| |pd|练习 221 .自动点p引圆x y 10的两条切线pa, pb ,直线pa, pb的斜率分别为 左m2。(1)若k1 k2卜限 1 ,求动点p的轨迹方程；(2)若点p在直线x y m上，且pa pb ,求实数m的取值范围。r解析1(1)由题意设p(x0,y)在园外，切线l :y y k(x