用特征方程求数列的通项

1、用特征方程求数列的通项一、递推数列特征方程的研究与探索递推（迭彳t）是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和方法。递推数列的特征方程是怎样来的？（一）、若数列an满足a1 b, an 1can d（c 0）,其通项公式的求法一般采用如下的参数法，将递推数列转化为等比数列:设anc(an t),则 an1can(c 1)t，令（c1)tc 1时可得c(an知数列 a n是以c比的等比数列，an(aid、n c1)c将a1b代入并整理，得anbcnd b cc 1n1 d故数列an 1cand对应的特征方程是:x=cx+d（二）、二阶线

2、性递推数列an 1pan qan 1,仿上，用上述参数法来探求数列an 1 ta n征：不妨设an 1 tan s( an ta n 1 ),则(s t)an stans令st（1）若方程组（）有两组不同的实数解 （s1t）,（s2,t2）,则 an1t1ans1(an1冏1),an1t?an$2(antzanl，即an 1tanan 1 t2an分别是公比为ss2的等比数列，由等比数列通项公式可得n 1an 1 t1an (a2 t1a1)s1,an 1 t2an (a2 taajs2n 1a2t2a1n .s2 .s2 1112 t1 t2,由上两式+消去an 1可得ana2t1a1 .s

3、1ns1 t1t2（2）若方程组（x）有两组相等的解s1 s2 ,易证此时t1t t22an 1t1 ans1ant1an1sl(an1t1an 2)sin 1(a2 tiai), 与 3 a2 1a1,即an是等差数列，由等差数列通 s1slsisiaia2siai2sisia 2 si ai n2.n s1si项公式可知霁 亘 n 1 .a2 s1a1 ,所以a s1s|s1这样，我们通过参数方法，将递推数列转化为等比(差)数列，从而求得二阶线性递推数列的通项，若将方程组()消去t即得s2 ps q 0,显然与、s2就是方程x2 px q的两根，我们不妨称此方程为二阶线性递推数列an i

4、pan qan i的特征方所以有结论： 若递推公式为 an i pan qan i,则其特征方程为x2 px qi、若方程有两相异根s1 s2 ,则an ggn c2s2n;2、若方程有两等根、s2,则an(cinc2)sin.其中c1、c2可由初始条件确定。a a_ b(三)分式线性递推数列an 1 a an b ( a,b,c,d r,c 0),c an d将上述方法继续类比，仿照前面方法，等式两边同加参数t ,则b dt an a an ban i t t (a ct)a-ct- ，can dc an d人 b dt令t ，即ct2 (a d)t b 0，记的两根为ti,t2,a ct(

5、1 )若ti t 2 ,将ti, t2分别代入式可得an iti(acti)antic an dan it2(a%)an t2c an da t,以上两式相除得t1an i t2a ctia ct2an tan t2a 一 t,a一t1为等比数列，其公比为an t2actia ntiaitiactin i1,数列an的通项an可由l l (1)求得;act2ant2ait2a呢(2)若t1 t2,将t t1代入式可得an 1 t1 (at1,考虑到上式结构特d点，两边取倒数得1an 1 t11 c(an t1a ct1an由于t1 t2时方程的两根满足2tict dcti于是式可变形为1a n

6、 1 t1cct1an为等差数列，其公差为ca ct1数列an一， 1的通项an可由ant11a1 t1(n 1)cact1求得.这样，利用上述方法，我们可以把分式线性递推数列转化为等比数列或等差数列，从而求得其通项。如果我们引入分式线性递推数列an 1 亘回c an-的特征方程为x dax bcx d即 cx2 (d a)x b如下结论：0,此特征方程的两根恰好是方程两根的相反数，于是我们得到分式线性递推数列an 1 a an b的特征方程为x 3一bc an dcx d1、若方程有两相异根s1s2,则 an s1成等比数列，其公比为 a 0an s2a cs22、若方程有两等根s11s2

7、,则 一1 成等差数列，其公差为an 5ca cs1值得指出的是，上述结论在求相应数列通项公式时固然有用，但将递推数列转化为等比(等差)数列的思想方法更为重要 。如对于其它形式的递推数列，我们也可借鉴前面的参数法，求得通项公式，其结论与特征方程法完全一致，三、例题例1、 已知数列a11, a25,且an1 4an 4an 1 (n 2),求通项公式an。解 设 an 1 tans(an tan 1 ) , 1- an 1 (s t)anstan 1令s st可得ts ;于是an 12an2(an22(an2an 2)2n 1(a22a1) 3 2n 1,an 12na n2n3 ,即亘42n是

8、以a121131为首项、3为公差的等差数列,24an2n(nan(3n1) 2n 2例2、设数列an满足a12, an5an2an4卡7,求 an.解：对等式两端同加参数an 15an 42an2tan 7tan7t 47t2t2an2t2an2t 57解之得t1, 2,代入上式得anan 12kan 12an 7两式相除得anan 1an 12an是首项为an 1an 2n,从而an4 3n 1 24 3n四、本课小结：1.可用特征方程解决递推数列的三类模型.线性递推关系：已知a1b,an 1cand (c0),.齐次二阶线性递推关系:已知a1a,a2b,且 an 1 pan qan 1,.

9、分式递推关系:已知a1an 1a anc an d2.特征根方程及求法ai,n 1.an 1 pan q的特征根方程为x=px+q ,其根为 ，则an 1=p( an 1ai(n 1).an 2a2(n 2)的特征根方程为x2px q设两实根为pan 1 qan .若时，则an=c1 n 1 c2 1 ,其中g , c2是由a1 , a2确定 .若 二时，则an(c1nc2)n 1其中c1,c2是由，a1a2确定panqpx q.an 1的特征根方程为x exq若方程的两根为ranhrx ha1且 ，贝uap- a一即a一等比数列an 1 p ranan1 2r 11a1且p h 0,则 一1

10、即 等差数列an 1 p h anan五、练习1,、1 .已知数列an： an1 3an 2,n n,a14,求 an.2 .已知数列 an满足 a1=3, a2 =6, an 2 =4 an 1 -4 an 求 an3 .已知数列 an 满足 a1=3, a2 =6, an 2 =2 an 1+3 an 求 an都有a-an一(1 an)(1 am)4 .各项均为正数的数列 an a1=a, a2 =b,且对任意的 m+n=p+q的正整数m, n, p, q, 当a=1 ,b= 4 时，求通项 an(1 an)(1 aq)255:已知数列an满足a1-1.*2,an 2,n n，求通项an

11、. an 16.已知数列an满足a12, a23,an 2 3an 12an(n*、 n ),求数列an的通项an7.已知数列an满足a1 1,a22,4an 2 4an 1 an(n.*.n ),求数列an的通项an8.已知数列an满足a12,ana_2an1 2(n 2),求数列an的通项an2an1 19.已知数列an满足a12, an2an 11 4an(n),求数列an的通项an练习答案1、解：作特征方程2,贝 uxa11-为公比3的等比数列.于1an 3= ( a1,an3 11/ 1.n 1 (一)223,n n.2、解：作特征方程x2=4x-4由特征根方程得=2 故设 an =

12、( a + c2n)2n 1 ,其中3=g+c2,6=( g+2c2).2, 所以 0=3, c2 =0，则 an =3. 2n13、解：作特征方程x2=2x+3由特征根方程得 =3,=-1所以an=c1 3n+ c2n 1 ,(1)其中3=g +c2,93 .6=3 c1-c2,得。=一，c2=一所以 an 441.3n1+3 (4 34(1)namanapaq2,banan 1(1am)(1 an)(1 ap)(1aq)aan(1a1)(1an)a2 an 1一将(1a2)(1 an 1)4，一代入上式化简得5an2 an 1an 11 ,，、一考虑特征方程x22x 1,2得特征根x 1所

13、以x 22an1 1 1 an 122an1 11an 12an 1an 11an 1an 1是以aa1 111-为首项，公比为-的等比数列，故anan11 n 1-(-)n 13 3(3)nan3n3n5、解：考虑特征方程1，得特征根x xan 111(2 )1an 1an 1所以数列1an 1是以1a1 1an 1 1an 1an 11为首项，公差为1的等差数列,故an 1n 即an6.解:其特征方程为2 一 一 .一x 3x 2 ,解得 x11,x22,nanc1 1c22n,a1 c1 2c2a2 c1 4c2an 12n7.解:其特征方程为4x24x1,解得x1x2nc2ai c c2)a2(g 2c2)1214an8.解：其特征方程为2x得2x23n 22n 1解得x1 1,x2由a12,得 a2可得c数列ai 1数列,