新编高中数学-3.4生活中的优化问题举例学案-新人教A版选修1-1

1、新编人教版精品教学资料高中数学3.4生活中的优化问题举例学案新人教a版选修1-1裸妹点击 x l结合土，；至刑我聂犬，用料景膏、藕星景甫等此上同月*递行西城思想也方法狗持彝.累班一多蜡尊真景海条蘸力和建学帮收晶用导量如第分析问敢和解决实际间器当技哥用 吊域的知识瞽洪实际间和的竟无和能力.预习导学”?基础梳理1 .优化问题.生活中经常遇到的利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.2 .利用导数解决优化问题的基本思路.3 .利用导数解决优化问题的一般步骤.(1)审题：认真阅读，分析实际问题中各个量之间的关系.(2)建模：实质就是数学化的过程，即把实际问题用数学符号、式子、图形

2、等表示出来，写 出实际问题中变量之间的函数关系y = f(x).(3)求解：求函数的导数 f (x),解方程f (x) = 0,并比较区间端点和使 f (x) = 0的点 的函数值的大小，得出函数的最值.(4)检验：对结果进行验证评估，定性、定量分析，作出判断，确定问题的答案.?自测自评电动自行车的耗电量 y与速度x有如下关系：y = 3-号x2 40x( x0),为使耗电量最小，32则速度应定为40.随堂风s i1.(d)为了保证容积一定的圆柱形金属饮料罐所用的材料最省，则它的高与其底面半径之比是a. 1 ： 2 b . 1 ： 1c. 3 ： 1 d . 2 ： 1解析：设圆柱的底面半径为

3、r,高为h,则v= r r2h(v是定值)，即h=-p,因此，所使用nr _22 vv ,3材料总面积为 s= 2n+271rh = 2 ti r + r ，则 s = 22n一12,由 s = 0,得 2nr=v,可以证明此时的r能使s最小.进而得到 h=2r.点评：本题是含字母的运算，对计算能力要求较高，注意运用整体思想和设而不求.2.某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加3x若总u入 r与年广量 x(0x390)的关系是 r(x) =-+400x, (0x 390 时,r(x) = 90 090 ,则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是a. 150

4、b . 200c. 250 d . 300解析：总利润p(x)=3x(d)900+ 300x20 000 , 0x390, 由 p (x) = 0,得 x= 300,故选 d.3.某养鸡场是一面靠墙，三面用铁丝网围成的矩形场地.如果铁丝网长那么围成的场地面积最大为解析：设靠墙的一面长 x m,围成的场地面积为 y m2,此时矩形的宽为40-x丁 0.1- y= x -2- = - 2x2+ 20x.(0 x 40)y = x + 20,令 y = 0 得 x=20,当 0vx 0.当 20vx40 时，y 0.x= 20 时，y 最大= 20x 10= 200.答案：200 m24.某单位用木

5、料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形,上部是等腰直角三角形.要求框架围成的总面积为 0.001 m)?8 m2.问x、y分别为多少时用料最省(精确到解析：由题意，得xy + 4x2=8,8-1x248y= xx4(0 x 4 2).于是，框架用料总长度为l =2x+ 2y+2 3+啦16x+ 1.x3 , c 162+42 - x?5 由 =0.得 x=84,2.可以证明，当 x=842时，用料最省.此时，x=84、亚y2.344 , y=2, 2 y 2.828.故当x为2.344 m , y为2.828 m时，用料最省.点评：本题也可以用基本不等式求解，但计

6、算量较大.课时利栋01 .用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的 小正方形，然后把四边折起，焊成一个正四棱形柱容器，则当所做的容器的体积最大时，被截 去的小正方形的边长是 (b)a. 6 cm b . 8 cm c . 10 cm d . 12 cm解析：设小正方形的边长为 x(0 x0)上的点与点p(0 , 2)的最短距离是(c)arb正2273c.方 d. 2解析：设qx, 4x2)( x0)是曲线c上任意一点，则 pq的距离为| pq = * (x-0) 2+ (4-x2- 2) 2 = x43x2+4,令 f (x) =x4- 3x2+ 4(x

7、0),根据导数可求得，当 x =、-时，f ( x) min =4，从而 |pqmin =72 .3 .某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x(x n*)满足y=- x2+ 12x-25,则每辆客车营运多少年使其营运年平均 利润最大(c)y= x2+ 12x-25,a. 3 b . 4 c.5 d . 6解析：总利润y(万元)与营运年数x之间的关系为,平均利润y=x空+12 = x+空 +12, x xxy =皆1,令工1 = 0,解得x = 5. x x x故选c.4 .要做一个母线长为20 cm的圆锥形漏斗，使其体积最大，则它的

8、高等于(d)3a.-3- cm b.c.早 cm10. 3cm3c 20 3d. -3 cm 1c解析：设圆锥的图为h(0h20),则底面半径为 420 h,它的体积为v=7th(20 3h2),于是v = 1 兀(20 2 - 3h2)，令 v =1 71 (20 2- 3h2) =0,得 h= 203. 333可以证明，当圆锥的高为 殁3 cm时，其体积最大.35.如右图，在半径为 r的圆o的一侧作一内接梯形 abcd使其下底为圆的直径，其他三边为圆的弦.当梯形的面积最大时，梯形的上底长为(d)1a2rb. 13 rc.d. r71解析：如题图，设/ ao&x 0x-2 , 则/ boc=

9、 x, / codt ti 2x,于是梯形的面积为s= 2 r 2(2cos 21 2 .1 2 .2r sin x + 2r sin x+ cos x- 1).(tt 2x) = r 2(sinx+sin xcos x),那么， s = r2(cos x + cos 2x)令s =0,解得，cos1 、x= 2或 cos xtt1(不合题意，舍去)，即x= 3.一 .冗 .易知，当x = 7时，梯形面积最大.相应地,36.某工厂生产某种商品 单位时，所获得的最大利润是x单位的利润是 oc四正三角形，所以梯形的上底长是r.2c(x) = 500+ x 0.001 x ,则生广该商品 解析：由于

10、c(x)是二次函数，所以可以求导或者配方或者直接用公式即可得到，生产该商 品500单位时，所获得的最大利润是750.答案：500 7507 .做一个容积为256升的方底无盖水箱，它的高为分米时，用料最省.解析：设水箱高为x分米.则底面正方形的边长是16分米，那么总用料面积是16 2s=/ +4- x-成的两个正三角形面积的和是s= 刈=乎x i乎212 x 2x224x+ 144)=干(x y=64 %x+x ,求导后，得到，当x=4分米时，用料最省.答案：48 .把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积 之和的最小值是解析：设一段细铁丝为 xcm(0x12

11、),则另一段为(12x)cm,那么这两根细铁丝各自围6)2+36,于是，当x=6 cm时，这两个正三角形面积之和的最小值是2%弓cm2.答案:2 3 cm29 .某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位该产品，成本增加100元,已知每月总收益 r与月产量x的关系是r(x) =12c 400x x , 0 x 400,解析：依题意，可以求得，总利润为1 2,400x-tx ( 100x+ 20 000 ) , 0x400,即 l(x)=1x2+ 300x20 000, 0x400.(1)若0x400,显然 l(x)20 000.因此，该产品的月产量为300单位时，总利润最大.1

12、0.某地区预计从2011年初开始的第x月，商品a的价格f(x) =2(x212x+69)( x6 n, x12,价格单位：元)，且第x月该商品的销售量 g(x)=x+12(单位：万件).(1)2011年的最低价格是多少？(2)2011年的哪一个月的销售收入最少？12解析：(1) f(x)=习(x6)2+33.当x=6时，f(x)取得最小值，即第6个月的价格最低，最低彳格为16.5元.,1 ,1 .(2)设第 x月的销售收入为y(万兀)，依题总有 y = -( x - 12x+ 69)( x+ 12) =-( x - 75x +828),y = 1(3x2-75) =|(x+5)( x- 5),

13、所以当 1x5 时 y，0, y 递减；当5x0, y递增，所以当x= 5时，y最小，即第5个月销售收入最少. 答案：2011年在第5月的销售收入最低.11 .已知某工厂生产 x件产品的成本为 c=25 000 +200x + ；1x2(元).(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？若产品每件以500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品?y=1 225 000 + 200x+40x解析：(1)设平均成本为 y元，则25 0001-+200 + 40x( x0),25 0001y - f+40(x0)，令 y =0,得 x1= 1 000 , x2 = - 1 000(舍去).因此，要使平均

14、成本最低，应生产 1 000件产品.1 212(2)利润函数 l= 500x- 25 000 +200x + x =300x-25 000 -40x .l，= 300 - -x.20当 x6(0, 6 000)时，l (x) 0；当 x6 (6 000, + 8)时，l (x)0.x = 6 000 时，l(x)取得极大值，即函数在该点取得最大值.令 l =0,得 x=6 000.因此要使利润最大，应生产 6 000件产品.12.如右图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r,短半轴长为 r,计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底ab是半椭圆的短轴，上底cd的端点在椭圆上，设ca 2x,梯形面积

15、为s(1)求面积(2)求面积s的最大值.分析：先建立直角坐标系，设出椭圆的方程，表示出梯形面积的函数关系，利用导数的有 关知识解决问题.解析：(1)依题意，以 ab的中点。为原点建立直角坐标系oxy(如右图)，则点c的横坐标22为x,点c的纵坐标y满足方程解得 y= 2、r2x2(0xr)一 1-22s= 2(2x+2r) 2 r x2(x+r) qr-x,其定义域为x0xr.(2)记 f (x) =4(x+r) 2(r2x2) , 0xr, 则 f (x) = 8( x+ r) 2( r 2x).一 r令 f(x) = 0,得 x=2.rrr因为当0x0；当2xr时，f (x)10)层，则每

16、平方米的平土建筑费用为560 +48x(单位：元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=黑 )建见后、回枳解析：设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元， /、 /、2 160 x 10 00010 800 /*、则 f ( x) = ( 560 + 48x) +2000x= 560 + 48x+ x( x 10, x6 n),f (x) =48- 10 800 ,令(x) =0,得 x=15. x当 x15 时，(x) 0 ；当 10vx15 时，( x) 0.因此，当x=15时，f (x)取最小值f( 15

17、)=2 000.15层.2.某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工答：为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为程费用为(2+qx)x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余 下工程的费用为 y万元.(1)试写出y关于x的函数关系式.(2)当m= 640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解析：(1)设需要新建n个桥墩，(n+1)x=m,即 n = m- 1,x所以 y= f(x) = 256n+( n+ 1)(2 +x) x256 -

18、1 + x(2 +256m-h mjx+ 2m- 256.由知，f (x)256m2x11+ 2”23m27(x2-512).2 x令 f (x) = 0,得 x2=512,所以x= 64.当 0vx64 时 f (x)0 , f(x)在区间(0 , 当 64vx0. f (x)在区间 所以f(x)在x=64处取得最小值，此时， n=m1 = 6401 : 9.x 64故需新建9个桥墩才能使y最小.3.围建一个面积为360 m2的矩形场地,64)内为减函数；(64 , 640)内为增函数,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维2 m的进出口，如图所示.已修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面

19、的新墙上要留一个宽度为知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为 x(单位：m),修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元).(1)将y表示为x的函数；试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.解析：(1)如下图所示，设矩形的另一边长为a m,y=45x+ 180( x-2) + 180x 2 a= 225x+ 360a 360,360由已知xa=360,得a= x3602所以 y= 225x + -360(x0).y3602.一.k+225,令 y =0 得 x= 24(x 24 舍去).即当x=24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用

20、是10 440元.4.某企业拟建造如下图所示的容器(不计厚度，长度单位：米 )，其中容器的中间为圆柱80 71形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为二一立方米，且l 2r,假设该容器的3建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c3)千元，设该容器的建造费用为y千元.(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域;求该容器的建造费用最小时的r.解析：(1)设容器的容积为 v,由题意知v= r r2l +4tt r3,又v= 80，33v- 471 r3380 44 20tt r2-373r3 产由于l2r,因此0r2,所以建造费用=2 tt rl x3 + 4nr2c = 2n*一 一2 r x 3 + 43 rr r 2c,因此 y= 4 j (c 2) r2+ 160 7t , 0r3,所以c20.8 tt ( c2)2rr3-20- , 0r0，8n