等差数列课件

1、2.2 等 差 数 列 理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练 第 二 章 数 列 第一 课时 等差 数列 考点一 考点二 考点三 知识点一 知识点二 知识点三 1在现实生活中，我们经常这样数数，从在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每开始，每 隔隔5数一次，可以得到数列：数一次，可以得到数列：0,5，_，_， _，_， 2鞋的尺码，按照国家规定，有：鞋的尺码，按照国家规定，有： 22,22.5,23,23.5,24,24.5， 3水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生 活环境，需定期放水清理水库中的杂鱼如果一个水库活环境，需定期放水清理水库中

2、的杂鱼如果一个水库 的水位为的水位为18 cm，自然放水每天水位降低，自然放水每天水位降低2.5 m，最低降，最低降 至至5 m那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的 那天，水库每天的水位组成数列那天，水库每天的水位组成数列(单位：单位：m)： 18,15.5,13,10.5,8,5.5 问题：观察下面的这三个数列：问题：观察下面的这三个数列： 0,5,10,15,20， 22,22.5,23,23.5,24,24.5， 18,15.5,13,10.5,8,5.5 这些数列有什么共同特点呢？这些数列有什么共同特点呢？ 提示：提示：以上三个数列从第以上三

3、个数列从第2项起，每一项与前一项的差都项起，每一项与前一项的差都 等于同一个常数等于同一个常数(即：每个数列都具有相邻两项差为同一即：每个数列都具有相邻两项差为同一 个常数的特点个常数的特点) 如果一个数列从第如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项起，每一项与它的前一 项的差等于项的差等于 常数，那么这个数列就叫做等差常数，那么这个数列就叫做等差 数列，这个常数叫做等差数列的数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母，通常用字母 表示表示. 2 同一个同一个 公差公差 d 问题：如果在问题：如果在a a与与b b中间抽入一个数，使中间抽入一个数，使a a，A A，b b成等差成等差 数列，

4、那么数列，那么A A应满足什么条件？应满足什么条件？ 1等差中项：等差中项：如果如果a，A，b成成 数列，那么数列，那么A 叫做叫做a与与b的等差中项的等差中项 2等差中项的性质等差中项的性质 A是是a与与b的等差中项的等差中项 (或或 ). 等差等差 2Aab 问题：若一等差数列问题：若一等差数列an的首项为的首项为a1，公差是，公差是d，则，则 根据其定义可得：根据其定义可得： a2a1_，即，即a2a1_； a3a2_，即，即a3a2da1_； a4a3_，即，即a4a3da1_； 由此可归纳等差数列的通项公式由此可归纳等差数列的通项公式an_. 提示：提示：a2a1a3a2a4a3d，

5、 a2a1d，a3a12d，a4a13d， 由此归纳：由此归纳：ana1(n1)d. 已知等差数列已知等差数列an的首项为的首项为a1，公差为，公差为d， 递推公式递推公式通项公式通项公式 d(n2) an anan 1a1(n1)d 1对等差数列定义的理解对等差数列定义的理解 (1)“每一项与它的前一项的差每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指这一运算要求是指 “相邻且后项减去前项相邻且后项减去前项”强调了：作差的顺序；这两强调了：作差的顺序；这两 项必须相邻项必须相邻 (2)定义中的定义中的“同一常数同一常数”是指全部的后项减去前一项是指全部的后项减去前一项 都等于同一个常数，否则这个数

6、列不能称为等差数列都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列 (3)等差数列的定义可用符号语言表述为：等差数列的定义可用符号语言表述为： 在数列在数列an中，若中，若an 1 and(常数常数)(nN*)，则称数列，则称数列 an为等差数列为等差数列 2在等差数列的通项公式在等差数列的通项公式ana1(n1)d中有中有4个个 变量变量an、a1、n、d，在这，在这4个变量中可以个变量中可以“知三求一知三求一”其其 作用为作用为 (1)可以由首项和公差求出等差数列中的任一项；可以由首项和公差求出等差数列中的任一项； (2)已知等差数列的任意两项，就可以求出首项和已知等差数列的任意两项，就可以

7、求出首项和 公差从而可求等差数列中的任一项；公差从而可求等差数列中的任一项； (3)由等差数列的通项公式可求出数列中的任意一由等差数列的通项公式可求出数列中的任意一 项，也可判断某数是否为数列中的项及是第几项项，也可判断某数是否为数列中的项及是第几项 第一课时等第一课时等 差差 数数 列列 例例1已知数列已知数列an的通项公式的通项公式anpn2qn(p、qR， 且且p、q为常数为常数)记记bnan 1 an. (1)当当p和和q满足什么条件时，数列满足什么条件时，数列an是等差数列？是等差数列？ (2)求证：对任意实数求证：对任意实数p和和q，数列，数列bn是等差数列是等差数列 思路点拨思路

8、点拨利用等差数列的定义作答利用等差数列的定义作答 (1)考察考察an 1 an，寻求使之为常数时，寻求使之为常数时p、q应满足的条件；应满足的条件； (2)证证bn 1 bn是一个常数是一个常数 精解详析精解详析(1)an 1 an p(n1)2q(n1)(pn2qn) 2pnpq. 欲使欲使an为等差数列，则为等差数列，则2pnpq应是一个与应是一个与n无关无关 的常数，的常数， 而只有而只有2p0即即p0时，时，an 1 anq为常数为常数 故当故当p0，qR时，数列时，数列an是等差数列是等差数列 (2)an 1 an2pnpq， an 2 an 1 2p(n1)pq， bn 1 bn(

9、an 2 an 1) (an 1 an) 2p为一个常数，为一个常数， 故数列故数列bn是等差数列是等差数列 一点通一点通定义法是判定定义法是判定(或证明或证明)数列数列an是等差数是等差数 列的基本方法，其步骤为列的基本方法，其步骤为 (1)作差作差an 1 an； (2)对差式进行变形；对差式进行变形； (3)当当an 1 an是一个与是一个与n无关的常数时，数列无关的常数时，数列an是是 等差数列；当等差数列；当an 1 an不是常数，是与不是常数，是与n有关的代数式有关的代数式 时，数列时，数列an不是等差数列不是等差数列 1数列数列an的通项公式的通项公式an2n5，则此数列是，则此

10、数列是 () A公差为公差为2的等差数列的等差数列 B公差为公差为5的等差数列的等差数列 C公差为公差为n的等差数列的等差数列 D非等差数列非等差数列 解析：解析：an 1 an2(n1)5(2n5)2. 数列数列an是公差为是公差为2的等差数列的等差数列 答案：答案：A 2已知数列已知数列an的通项公式是的通项公式是an7n 2，求证：数列 ，求证：数列 lgan是等差数列是等差数列 证明：证明：lg an 1 lg anlg 7n 3 lg 7n 2 (n3)lg 7(n2)lg 7 lg 7是一个常数是一个常数 数列数列lg an是等差数列是等差数列. 思路点拨思路点拨(1)可直接利用通

11、项公式列关于可直接利用通项公式列关于a1与与d的方程的方程 组求解，也可以由公式组求解，也可以由公式aman(mn)d求公差求公差d，再求首项，再求首项 a1； (2)可先求得首项可先求得首项a1和公差和公差d，再利用通项公式求解，也可，再利用通项公式求解，也可 由公式由公式aman(mn)d求公差，再利用此公式求解求公差，再利用此公式求解 (2)若已知等差数列中的任意两项若已知等差数列中的任意两项am，an，求，求 通项公式或其他项时，则运用通项公式或其他项时，则运用aman(mn)d则则 较为简捷较为简捷 3等差数列等差数列1，1，3，89的项数是的项数是 () A92 B47 C46 D

12、45 解析：解析：可知可知a11，a21， 公差公差da2a12. 令令an89，则，则89a1(n1)d， 即即8912(n1)，得，得n46. 答案：答案：C 4在等差数列在等差数列an中，若中，若a1a612，a47， 则则a9_. 答案：答案：17 5(1)求等差数列求等差数列8,5,2，的第的第20项；项； (2)401是不是等差数列是不是等差数列5，9，13，的项？的项？ 如果是，是第几项？如果是，是第几项？ 解：解：(1)由由a18，d583，n20， 得得a208(201)(3)49. (2)由由a15，d9(5)4， 得这个数列的通项公式为得这个数列的通项公式为 an54(n

13、1)4n1， 由题意知，由题意知，4014n1. 得得n100，即，即401是这个数列的第是这个数列的第100项项. 例例3(12分分)甲、乙两人连续甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规年对某县农村养鸡业规 模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示甲调查表模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示甲调查表 明：从第明：从第1年每个养鸡场出产年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第万只鸡上升到第6年平均每个年平均每个 鸡场出产鸡场出产2万只鸡乙调查表明：由第万只鸡乙调查表明：由第1年养鸡场个数年养鸡场个数30个个 减少到第减少到第6年年10个个 请您根据提供的信息说明，求请您根据提供的信息说明，求 (1)

14、第第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数； (2)到第到第6年这个县的养鸡业比第年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小年是扩大了还是缩小 了？请说明理由；了？请说明理由； (3)哪一年的规模最大？请说明理由哪一年的规模最大？请说明理由 思路点拨思路点拨首先认真阅读题目中给出的条件，寻找首先认真阅读题目中给出的条件，寻找 有用的信息，然后根据给出的数据和图象建立等差数列模有用的信息，然后根据给出的数据和图象建立等差数列模 型，进行求解，得出结论型，进行求解，得出结论 精解详析精解详析由题干图可知，从第由题干图可知，从第1年到第年到第6年平均每个年平均每个 鸡

15、场出产的鸡数成等差数列，记为鸡场出产的鸡数成等差数列，记为an，公差为，公差为d1，且，且a1 1，a62；从第；从第1年到第年到第6年的养鸡场个数也成等差数年的养鸡场个数也成等差数 列，记为列，记为bn，公差为，公差为d2，且，且b130，b610； 从第从第1年到第年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列年全县出产鸡的总只数记为数列cn， 则则cnanbn. (3分分) 答：答：(1)第第2年养鸡场的个数为年养鸡场的个数为26个，全县出产鸡的总只个，全县出产鸡的总只 数是数是31.2万只；万只；(2)到第到第6年这个县的养鸡业比第年这个县的养鸡业比第1年缩小年缩小 了；了；(3)第第2年的规模

16、最大年的规模最大(12分分) 一点通一点通(1)在实际问题中，若涉及到一组与顺在实际问题中，若涉及到一组与顺 序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若 这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差 数列方法解决数列方法解决 (2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要分在利用数列方法解决实际问题时，一定要分 清首项、项数等关键问题清首项、项数等关键问题 6某人练习写毛笔字，第一天写了某人练习写毛笔字，第一天写了4个大字，以后每天个大字，以后每天 比前一天都多写，且多写的字数相同，第三天写了比前一天都多写，

17、且多写的字数相同，第三天写了12 个大字，则此人每天比前一天多写个大字，则此人每天比前一天多写_个大字个大字 答案：答案：4 7某公司经销一种数码产品，第某公司经销一种数码产品，第1年获利年获利200万元，从万元，从 第第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上 一年减少一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产万元，按照这一规律如果公司不开发新产 品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这 一产品将亏损？一产品将亏损？ 1在等差数列的通项公式在等差数列的通项公式ana1(n1)d中，中， 共有四个量已知任意三个量可求得第四个量，其中共有四个量已知任意三个量可求得第四个量，其中 首项和公差称之为基本量涉及等差数列的基本概念首项和公差称之为基本量涉及等差数列的基本