辅导课程五完整版

1、 第 二 章 本章主要介绍空间中的点集。首本章主要介绍空间中的点集。首 先介绍距离的概念，然后由此引出先介绍距离的概念，然后由此引出 邻域的概念，又从邻域出发，引入邻域的概念，又从邻域出发，引入 内点、聚点、开集、闭集等概念。内点、聚点、开集、闭集等概念。 通过本章的学习，我们要掌握开集、通过本章的学习，我们要掌握开集、 闭集的概念及其性质，掌握直线上闭集的概念及其性质，掌握直线上 开集、闭集的构造，同时我们要特开集、闭集的构造，同时我们要特 别注意康托尔集的性质。别注意康托尔集的性质。 第一节第一节 度量空间度量空间 n n维欧几里德空间维欧几里德空间 设设X X是一个非空集合，若对于是一个

2、非空集合，若对于X X中任意两中任意两 个元素个元素x,yx,y，都有唯一确定的实数，都有唯一确定的实数 与与 之对应，而且这一关系满足下列条件之对应，而且这一关系满足下列条件 （1 1） 的充要条件为的充要条件为x=y;x=y; （2 2） 对任意对任意z z都成立。都成立。 则称则称 是是x,yx,y之间的距离，之间的距离， 称为度量空称为度量空 间或距离空间。间或距离空间。X X中的元素称为点，条件（中的元素称为点，条件（2 2） 称为三点不等式。称为三点不等式。 yxd, 0, 0,yxdyxd ,zydzxdyxd yxd, dX, 例例1 1 n n维（实）欧几里德空间维（实）欧几

3、里德空间 。 对于对于 中任意两点中任意两点 定义它们的距离为定义它们的距离为 n R n R , 21n xxxx, 21n yyyy 2 1 22 22 2 11 , nn yxyxyxyxd dR n , 称为称为n n维欧氏空间，其中维欧氏空间，其中d d称为欧几称为欧几 里得距离里得距离 2 1 22 22 2 11 , nn yxyxyxyxd 1、邻域、邻域 定义定义1 1 中所有和定点中所有和定点 之距离小于定之距离小于定 数数 的点的全体，即集合的点的全体，即集合 称为点称为点 之之 邻域，并记为邻域，并记为 。 称为邻称为邻 域的中心，域的中心， 称为邻域的半径。不需特别指

4、出称为邻域的半径。不需特别指出 半经时，也记作半经时，也记作 。 显然，在显然，在 中的中的 就是以就是以 为中心为中心 为半径的开区间，开圆，为半径的开区间，开圆， 开球。开球。 n R 0 P 0 0,| 0 PPdP 0 P , 0 PU 0 P 0 PU 321 ,RRR , 0 PU 0 P 容易证明邻域具有下面的性质：容易证明邻域具有下面的性质： （1 1） ； （2 2）对于）对于 和和 ，存在，存在 （3 3）对于）对于 ，存在，存在 ； （4 4）对于）对于 ，存在，存在 ，使，使 PUP PU1 PU 2 PU 3 PU 1 PU 2 PUQ PUQU QP PUQU和 P

5、UQU 2、一些基本概念、一些基本概念 定义定义2 2 设设 为为 中一点列，如果当中一点列，如果当 时有，时有， 则称点列则称点列 收收 敛于敛于 . . 记为记为 = = 或或 。 用邻域的术语来说，就是：对于用邻域的术语来说，就是：对于 的任的任 一邻域一邻域 ，存在某个自然数，存在某个自然数N N，使当，使当 时，时， 。 n P m R n 0 ,PPd n0 n P 0 P n n P lim 0 P 0 PPnn 0 P 0 PU Nn 0 PUP n 定义定义3 3 两个非空的点集两个非空的点集 A,BA,B的距离定义的距离定义 为为 QPdBAd BQAP , inf , 定

6、义定义 4 4 一个非空点集一个非空点集E E的直径定义为的直径定义为 QPdE EQEP , sup , 定义定义 5 5 设设E E为为 中一点集，如果中一点集，如果 称称E E 为有界点集（空集也作为有界点集）为有界点集（空集也作为有界点集） n R E 显然，显然，E E为有界点集的充要条件是：存在常为有界点集的充要条件是：存在常 数数 , , 使对于所有的使对于所有的 都有都有K, 21 Exxxx n niKxi, 2 , 1| 定义定义 6 6 点集点集 称为开区间称为开区间 ，如将其中不等式一律换成，如将其中不等式一律换成， 或或 ， 则则 称之为一个闭区间或左开右闭区间。当上

7、称之为一个闭区间或左开右闭区间。当上 述各种区间无区别的必要时，统称为区间，述各种区间无区别的必要时，统称为区间， 记作记作I. I. 称为称为I I的第的第i i个边长，个边长， 称为称为I I的的“体积体积”，记为，记为 。 nibxaxxx iiin , 2 , 1,|, 21 , iii bxa ni, 2 , 1 , iii bxa ni, 2 , 1 , ii ab ni, 2 , 1 ii n i ab 1 | I 第二节第二节 聚点聚点 内点内点 界点界点 本节以邻域为基础，给出了内点、聚本节以邻域为基础，给出了内点、聚 点等概念，然后定义了集合的开核、导点等概念，然后定义了集

8、合的开核、导 集、边界和闭包。通过本节的学习，我集、边界和闭包。通过本节的学习，我 们要掌握内点、聚点的概念，掌握聚点们要掌握内点、聚点的概念，掌握聚点 的等价性结论，会计算集合的开核、导的等价性结论，会计算集合的开核、导 集、边界和闭包，要了解有界无穷点集集、边界和闭包，要了解有界无穷点集 至少有一个聚点至少有一个聚点 定义定义1 1 如果存在如果存在 的某一邻域的某一邻域 使使 则则 称为称为E E的内点；的内点； 如果如果 是是CE CE 的内点（这里余集是对全的内点（这里余集是对全 空间空间 来作的），则称来作的），则称 为为E E的外点；的外点； 如果如果 既不是既不是E E 的内点

9、又不是的内点又不是E E的外点，的外点， 则称则称 为为E E的界点或边界点。的界点或边界点。 0 P 0 PU EPU 0 0 P 0 P n R 0 P 0 P 0 P 设设E E为为n n 维空间维空间 中一点集，中一点集， 是是 中的一中的一 定点，下面研究定点，下面研究 与与E E的关系。的关系。 n R 0 P n R 0 P 定义定义2 2 设设E E为为n n维空间维空间 中一点集，是中一点集，是 中的一定点，如果中的一定点，如果 的任一邻域的任一邻域 内都内都 含有无穷多个属于含有无穷多个属于 E E的点，则称的点，则称 为为E E的的 一个聚点。一个聚点。 n R0 P n

10、 R 0 P 0 PU 0 P 注意：注意：1 1 内点一定是聚点，但聚点不内点一定是聚点，但聚点不 一定是内点。一定是内点。 2 E2 E的内点一定是属于的内点一定是属于E E，但，但E E的聚点可的聚点可 以属于以属于E,E,也可以不属于也可以不属于E E。 例例 E=(0,1 0 P=0 =0 和和 =1=1均是均是E E的聚点的聚点 0 P 定理定理1 1 下面三个陈述是等价的；下面三个陈述是等价的； （1 1） 是是E E的聚点；的聚点； （2 2） 的任何邻域内至少含有一个属于的任何邻域内至少含有一个属于E E而异于而异于 的点；的点； （3 3）存在）存在E E中互异的点列中互异

11、的点列 ，使其收敛于，使其收敛于 。 证明证明 由（由（1 1）推（）推（2 2）及（）及（3 3）推（）推（1 1）是显然，）是显然， 现在证明由（现在证明由（2 2）推（）推（3 3）。）。 由假定在由假定在 中至少有一点中至少有一点 属于属于E E而异于而异于 ，令，令 则在则在 中至少有一点中至少有一点 属于属于E E而而 异于异于 ，令，令 ，则在，则在 中至少有一中至少有一 点点 属于属于E E而异于而异于 ，这样无限继续下去，便得到，这样无限继续下去，便得到 点列点列 ，它显然满足要求。，它显然满足要求。 0 P 0 P 0 P n P 0 P 1 , 0 PU 1 P 0 P 2 1 011 ,minPPd 10, PU 2 P 0 P 3 1 022 ,minPPd 20, PU 3 P 0 P n P 定义定义 3 3 设设E E为为n n 维空间中维空间中 一点集，一点集， 是是中中 的一定点，如果的一定点，如果 属于属于E E但不是但不是