量子力学作业参考答案刘觉平

1、习题一1.计算卞列情况的Einstein-de Broglie波长，指出哪种过程要用量子力学处理:（1）能量为0. 025eV的慢中子（/几=1.67x 10_24g）被铀吸收：（2）能量为5MeV的a粒子穿过原子（/na = 6.64x 10-24g）；（3）飞行速度为100111/s质量40g为的子弹的运动。解：（1）由 mjc4 + p-c1 = E2注意到：mnc2 = 1.503xlO8/ = 9.38xlO5A/ev 0. 025ev利用 Einstein-de Broglie 关系得：2 = 0.181/?/?而吸收过程中作用距离（即核半径）约为飞米量级，比0.181/“小，因此

2、要用量子力学处理。（2）由mjc4 + pc2 = E2注意到：mac2 = 5.976xlO_8J = 3.73xl05Mev A = 6.4fin得 = J1V利用 Einstein-de Broglie 关系hp = 得：2 = 6.4fin这比原子半径小的多，因此不需用量子力学处理。（3）显然子弹不是相对论的，故可利用p = nn，。代入 Einstcinde Broglie 关系得：2 = 1.65x10-34/h,这比子弹的运动尺度小的多，不需用量子力学处理。2. 两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对.如果两光子的能量相等，问要实现这种 转化，光子的波长最大是多少？解：若会发

3、生这种转化，由能量守恒的限制，两个光子的能量必须要人于正负电子对的静能即 Eq = 2mec2 =l.Q22Mev。光子能量 =屁，得到人皿=2.42fin o3. 考虑如下实验：一束电子射向刻有A、B两缝的平板，板外是一装有检测器阵列的屏幕。 利用检测器能定出电子撞击屏幕的位置。在下列各情形下，画岀入射电子强度随屏幕位置变化的草图，给出简单的解释。（1）A缝开启，B缝关闭；（2）B缝开启，A缝关闭；（3）两缝均开启。（4）将Stern-Gerlach装置连在缝上，使得只有Sx = -h电子能通过A,同时只有2S严丄方电子能通过B。2（5）只有S严丄力能通过A,同时只有Sx = -h电子能通过

4、Bo如果使束流强度低到 2 2在任一时刻只有一个电子能通过该装置，结果有什么变化？解：（1）0点为正对狭缝B的中心位置，高度代表强度。由于电子具有一定的波长，会发生单缝衍射, 出现类似光衍射的强度分布。0点为正对狭缝B的中心位置，高度代表强度。由于电子具有一定的波长，会发生干涉，出 现类似光干涉的强度分布。(4)0点为AB狭缝中点正对位置。高度代表强度。从AB经过的电子的状态不相同，而(+|-) = 0 即发生干涉概率为0.图像为(1), (2)的简单叠加。(5)0点为AB狭缝中点正对位置，高度代表强度。一个电子所具有的波动性决定了强度的分布, 这与多个电子的累加无关。4. 设。为对应力学量血

5、的算符，其本征值为一系列离散值：a，现对量子态(x)的大 量复制品进行关于血的重复测量，所得69的实测值：(1)必为离散的；(2)不一定离散 的。而每单次测量中，所得血的实测值：(3)必是鏡的本征值；(4)可以为本征值以外的 某个值。指出以上各种答案的对和错。解：(1)对(2)错(3)对(4)错。每一个本征态对应一个物理量，测量前系统以一定的 概率分布处于不同的本征态，但一旦去测量时系统状态就确定了卞来，是某个本征态，每一 个本征值对应一个物理量，这个物理量就是物理量算符的本征值,其本征值为一系列离散值, 必然有所得血的实测值为离散的，也不可能是本征值以外的某个值。5. 试证：对于任意算符AB

6、,C,D有AB, CD = -ACD, B + C, ADB + AC, BD - CD, AB式中，A,B三AB BA, A.B = AB+BA.解：等式左边为：AB, CD = AB (CD)-CD (AB) = AB (CD) -CD (AB)等式右边为：-ACD, B+C, ADB + AC, BD - CD, AB = -AC(DB + BD) + A(CB+BC)D-A(CB + BC)D + C(DA+AD)B二一 ACDB - ACBD + ACBD+ABCD+ACBD+ABCD - CDAB - CADB=ABCD-CDAB 二左边因此等式成立。习题二6.将2x2矩阵X写成X

7、 =aQ +d-d式中，厅是Pauli矩阵,d = (civa2,az),而d。,卫“冬ciQ +a3 q _ ia2 a】+ ia2 ci - a3都是数。试用矩阵X表示出a0,aL,a2,a5 3解：X = ciQI + 工 qq = f=l1211 22),al=Re(X = Im(X21h4(XH-X227.试证明：a.矩阵刁&的行列式在下述变换下(t-h F少三exp i0 a d1 exp -i 20下不变。假设方向矢量方沿Z轴正向b试用q表示出d：。解：0厅=exp i-/d- crexp -i解：（1） YA-aa =口（人-4也）（i/-I in=工口（勺-卩也幻同i-l r

8、=og（2）由口匕L|）二口坐1纠代）可知当丿hI i“勺一呵勺_ e当丿=八 妝二纠畋）=0由此可知此算符是选出矢量|幻）部分G a 厂 ai11.算符4 （相应于物理量a ）在岡和|0）中的测量值分别为和冬，算符B（相应于物 理量0）在优和比中的测量值分别为和勿，而=（2优+ 3|幻）/姮，=（3|灯-2比）/価我们首先测量&,测得值为;接着测量0,而后再测&。求测得值为的概率。解：测量a时，系统处于|騎态中，接着测量0时，得到人的概率为|孟惋=善 得到2的概率为= 而后再测-得到兔概率为仏严卩（讪甩严仏也甩） 而抵产隔劇諾腺产隔比卜善：得）=1T3 + 1Hb = S2-1.在Hamil

9、ton量H = - + V（x）分立谱的束缚定态|小满足2/77Hn） = Elln）, n = l,2,试证|中动量的平均值恒为零。证明:由于卜，仆X佥+ % dih=Pm而H为Hernutiaii算符，得|f,= (ji|(xH - Hx)n) = 0 即 (“ p = 02-2在Hermitian算符4的分立谱的本征态卞，证明c = A,B的平均值为零。解：对于AaA = (aa,Acc) = aa)得何A,珂 a) = (a | AB-BAci) = (aaB-Baci) = 02- 3.从基本量子化条件出发，求坐标算符的本征值谱(讨论一维情况)。换言之，要求利用 基本对易关系x,x

10、= O, x,p = ifj, p,p = O证明：如果兀是坐标算符的本征值，则兀+ 也是坐标算符的本征值，其中歹W(-8,乜)， 且连续可变。证明：由i, p = ih 得i,l-i/ = 1 即是常量算符h h )注意到fl-pb.r为平移无穷小算符，得x,fl-pb.r|xo) = 5A-|Ao) = O* ZZ即 x|x0 + &)一(血 + Jx)|x0 + 3x) = 0 得科兀。+ 3x) = (x0 + Jx)|x0 +故坐标算符本征值谱是连续的，X。是坐标算符的本征值，则兀+也是坐标算符的本征值。24 设F(x,p)是忑，几的整函数，证明/7OF = -,x,F = /A/o

11、整函数是指1 dxk如可以展开成F(x, P) = Y j f 於门” 的函数。wji-0 lij-l.证明：对V/H,/? e Np9xmpn|a) = j Jx|x)(x| pxp -x,nppa)= idxx(xxP 簡 M|)卜烘”隠)”G-M小”僞店外f j m A /” i ( h。m) n I 訂外洽兀片|p耐检戶同故几，鬥=家 以,圖疋旳=纟乞。在动量表象中,(pxa) = -pa)可得:x,xmp,la) = xma)同理得：xk,F=刀|壬忑V鬲_m.K-0习题四本征值和本征态。若对自旋态测量结果为彳的概率是多少? 解：阳-T | = O22-1 = O=2 = 1 Fh/

12、 XI 10-u 0丿y)由detr返2A2 )求得f V22皿-为)2邑2丿2%2Q(a +，0)2返If返即本征值为1,本征态为2令a = a2+ b2土邑1 2丿10丿1 2丿%1 2故出略概率为/2 ( + /?)1 + ia p-ia 32 J为角动量算符，J xj = itij f即丿“丿订=爲力厶，队丫 = 、23 若加和为任意方向的矢量(注意：它们不是算符)，证明：(1) JJii = ihnxJ : (2) J mJ n = hJ (/wxn) (3)=0解：(1) J.J n = ihnxJ/J “ = 屮丿jJ =7订丿勺尼=ilmxj(2) j mJ n = lij -

13、 (/w x n)证明：J mJ n=丿冋,丿“=加已厶=ihmtn)ijkJk =讯叫】抵观山 =ihmlnjsijkekelJl =ihJ (w x/f)证明:丿丿订=4W“ =4厶丿”+ 厶丿4 =订山+陌加丿=叫* +%）厶人 （ink + hu = ink % = ）=03- 3.在自旋角动量4分量的表彖中，求自旋角动量戶分量和&分量的不确定度。解：x得 2 = lt本征态为V2(返2返2 )2_/22 在本征态空2返2丿ti 0T 2i11-i0=0、侄2至2同理在本征态2主f/2/2 V/fO2丿2匕f 72 1八2.722 o=0tr4因此工=何帀了弓同理竺=何荷=34定义向自

14、旋态閃的投影算子为n, = |A）（2|,证明：向本征值为a=l,-l的本征态血和|0“的投影算子分别为口(6 =l) = |an)(an| = i(l + M7) 口(冇一1)=必偲冷(I)7 x iv、解：令 fi = (x, y,z) f贝J 亓 o = xyx + yax + za. = 则由乜+卩 7丿1）本征值为1，本征态为卩Id匸1f 1 + Z x-iyx/2_2zI x+iv1-J 22二 忑-2Z42-2z)x + iy 1-z 22r1+Zx-D八/2 + 2zx + iy_ 1 + zexpII ft )k h )一 h丿.（力丿- j以L h召,戸=呜,，exp Ij

15、 x-,expflx 1 il斗(-沁”：(+)g0 fori j=2 30 1ly一-幺-讽済丿由此可得:n-000= y-厶;i-0 jTPjhfor i = jm)ba;, expexp-仇/八h丿.（曲-exp=h exp（!）h（2）解：令变为厂（/（丫(J)X2T (T )|x) = x exp()F exp(- = (/ + /|(/ + /)2|/ + /) = / + /|(/ + /)2|/ + /) 由此可知(T+(0x2T(0)= x+/)J2-8.写出卞列波函数在动量表彖中的表示（1） 一维谐振子的基态： x.t =仝_ i fI _二丄 r(2)氢原子的基态：0 r

16、j =e % J叔解：（1）(ff(p,t) = jdxpx)xa)z a2x2 icot、 exp()2 2= Uxp(号)Jp(竽一字)=E2 2松）”5）糸曲扼一知exp(- 卩亍时（-号-爲）于是有：0() =（2）讣0哉严咅ipr coser|二 f=fff r2 snOdrdOd(b ., e 召 (檢 厂、-exp(- - 4tt)卞22(x力2兀haJJJ何(2甘“+丄 ipa。r,u = cosO 得原式=JI F exp(-x)In网（打严已皿=pe A(00h-13J1考虎Hilbert空间的一 Euhi转动(3(/0) = exp (有(i6yI 2它等价于绕某一转轴转

17、&角的转动。试求转轴的方向和转角6L 解：由题：-i(y.aJ2 )0厂cosi(yv sin 2 y 2Q . a I 2 2 丿0 a+y .卩.v-a=cos coslb、smsm2 2*22 =0(亓0)=COS -/(?/? Sill 2 2即expf 、卩expP-icr:y 2yycos ib. sm 2 2_ . 0 y-a -iJx sincos 20Y + ai6 cossm 2 2(/ exp( i 0)cos 2exp( i 2%彳(ee cos ul sm 2 2(-mx-ny)sin-a_Y exp(/1 2)S11】02exp(rZ)coszZ )(-/77r +

18、 /v)sin-0 . . 0COS + 7 Sill 22丿比较两边元素，町得:门Ba + y.八cos & = coscos, sin& =2 2smcosd2 2cos sinz； + a2 21 - COSl-coscos COS2 a + y23-15.在轨道角动量算符Z?和厶的共同本征态|/加中，求心。解：由定义可得：/ =上、，/ = _厶上、因为(/,mI1,m = (/,mL+ L+l,m =/,加|c;|/,w + 2) = 0,仏,厶,) = i仏,厶)为纯虚数 由此可得() =.)(巧=(功+(功+徑)7(/+1)加得础=(4) =h-构建=Ul_ = l* ,于是有：

19、LJia=(以一心)&+心)=厶：+坨+4厶:上、 也厶=(厶;+心)( -) 乂+厶:-乜厶对其求平均有：a丄:口=/,加 | 厶厶乂 卩,耐=(V)+(厶)+i (42, G)=人汁 11 cz，c. |/,加+1)=(/ - /?/)(/ + m + l)/z2 Qjn + lLx2l,m +1=(/(/ +1) (? +1) )(/-?)(/ + in +1)/(厶+厶z)#,卩+FS，沪占+XHF，G)=/mi|c_zu/m7= (/ + m)(l - m + l)/r/,”? - 1|L/ 卩，加一 1) =#(/(/ +1) (加一 1)，)(/ + 7)(/ -m +1)胪从而

20、，解之可得：厶) = (/(/+ 1)_伽_ I)(/ + ?)(/一加+1)胪 + (/(/+ 1)_伽+1)(/-?)(/ +?+1)胪 _/(/+1)_C习题六4-2.给定Hamiltoman算符H (x, p),其本征值和本征函数为E”、皆试证明在能量表彖 中，算符矩阵元满足dA水)kn= icOknAh,其中 %=(Ek-E)h。解；由竽=甞_认ash得,ah刘jah得佝牛迟=佝牛咼+佝佝牛迟庇_般人不含/得(竽L沁九若令A=t.明显知等式不成立。4- 3.分别求出一维谐振子位置算符X、动量算符“，以及升降算符a、R在能量表象中的 表达式。解：利用(Ek aE)t= y/nSkn 得

21、 心丽隊)E|n同理 R =E|e”Je”|ft由蔬()得* =馬衣(后MGQ问昭殆)同理P =屮学 5(丁 + 1 隊】& I-丽隊 iE“l)4-4.定义关联函数为C(t) = x(t)x(O),试求出在一维谐振子基态下C的表达式。解：由上题知仲训=具。刚)再由 x(r) = .r(0)cos6V+ siny 得mcoC(/) =X(小 (0) = (x2) cos cd + Qp) Smh2mco.h sin cotcoscot +12 mco8,V(A-)= 0,8,x00x ai) V=0兀人沁(厝7| + Bcos(罟(1)能级和相应的波函数(2)当粒子处于本征态姓(x),证明厲=号。 解:(1)由薛定愕方程知2mdxii) V = oo0 = 0由波函数在边界连续得=4sinnjt口仃厂xj 即 En =归一化得 A= /- Fh ih(/= E(f(f = expa dtr丄分、i ir