猎犬追狐狸试题中追击时间问题的严格求解

1、猎犬追狐狸试题中追击时间问题的严格求解 1试题 这是一道有趣的高中物理运动学奥赛题：如图1 所示， 有一只狐狸以不变速度v1沿着直线ab逃跑， 一猎犬以不变的速率v2追击， 其运动方向始终对准狐狸.某时刻狐狸在f处，猎犬在d处， fbl ，设v2 v1问猎犬追上狐狸还需多长时间？ 2高中一般解法 把这个追击过程按时间等分成很多个小段，每小段的时间间隔为t，设某时刻，猎犬运动到了e点，狐狸运动到了h点，此时猎犬的速度方向应该沿eh的连线方向，设这个方向与df方向的夹角为i，那么猎犬在追上狐狸的过程中，猎犬和狐狸在ab方向上的位移关系为 iv2siniv1t（1） 即v2isinit=v1t（2）

2、 isinit=v1v2t（3） 在二者连线的方向上，由于猎犬速度始终朝向狐狸，所以相对运动的位移关系为 i（v2-v1sini）t=l（4） 即v2t-v1isinit=l（5） 将（3）式带入（5）式可得t=v2lv22-v21（6） 这里用到了积分的思想，两个式子中都含有一个共同项isinit，因而可以当作一个整体处理. 3严格解法 在这里，我们用微分方程方法，严格求解这一问题，并得到猎狗运动的轨迹方程. 如图3所示建立坐标系，以猎狗的初始位置为坐标原点，以初始时刻猎狗与狐狸连线方向为x轴.狐狸的初始坐标为（l，0），之后沿垂直于x轴向上的方向运动.设之后猎狗运动的轨迹方程为y=f（x）

3、，图中如虚线所示.在t时刻二者分别运动到了e点和h点，则eh方向为此时刻猎狗的速度方向，设其与x轴的夹角为，e点到fh的垂足为g， 有tan=dydx（7） 同时，在egh中有 （l-x）tan=v1t-y（8） （7）式代入（8）式得（l-x）dydx=v1t-y（9） 两边对x求导得 -dydx+（l-x）d2ydx2=v1dtdx-dydx（10） v1dt=（l-x）d2ydx2dx（11） 对于猎狗 v2dt=ds=dx2+dy2=1+（dydx）2dx（12） （11）/（12）可得猎狗运动轨迹的微分方程 v1v2=（l-x）d2ydx21+（dydx）2（13） 下面对该方程求解

4、，令=v1v2，z=dydx，则（13）式可化为 dz1+z2=dxl-x（14） 两边积分得ln（z+1+z2）=lnll-x+c1（15） 由初始条件知，当x=0时，z=0，代入上式得c1=0，故上式可化为 z=12（l-xl）-（l-xl）（16） 再次积分可得 y=121-1（l-xl）-+1-1+1（l-xl）+1+c2（17） 由初始条件知，当x=0时，y=0，代入上式可得 c2=l1-2（18） 即猎狗的运动轨迹方程为 y=121-1（l-xl）-+1-1+1（l-xl）+1+l1-2（19） 猎狗追上狐狸的条件为x=l，代入（19）式，可得，此时 y=l1-2=v1v2lv22

5、-v21（20） 追赶时间即t=yv1=v2lv22-v21（21） 这和用高中的一般解法所得的结果一致. 4扩展讨论 （1）如果猎狗的速度大小和狐狸一样 此时，v1=v2，=1，（16）式将变为 z=12（ll-x-l-xl）（22） 积分可得猎狗的轨迹方程为 y=14l（l-x）2-l2lnl-xl-l4（23） 方程在x=l处发散，即猎狗永远追不上狐狸. （2）如果猎狗的速度大小小于狐狸 此时，v1v2，1，猎狗的运动轨迹方程还是（19）式，但在x=l处y值发散，显然这种情况下猎狗更追不上狐狸. 5数值模拟比较 为了验证严格解法所得解析式的正确性，我们用matlab软件对这一问题进行了数值方法模拟，并和（19）式结果进行了