构造对偶式 妙证不等式

1、构造对偶式 妙证不等式 构造对偶式，是指在解题过程中抓住代数式的结构特征，构造一个与其结构相似或相近并具有某种对称关系的代数式，而后通过对这组对偶关系式进行加、减、乘、除等运算，促使问题的转化与解决.构造相应的对偶式，使其结构更加均衡，体现了数学的对称美和构造美.下面我们通过实例来介绍构造对偶式的几种常用方法，以及如何对所构造的对偶关系式进行合适的处理. 1 构造“错位”对偶关系式 例1 设x，y，zr+，求证：z2-x2x+y+x2-y2y+z+y2-z2z+x0.（w.janoux猜想） 分析 本题的证法很多，有分母置换法、排序不等式法、函数思想法、对偶法等等，其中对偶法最为精彩. 证明

2、设m=z2-x2x+y+x2-y2y+z+y2-z2z+x， n=x2-y2z+x+y2-z2x+y+z2-x2y+z， 则m+n=0. 而m-n=（z2-x2x+y-z2-x2y+z）+（x2-y2y+z-x2-y2z+x）+（y2-z2z+x-y2-z2x+y） =（z+x）（z-x）2（x+y）（y+z）+（x+y）（x-y）2（y+z）（z+x）+（y+z）（y-z）2（z+x）（x+y）0.所以m0，故原不等式成立. 例2 若，为锐角，且cos2+cos2+cos2=1， 求证：cot2+cot2+cot232. 证明 设m=cot2+cot2+cot2=cos2sin2+cos2s

3、in2+cos2sin2， n=cos2sin2+cos2sin2+cos2sin2， p=cos2sin2+cos2sin2+cos2sin2. 则n+p=3，m+n=sin2sin2+sin2sin2+sin2sin23，m+p3. 所以2m+（n+p）6m32. 故原不等式成立. 2 构造“倒序”对偶关系式 例3 已知a、br+，且1a+1b=1， 试证：对每一个nn+，（a+b）n-an-bn22n-2n+1.（1988年全国高中数学联赛试题） 证明 设m=（a+b）n-an-bn=c1nan-1b+c2nan-2b2+cn-1nabn-1， n=cn-1nabn-1+cn-2na2b

4、n-2+c1nan-1b. 显然m=n，两式相加得， 2m=c1n（an-1b+abn-1）+c2n（an-2b2+a2bn-2）+cn-1n（abn-1+an-1b） 2anbn（c1n+c2n+cn-1n）2（ab）n2（2n-2）. 由条件得ab4，所以m4n2（2n-2）=22n-2n+1.故原不等式成立. 3 构造“加减”对偶关系式 例4 已知函数f（x）=x+x2-3x+2，证明：2f（x）或1f（x）0，求证：x+1x-x+1x+12-3. 证明 设m=x+1x-x+1x+1， 构造m的辅助对偶式：n=x+1x+x+1x+1， 则有mn=1且n2+3，从而1=mn（2+3）m，

5、因为m0可得m2-3.即原不等式成立. 4 构造“互余”对偶关系式 例6 若0，0，+，且01，则有 cos2+cos2-2coscoscossin2.（杨乐不等式） 证明 设m=cos2+cos2-2coscoscos， n=sin2+sin2-2sinsincos. 则m+n=2-2coscos（-）. （1） m-n=cos2+cos2-2coscos（+） =2cos（+）cos（-）-cos. 因为0，0，+，且01， 所以（-）（+）. 因为y=cosx在0，上是减函数， 所以cos（+）cos，cos（-）-cos0， 所以m-n2coscos（-）-2cos2. （2） （1）

6、+（2）得：2m2-2cos2，所以msin2. 故原不等式成立. 5 利用“m2n与mn2互配”构造对偶关系式 例7 设a，b，c是某个三角形的三边长， 求证：a2（b+c-a）+b2（c+a-b）+c2（a+b-c）3abc.（第6届imo试题） 证明 设m=a2（b+c-a）+b2（c+a-b）+c2（a+b-c）， n=a（b+c-a）2+b（c+a-b）2+c（a+b-c）2. 则m+n=6abc， m-n=a（b+c-a）（2a-b-c）+b（c+a-b）（2b-c-a）+c（a+b-c）（2c-a-b） =2（b+c-a）（c+a-b）（a+b-c）（b+c-a）（c+a-b）（

7、a+b-c）-2abc 2（b+c-a）+（c+a-b）2 （a+b-c）+（b+c-a）2（c+a-b）+（a+b-c）2-2abc =2abc-2abc=0. 所以2m6abc，m3abc.故原不等式成立. 例8 设xyz0，求证：x2yz+y2zx+z2xyx2+y2+z2. 证明 设m=x2yz+y2zx+z2xy，n=y2xz+z2yx+x2zy. 由柯西不等式得：mn（x2+y2+z2）2. 又m-n=1xyz（x3y2+y3z2+z3x2）-（x3z2+y3x2+z3y2）=1xyz（x-y）（y-z）（x-z）（xy+yz+zx）0. 故mn，m2mn（x2+y2+z2）2.

8、所以mx2+y2+z2.故原不等式成立. 6 构造“互倒”对偶关系式 例9 设a、b、cr+，且abc=1. 试证明：1a3（b+c）+1b3（a+c）+1c3（a+b）32.（第36届imo试题） 分析 这是一道经典题.解法很多，可以运用柯西不等式、均值不等式、增量代换或排序不等式等等，构造对偶关系式也不失为一个好的方法. 证明 设m=1a3（b+c）+1b3（a+c）+1c3（a+b），n=a（b+c）4+b（a+c）4+c（a+b）4. 则m+n=1a3（b+c）+a（b+c）4+1b3（a+c）+b（a+c）4+1c3（a+b）+c（a+b）4 1a+1b+1c. 又因为abc=1，所

9、以n=14（1b+1c）+14（1c+1a）+14（1a+1b），所以m1a+1b+1c-n=12（1a+1b+1c）1233abc=32. 故原不等式成立. 例10 设a1，a2，an为两两互不相同的正整数，求证：对于任何正整数n，有nk=1akk2nk=11k. 分析 这也是一道经典题.解法也很多，可以运用排序不等式、柯西不等式、均值不等式、abel恒等式或比较法等等，这里我们利用构造“互倒”对偶关系式来解决. 证明 设m=nk=1akk2，n=nk=11ak. 因为m+n=nk=1（akk2+1ak）2nk=11k. 又a1，a2，an为两两互不相同的正整数，所以nnk=11k， 因此，

10、mnk=11k.故原不等式成立. 7 构造“和差”对偶关系式 例11 设a，b，cr+，求证：a2b+c+b2c+a+c2a+ba+b+c2. 证明 设s=a+b+c，m=a2s-a+b2s-b+c2s-c，n=s2s-a+s2s-b+s2s-c，则n-m=4s. 因为a2s-a+s2s-a=89s2+19s2+a2s-a89s2+23sas-a=149s2s-a-23s， 所以m+n149n-2s. 从而得（4s+m）+m149（4s+m）-2sms2. 故原不等式成立. 例12 设x1，x2，xnr+（n2），且x1+x2+xn=1. 求证：x211-x1+x221-x2+x2n1-xn1

11、n-1. 证明 设m=ni=1x2i1-xi，n=ni=111-xi.则n-m=n+1. 由于11-xi+x2i1-xi=n2-1n2+（1n2+x2i）1-xin2-1n2+2xin1-xi=n2+2n-1n211-xi-2n （i=1，2，n）. 所以m+nn2+2n-1n2n-2， 因而得（n+1+m）+mn2+2n-1n2（n+1+m）-2m1n-1. 故原不等式成立. 8 构造“填充”对偶关系式 例13 求证：12342n-12n0）. 所以1233n+1（nn+）. 证明 令m=21543n-13n-2，n=32653n3n-1，p=43763n+13n. 由于213243，546576，3n-13n-23n