0102解答12高等代数1期末试卷

1、2012学年第一学期高等代数i (a卷)一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1、设a,b为n阶方阵，下列运算正确的是(d)1212 12(a) (ab) =a b(b)-a = - a(c) a2 b2 =(a bx a+b)(d)若 a 可逆，则(12a，a分析：(ab:=ab ab h| ab, a12b12 = aa|aba|b ,矩阵乘法不满足交换律，故两者不一定相等；同理， a-b a b =a2 ab-ba-b2;a2-b2-a =(”；2、设a是5父6矩阵，其秩为5,则齐次线性方程组ax=0 ( c )(a)基础解系恰有5个解向量(b)基础解系恰有6个解向量(c)基

2、础解系恰有1个解向量(d)只有零解分析：基础解系所含向量个数：n(未知数个数)-r (a的秩)0=6-5=13、若矩阵an：5m的秩为r ,则下列结论正确的是(d )(a) a的任何级数不超过r的子式都不等于零(b) a的任何级数不超过r的子式都等于零(c) a的任何级数大于r的子式都不等于零(d) a的任何级数大于r的子式都等于零分析：细读课本134页定理6.4、设巴尸2,川产是n维列向量，则巴产2,1114r线性无关的充要条件是 (d )(a)向量组巴尸2|尸中任意两个向量线性无关(b)存在一组不全为0的数6,川，0 ,使得。二1 +c2a2+11卜9r = 0(c)向量组巴尸2,111尸

3、中存在一个向量不能由其余向量线性表示(d)向量组、产2,iii产r中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 5、设a,b都是n阶正定矩阵，则下列结论正确的是(c )(a) a b是正定矩阵 (b) ab是正定矩阵(c) ab是可逆矩阵(d)ab是实对称矩阵分析：a, b 正定二|aa0, b a0= ab| =|a b=0n ab可逆二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1、设 f(x) 和 g(x)是两个多项式，若(f (x ) g(x ) = 1 ,则(f (x )g x fx()=1证明 由于(f (x), g(x) =1 ,所以存在多项式u(x), v(x)使得u(x) f

4、(x) v(x)g(x) =1于是 u( x) f ( x) v( x) g( x)-v (x ) f (x ) v (x)f xu (x )- v (x ) f (x ) v (x ) f + x ) g=x故(f (x ) , f x ) g (x ).)2、六阶行列式中，a56a12a34a23a41a65这一项该带上 号;分析：该项符号为(1)看5,1,3,2 , 4,6)+f 6,2,4,3 ,1,5)= ( 1)14 =13、设a为三阶方阵，a*为a的伴随矩阵，且有a =2,则3 a,-1a； 分析：a-1 = a-t= aa 24 1(3a) 4 -a*qai 3*a 1 a*-

5、a*6 2-3a*(-3)3 a4274、设巴=(1a2,)口2 t00,丸14(k )的一个极大线性无关组是1严3,1 20 0 =0= 84 k1分析：依题意巴产2尸3线性相关，从而115、若二次型 f (x1，x2,x3 ) = 2x12+x；+x；+2 x1x2+tx2x3是正定的，则t满足条件：r/2tt2。三、判断题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)(请在你认为对的小题对应的括号内打v,否则打女”)1. a,b均为n阶复对称矩阵，则a,b合同的充要条件是 秩9)=秩代)；( v )2、含有n个未知数的非齐次线性方程组有解的充分必要条件是它的系数矩阵的秩等于n;(父)分析：ax

6、=b有解:= r(a)=r(a)-3、a,b均为矩阵，若ab =0 ,则a =0或者b =0;(父 )分析：矩阵乘法不满足交换律，消去律，即ab=ba不一定成立； ab=0不一定得到 a=0或b=0; ab=ac不一定有b=c4、如果向量组小42,1”,%线性相关，则每个a i都可以表示为其余向量的线 性组合;(x )分析：向量组%尸2,iii,%线性相关，则至少有一个都可以表示为其余向量的线 性组合；5、若多项式f(x)和g(x)的最大公因式唯一，则f(x) = g(x) = 0。(v )四、简答题(本大题共4小题，每小题8分，共32分),1 0 0、1、设a*=0 2 1 ，又a c0,求

7、矩阵a以及它的逆矩阵a，。0 11；（2分）解：因为aa* =|ae ,所以有a=|a(a*)而= a3;且 a 0,二 |a =-1,（4 分）1 00、又（a*广= 01-1,（6 分）9 t 2c100 一一.* d所以 a=-（a） =0-11,1注意：（a*）的求法（1）利用0为分块对角矩阵(2)（a e昨初等行变换(3)* *(a)a*,此法繁琐，不推荐设a为n阶矩阵，涉及11的题目充分利用以下公式：a=a an-12、求n阶行列式hiih12-n2-n1的值。12-n解：行列式特点：每一2-n1iiiiiiiiihi12-n行的和相等为2-n11”列的和相等为ih“ 1”12-n

8、ri(i 2,3,111 ,n)iiiiii2-n1ihihif ,i =2,3川，nn(n 4.)=-1 21-nn -1ihih(4分)1 -n0ihih(8分)3、讨论人取何值时，线性方程组(1 )为 x2 % =0x1 (1)x2 x3 二，为 x2 (1)x3 = -（1）有唯一解；（2）无解;（3）有无穷多个解，并求出此方程组的通解。解：方程组的系数行列式为(3 )(1分)(2)(4分)(1) 当九。3且九#0时，r(a)= r(a)=3 = n，方程组有唯一解；(2分)-2110、11-2 -9、1-21-35 71-21-3211327j 1-2 -9,2110 ,=3 时,a

9、 =112-9、11-2-90 4 363能 0-3 360 3-3 -18 ,z、0 00-12阶梯型r(a) =3 #r(a) =2 ,此时,方程组无解;(3)九=0时,r2 -r1r(a) =r(a)0；(00； n = 3 ,此时方程组有 无穷多解，(6分)由最简型的一般解为j-x1 = w -x3x x2 =x2( x2,x3为自由未知量)，所以所求通解为(8分)4、设有二次型 f (x1, x2, x3 )= x2 + 2x2 + x2 + 2x1x2 + 2x1x3 + 4x2x3(1)写出二次型f的矩阵a;(2)把二次型f(x1,x2,x3)经过非退化线性替换化为标准形，并写出

10、所用的非退化线性替换。q 1 1解：(1)二次型的矩阵为a= 1 2 2d 2 b(2分)分6(11j o o-1o 4 1 0 1010 1 o o 1 o o 3j i - -17 0 1 4 = 0 1 0 1010 100100二, j 0 1001 0 11 4 101 o o 1 o o9 &0 q11ooo1 1 1 1 o 1 o1 o o 1 o o今4凡12 10 0 1 1 2 2 0 1 0 1 1 1 1 o o-a e1 -10、令c = 0 1 -1 ,则非退化线性变换 x = cy（7分）01222把二次型化为标傕形 f（x1,x2,% ）= y1+y2 y3。

11、（8分）说明：a作行变换而e不变，接着“a和e”同时作和行变换相同的列变换, 当a化为对角元为“1, -1”的对角阵时，e化为“c”五、证明题（本大题共4小题，每小题7分，共28分）fa 0、1、证明：如果a,b均是正定矩阵，则也是正定矩阵。0 b）证：因为a和b都是正定矩阵，所以 a和b都是实对称矩阵，又:a0 ；i,at0 *:a0_=t = !_(0b jl10bt j已b(2分)（3分）（4分）（6分）（7分）因此1a 0 证实对称矩阵。0 bc1c2使得由a和b都是正定矩阵知 a和b者b和e合同，即存在可逆阵ctac1 =e,ctbc2 =e ； c0 *.构造分块阵c =ic1，则

12、c可逆，且00 c2) 。泠 0 yc1 0=件20 1仅 0(0 c2 j v b 人0 c2 j i 0 ct bc2)(0 e i即a 0后单位阵合同，结合知a 0建正定矩阵。i。b；i。8)2、设a和b是两个同型矩阵，证明：秩（a-b）w秩（a）+秩（b）。证明方法1：设矩阵a的列向量组为a, a2,，an,其极大无关组为a1,ai2,，ar ,（1分）（2分）（3分）矩阵b的列向量组为b, b2,，bn ,其极大无关组为bii, bi2 ,., bis则 a =kia1 +k2ai2 +k.air , i =1,2，nbi =1e1 +盟2 +.+*5, i =1,2,，n（4 分）

13、故 a -bi =kia1 +k2a2 +krar libi1 小2isbis, i =1,2,，n即ab的列向量组可由ai1, a2,ar,bi1,1,bi2 ,bis线性表示（6分）则秩（a b） mrank（ai1,ai2,人1方22,bis）m十5=秩（勺+秩（b）（7分）注意：a组可由b组表示=rank （a） rank （b ）,证明方法二：由课本166页结论，秩（a b尸秩（a+ （-b）三秩（a）+秩（七）=秩）+秩（b）负号不会改变行列式是否为零的性质，因此不会改变矩阵的秩，故秩（七）二秩（8）3、用 f 代表 f（x）, g代表 g（x）,设（f i g） = 1,（i ,j =1,2）,证明:（皿1g2）= f/ g1,g2证明：因为（f1,f2）f（f1,f2）f（gg） g”（gg） g?，所以（f，2）（99） fg,（f1，f2）（g1,g2） f2g2,这表明（f, f2）（g1, 2）是fm与f2g2的一个公因式；又（f1, fz）=u1 f1 +v1 f2（g1,92）=391 292而（fi9）=1,（i,j =1,2）,由课本习题一题13结论可知,（刀）一，即1 =uf1 f2+vgg式左右两边相乘知是（f，f2）（g1，g2）是f1gl与f2g2的组合，故由课本习题一题8结论可知（f1，f2）（g1，g2）是fm与f