第一章 概率论的基本概念

1、概率论与数理统计是研究什么的？概率论与数理统计是研究什么的？ 什么是随机现象？什么是随机现象？ 什么是统计规律性？什么是统计规律性？ 概率论与数理统计主要内容概率论与数理统计主要内容 概率论的基本概念概率论的基本概念 随机变量及其分布随机变量及其分布 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理 参考教材：参考教材：概率论与数理统计概率论与数理统计 盛骤谢式千潘承毅主编盛骤谢式千潘承毅主编 高等教育出版社高等教育出版社 样本及抽样分布样本及抽样分布 参数估计参数估计 假设检验假设检验 方差分析及回归分析方差分析及回

2、归分析 退出退出 概率论的基本概念概率论的基本概念 随机试验、样本空间、随机事件随机试验、样本空间、随机事件 频率与概率频率与概率 等可能概型（古典概型）等可能概型（古典概型） 几何概率几何概率 概率的一般定义概率的一般定义 条件概率条件概率 独立性独立性 返回返回退出退出 本章小结本章小结 习题习题 随机试验是具有以下特征的试验：可以在相随机试验是具有以下特征的试验：可以在相 同条件下重复进行；每次试验的结果不止一个，同条件下重复进行；每次试验的结果不止一个， 但结果事先可以预知；每次试验前不能确定哪个但结果事先可以预知；每次试验前不能确定哪个 结果会出现。结果会出现。 样本空间、样本点样本

3、空间、样本点 随机试验的所有可能结果的集合称为样本空间。随机试验的所有可能结果的集合称为样本空间。 试验的每试验的每个可能结果称为样本点。记为个可能结果称为样本点。记为S Se e。 随机试验随机试验 例例1 1： E E1 1：抛一枚硬币，观察正面、反面了出现的情况。：抛一枚硬币，观察正面、反面了出现的情况。 S S1 1：HH，TT； E E ：将一枚硬币抛掷三次，观察正面 ：将一枚硬币抛掷三次，观察正面H H、反面、反面T T出现的情况。出现的情况。 S S2 2：HHHHHH，HHTHHT，HTHHTH，THHTHH，HTTHTT，THTTHT，TTHTTH，TTTTTT； E E ：

4、将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。 ：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。 S S3 3：00，1 1，2 2，33； E E ：抛一颗骰子，观察出现的点数。 ：抛一颗骰子，观察出现的点数。 S S4 4：1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，66； E E ：记录某城市 ：记录某城市120120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数。急救电话台一昼夜接到的呼唤次数。 S S5 5：00，l l，2 2，3 3， ； E E ：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。 ：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。 S S6 6：t tt0t0； E E ：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。

5、 ：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。 S S7 7：(x(x，y) y) T T0 0 xyTxyT1 1 ，这里，这里x x示最低温度，示最低温度，y y表示最高表示最高 温度，并设这一地区的温度不会小于温度，并设这一地区的温度不会小于T To o，也不会大于，也不会大于T T1 1。 试验试验E E的的样本空间样本空间S S的子集称为试验的随机事件，简的子集称为试验的随机事件，简 称事件。在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样称事件。在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样 本点出现时，称这一事件发生。本点出现时，称这一事件发生。 随机事件随机事件 基本事件（简单事件）、复合事件基本

6、事件（简单事件）、复合事件 由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。由两由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。由两 个或两个以上样本点组成的集合，称为复合事件。个或两个以上样本点组成的集合，称为复合事件。 必然事件、不可能事件必然事件、不可能事件 样本空间样本空间S S包含所有的样本点，它是包含所有的样本点，它是S S自身的子集，自身的子集， 在每次试验中它总是发生的，称为必然事件。在每次试验中它总是发生的，称为必然事件。 空集空集不包含任何样本点，它也作为样本空间的不包含任何样本点，它也作为样本空间的 子集，它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。子集，它在每次试验中都不发生，称为不可能事

7、件。 例例2 2： 在在E E 中事件 中事件A A ： ：“第一次出现的是第一次出现的是H”H”，即，即 A A HHHHHH，HHTHHT，HTHHTH，HTTHTT； 事件事件A A ： ：“三次出现同一面三次出现同一面”，即，即 A A2 2HHHHHH，TTTTTT； 在在E E 中事件 中事件A A3 3 ：“寿命小于寿命小于10001000小时小时”，即，即 A A3 3t t0t0t10001000； 在在E E 中事件 中事件A A3 3：“最高温度和最低温度相差最高温度和最低温度相差1010摄氏度摄氏度”，即，即 A A7 7(x(x，y) y) y-x=10,Ty-x=1

8、0,T0 0 xyTxyT1 1 。 例例3 3： 某袋中装有某袋中装有4 4只白球和只白球和2 2只黑球，我们考虑依次从中摸出两球所只黑球，我们考虑依次从中摸出两球所 可能出现的事件。若对球进行编号，可能出现的事件。若对球进行编号，4 4只白球分别编为只白球分别编为1 1，2 2，3 3， 4 4号，号，2 2只黑球编为只黑球编为5 5，6 6号。如果用数对号。如果用数对(i(i，j)j)表示第一次摸得表示第一次摸得 i i号球，第二次摸得号球，第二次摸得j j号球，则可能出现的结果是号球，则可能出现的结果是 (1 (1，2)2)，(1(1，3)3)，(1(1，4)4)，(1(1，5)5)，

9、(1(1，6)6) (2 (2，1)1)，(2(2，3)3)，(2(2，4)4)，(2(2，5)5)，(2(2，6)6) (3 (3，1)1)，(3(3，2)2)，(3(3，4)4)，(3(3，5)5)，(3(3，6)6) (4 (4，1)1)，(4(4，2)2)，(4(4，3)3)，(4(4，5)5)，(4(4，6)6) (5 (5，1)1)，(5(5，2)2)，(5(5，3)3)，(5(5，4)4)，(5(5，6)6) (6 (6，1)1)，(6(6，2)2)，(6(6，3)3)，(6(6，4)4)，(6(6，5)5) 把这把这3030个结果作为样本点，则构成了样本空间。在这个问个结果作为

10、样本点，则构成了样本空间。在这个问 题中，这些样本点是我们感兴趣的事件；但是我们也可以研究题中，这些样本点是我们感兴趣的事件；但是我们也可以研究 下面另外一些事件：下面另外一些事件： A A：第一次摸出黑球；：第一次摸出黑球； B B：第二次摸出黑球；：第二次摸出黑球； C C：第一次及第二次都摸出黑球：第一次及第二次都摸出黑球 后面这些事件与前面那些事件的不同处在于这些事件是可后面这些事件与前面那些事件的不同处在于这些事件是可 以分解的，例如为了以分解的，例如为了A A出现必须而且只须下列样本点之一出现：出现必须而且只须下列样本点之一出现： (5(5，1)1)，(5(5，2)2)，(5(5，

11、3)3)，(5(5，4)4)，(5(5，6)6) (6 (6，1)1)，(6(6，2)2)，(6(6，3)3)，(6(6，4)4)，(6(6，5)5) 事件间的关系事件间的关系 包含：，称事件包含：，称事件B B包含事件包含事件A A，即事件，即事件 A A发生必然导致事件发生必然导致事件B B发生。发生。 相等：，称事件相等：，称事件A A与事件与事件B B 相等。相等。 和：和： ，表示，表示A A、B B二事件中至少有一个发生；二事件中至少有一个发生； 表示表示n n个事件个事件A A1 1 ，A A2 2 ， ， ， A An n中至少有一个发生。中至少有一个发生。 差：差：A AB

12、B，表示事件，表示事件A A发生，而事件发生，而事件B B不发生。不发生。 积：，也记作积：，也记作ABAB，表示，表示A A、B B二事件都发生；二事件都发生； 表示表示n n个事件个事件A A1 1 ，A A2 2 ， ， A An n都发生。都发生。 互不相容互不相容( (或互斥或互斥) )：指：指ABAB ，即事件，即事件A A与事件与事件B B不能不能 同时发生；若同时发生；若n n个事件个事件A A1 1 ，A A2 2 ， ， A An n的任意两个事件的任意两个事件 不能同时发生，则称不能同时发生，则称A A1 1 ，A A2 2 ， ， A An n互不相容。互不相容。 互为

13、对立互为对立( (互逆互逆) )：若：若S S，且，且ABAB，则，则A A与与B B 二事件互逆。有二事件互逆。有 。 ABBA 或或 BAABBA ，即，即且且 BA k n k A 1 BA k n k A 1 BA AASAA, 图示事件间的关系（图示事件间的关系（Venn文图）文图） AB S AB A AB AB AB B AB A A BA AB 事件的运算事件的运算 在进行运算时，经常要用到下述定律。设在进行运算时，经常要用到下述定律。设A A，B B，C C 为事件，则有为事件，则有 交换律交换律 结合律结合律 分配律分配律 德德摩根律摩根律 对于对于n n个事件，甚至对于可

14、列个事件，德个事件，甚至对于可列个事件，德摩根律也摩根律也 成立。成立。 。BABABABA CABACBA CABACBA CBACBA CBACBA ABBAABBA ; ; , ; , ;, 例例4 4： 在例中有在例中有 HHHHHH，HHTHHT，HTHHTH，HTTHTT，TTTTTT HHHHHH TTTTTT THHTHH，THTTHT，TTH TTH 21 12 21 21 AA AA AA AA 例例5 5： 1)1) A A发生而发生而B B与与C C都不发生可以表示为：都不发生可以表示为： 2)2) A A与与B B都发生而都发生而C C不发生可以表示为：不发生可以表示

15、为： 3)3) 所有这三个事件都发生可以表示为：所有这三个事件都发生可以表示为： 4)4) 这三个事件恰好发生一个可以表示为：这三个事件恰好发生一个可以表示为： 5)5) 这三个事件恰好发生两个可以表示为：这三个事件恰好发生两个可以表示为： 6)6) 这三个事件至少发生一个可以表示为：这三个事件至少发生一个可以表示为： CBACBACBA 或或或或 ABCABCABCAB 或或或或 ABC CBACBACBA BCACBACAB ABCBCACBACABCBACBACBA CBA 或或 练习一化简下列格式：练习一化简下列格式： BABABA CBBABABA 3 21 ABBAABABABA

16、ACBBCACBAB CBABBACBBA ABABAA BBAABABABA 3 2 1解解 练习二证明下列等式：练习二证明下列等式： BAABAB BAABABBA ABABA 3 2 1 ABBABABA BAABBAAB ABBAABBA BBBAABAA BABABAABBAAB ABAABABA AABASBABA 3 2 1解解 练习三从下面两式分析各表示什么包含关系。练习三从下面两式分析各表示什么包含关系。 ABA ABA 2 1 。的的子子集集，是是，说说明明 。的的子子集集，是是说说明明解解 ABABABA BABAABA 2 ,1 返回返回 在相同的条件下，进行了在相同的

17、条件下，进行了n次试验，在这次试验，在这n次试次试 验中，事件验中，事件A发生的次数发生的次数nA称为事件称为事件A发生的频数。发生的频数。 比值比值nA n称为事件称为事件A发生的频率，并记成发生的频率，并记成n(A)。 概率概率 对于一个随机事件对于一个随机事件A (A (除必然事件和不可能事件除必然事件和不可能事件 外外) )来说，它在一次试验中可能发生，也可能不发生。来说，它在一次试验中可能发生，也可能不发生。 我们希望知道的是事件在一次试验中发生的可能性。我们希望知道的是事件在一次试验中发生的可能性。 用一个数用一个数P(A)P(A)来表示该事件发生的可能性大小，这来表示该事件发生的

18、可能性大小，这 个数个数P(A)P(A)就称为随机事件就称为随机事件A A的概率。的概率。 我们希望找到一个数来表示我们希望找到一个数来表示P(A)P(A)。 频率频率 例考虑例考虑“抛硬币抛硬币”这个试验，我们将一枚硬币抛掷这个试验，我们将一枚硬币抛掷5 5次、次、5050 次、次、500500次，各做次，各做1010遍。得到数据如下表所示遍。得到数据如下表所示( (其中其中n nH H表示表示H H发发 生的频数，生的频数，n(H)(H)表示表示H H发生的频率发生的频率) )。 试验序试验序 号号 n= 5n= 50n=500 nHn(H)nHn(H)nHn(H) 1 2 3 4 5 6

19、 7 8 9 10 2 3 1 5 1 2 4 2 3 3 0.4 0.6 0.2 1.0 0.2 0.4 0.8 0.4 0.6 0.6 22 25 21 25 24 21 18 24 27 31 0.44 0.50 0.42 0.50 0.48 0.42 0.36 0.48 0.54 0.62 251 249 256 253 251 246 244 258 262 247 0.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492 0.488 0.516 0.524 0.494 频率稳定性频率稳定性 大量实验证实，当重复试验的次数逐渐增大时，频率呈大量实验证实，当重复试验的次数

20、逐渐增大时，频率呈 现出稳定性，逐渐稳定于某个常数。现出稳定性，逐渐稳定于某个常数。 当当n足够大时，足够大时， n(A ) P(A)P(A) 由于事件发生的频率表示由于事件发生的频率表示A A发生的频繁程度。频率大，发生的频繁程度。频率大， 事件事件A A发生就频繁，这意味着发生就频繁，这意味着A A在一次试验中发生的可能性就在一次试验中发生的可能性就 大。大。 当当n n增大时，频率在概率附近摆动。因此，每一个从独增大时，频率在概率附近摆动。因此，每一个从独 立重复试验中测得的频率，都可以作为概率立重复试验中测得的频率，都可以作为概率P(A)P(A)的近似值。的近似值。 频率的基本性质频率

21、的基本性质 由定义，易见频率具有下述基本性质：由定义，易见频率具有下述基本性质： 0 0 n(A)1;(A)1; n(s)(s)1;1; 若若A A1 1 ，A A2 2 ， ， ， A Ak k是两两互不相容的事件，则是两两互不相容的事件，则 n( A A1 1AA2 2AAk k )=n ( ( A A1 1)+)+n (A(A2 2)+)+ +n (A(Ak k).). 返回返回 有限样本空间有限样本空间 我们先考虑只有有限个样本点的样本空间，这种样本空我们先考虑只有有限个样本点的样本空间，这种样本空 间称为有限样本空间。这是最简单的样本空间，研究它有助间称为有限样本空间。这是最简单的样

22、本空间，研究它有助 于深入研究更为复杂的样本空间。于深入研究更为复杂的样本空间。 有限样本空间基本事件概率的定义有限样本空间基本事件概率的定义 若若S S是有限样本空间，其样本点为是有限样本空间，其样本点为e e1 1，e e2 2，,e,en n，在这，在这 种场合可以把的任何子集都当作事件。在这种样本空间中引种场合可以把的任何子集都当作事件。在这种样本空间中引 进概率，只要对每个样本点给定一个数与它对应，此数称为进概率，只要对每个样本点给定一个数与它对应，此数称为 事件事件e ei i的概率，并记之为的概率，并记之为P(eP(ei i)，它是非负的，而且，它是非负的，而且 满足满足 P(e

23、P(e1 1)+P(e)+P(e2 2)+)+P(e+P(en n)=P(S)=1)=P(S)=1 这样，我们对样本点定义了概率，用它来度量每个样本点出这样，我们对样本点定义了概率，用它来度量每个样本点出 现的可能性的大小。由此出发，我们不难定义更为一般的事现的可能性的大小。由此出发，我们不难定义更为一般的事 件的概率。件的概率。 有限样本空间事件概率的定义有限样本空间事件概率的定义 定义定义 任何事件任何事件A A的概率的概率P(A)P(A)是是A A中各样本点的概率之和中各样本点的概率之和 按照这个定义，显然有按照这个定义，显然有P(S)=1P(S)=1，0P(A)10P(A)1。 离散样

24、本空间离散样本空间 把上面做法推广到有可列个样本点的样本空间把上面做法推广到有可列个样本点的样本空间 是不难的，这种空间称为离散样本空间，但是当把是不难的，这种空间称为离散样本空间，但是当把 上面做法推广到不可列个样本点的场合，则会遇到上面做法推广到不可列个样本点的场合，则会遇到 实质性的困难，对于这种一般场合的讨论，以后将实质性的困难，对于这种一般场合的讨论，以后将 逐渐展开。逐渐展开。 等可能概率模型（古典概型）等可能概率模型（古典概型） 等可能概率模型是有限样本空间的一种特例。这种随机等可能概率模型是有限样本空间的一种特例。这种随机 现象具有下列两个特征：现象具有下列两个特征： (1)(

25、1)在观察或试验中它的全部可能结果只有有限个，譬在观察或试验中它的全部可能结果只有有限个，譬 如为如为 n n个，记为个，记为e e1 1，e e2 2，,e,en n，而且这些事件是两两互不相，而且这些事件是两两互不相 容的；容的； (2)(2)事件事件e ei i（i=1,2, i=1,2, n)n)的发生或出现是等可能的，的发生或出现是等可能的， 即它们发生的概率都一样。即它们发生的概率都一样。 这类随机现象在概率论发展初期即被注意，许多最初的这类随机现象在概率论发展初期即被注意，许多最初的 概率论结果也是对它作出的，一般把这类随机现象的数学模概率论结果也是对它作出的，一般把这类随机现象

26、的数学模 型称为古典概型。古典概型在概率论中占有相当重要的地位，型称为古典概型。古典概型在概率论中占有相当重要的地位， 它具有简单、直观的特点，且应用广泛。它具有简单、直观的特点，且应用广泛。 如何理解古典概型中的等可能假设？如何理解古典概型中的等可能假设？ 等可能性是古典概型的两大假设之一，有了这两个假设，等可能性是古典概型的两大假设之一，有了这两个假设， 给直接计算概率带来了很大的方便。但在事实上，所讨论问给直接计算概率带来了很大的方便。但在事实上，所讨论问 题是否符合等可能假设，一般不是通过实际验证，而往往是题是否符合等可能假设，一般不是通过实际验证，而往往是 根据人们长期形成的根据人们

27、长期形成的“对称性经验对称性经验”作出的。例如，骰子是作出的。例如，骰子是 正六面形，当质量均匀分布时，投掷一次，每面朝上的可能正六面形，当质量均匀分布时，投掷一次，每面朝上的可能 性都相等；装在袋中的小球，颜色可以不同，只要大小和形性都相等；装在袋中的小球，颜色可以不同，只要大小和形 状相同，摸出其中任一个的可能性都相等。因此，等可能假状相同，摸出其中任一个的可能性都相等。因此，等可能假 设不是人为的，而是人们根据对事物的认识一对称性特征而设不是人为的，而是人们根据对事物的认识一对称性特征而 确认的。确认的。 等可能概率模型中事件概率的计算公式等可能概率模型中事件概率的计算公式 设试验的样本

28、空间为设试验的样本空间为S=eS=e1 1，e e2 2，,e,en n 。由于在试验中。由于在试验中 每个基本事件发生的可能性相同，即有每个基本事件发生的可能性相同，即有 P(e P(e1 1)P(eP(e2 2)P(eP(en n) 又由于基本事件是两两不相容的，于是又由于基本事件是两两不相容的，于是 1=P(S)=P(e1=P(S)=P(e1 1 e e2 2 e en n) = P(e = P(e1 1)+P(e)+P(e2 2)+)+P(e+P(en n)=nP(e)=nP(ei i) P(e P(ei i)=1/n )=1/n ，i=1i=1，2 2，n n 法国数学家拉普拉斯法国

29、数学家拉普拉斯(Laplace)(Laplace)在在18121812年把上式作为概年把上式作为概 率的一般定义。事实上它只适用于古典概型场合。率的一般定义。事实上它只适用于古典概型场合。 样样本本点点总总数数 包包含含的的样样本本点点数数 个个不不同同的的数数。则则有有中中某某，是是这这里里 个个基基本本事事件件，即即包包含含若若事事件件 A n k ePAP kiiie eeAkA k j i ki ii k k 1 21 )( 21, 21 有关排列组合的知识有关排列组合的知识 求解古典概型问题的关键是弄清基本事件空间的样本点求解古典概型问题的关键是弄清基本事件空间的样本点 总数和所求概

30、率事件包含的样本点个数。在理清事件数的时总数和所求概率事件包含的样本点个数。在理清事件数的时 候，必须分清研究的问题是组合问题还是排列问题，以下是候，必须分清研究的问题是组合问题还是排列问题，以下是 关于排列组合的知识：关于排列组合的知识： 1 1不同元素的选排列不同元素的选排列 从个不相同的元素中，无放回地取出个元素的排列从个不相同的元素中，无放回地取出个元素的排列 ( ( 0,m(B)0,则则 在一般场合，我们将把这个等式作为条件概率的定义。在一般场合，我们将把这个等式作为条件概率的定义。 . )( )( 3 2 )( BP ABP n m n m m m BAP B AB B AB .

31、)( )( )( )( )( )( )( )( )( BP ABP Sm Bm Sm ABm Bm ABm BAP 条件概率的定义条件概率的定义 设设A,BA,B是两个事件，且是两个事件，且P(A)0P(A)0，称，称 为在事件为在事件A A发生的条件下事件发生的条件下事件B B发生的条件概率。发生的条件概率。 )( )( )( AP ABP ABP 条件概率满足概率定义中的三个基本性质条件概率满足概率定义中的三个基本性质 非负性：对于任何事件非负性：对于任何事件B B，有，有P(BA)0P(BA)0； 规范性：对于必然事件规范性：对于必然事件S S，有，有P(SA)=1P(SA)=1； 可列

32、可加性：设可列可加性：设B B1 1 ，B B2 2 ， 两两互不相容的事件，两两互不相容的事件， 即对于即对于ij, Bij, Bi iB Bj j= , i,j=1,2, = , i,j=1,2, , ,则有则有 可见，条件概率也是概率，前面对概率所证明的一些重可见，条件概率也是概率，前面对概率所证明的一些重 要结果都适用于条件概率。例如：要结果都适用于条件概率。例如： 特别当特别当B=SB=S时，条件概率化为无条件概率。时，条件概率化为无条件概率。 . )( 11 i i i i ABPABP )()()()( 1)( 0)( 212121 BAAPBAPBAPBAAP BAPBAP B

33、P 解解 易知此属古典概型问题将产品编号，易知此属古典概型问题将产品编号，1 1，2 2，3 3号为一等号为一等 品；品；4 4号为二等品。以号为二等品。以(i(i，j)j)表示第一次、第二次分别取到表示第一次、第二次分别取到 第第i i号、第号、第j j号产品。试验号产品。试验E(E(取产品两次，记录其号码取产品两次，记录其号码) )的样的样 本空间为本空间为 S=(1S=(1，2)2)，(1(1，3)3)，(1(1，4)4)，(2(2，1)1)，(2(2，3)3)，(2(2， 4)4)，(4(4，1)1)，(4(4，2)2)，(4(4，3)3)， A=(1A=(1，2)2)，(1(1，3)

34、3)，(1(1，4)4)，(2(2，1)1)，(2(2，3)3)，(2(2，4)4)， (3(3，1)1)，(3(3，2)2)，(3(3，4)4)， ABAB(1(1，2)2)，(1(1，3)3)，(2(2，1)1)，(2(2，3)3)，(3(3，1)1)，(3(3， 2)2) 按条件概率的定义，得条件概率按条件概率的定义，得条件概率 例例15 15 一盒子装有一盒子装有4 4只产品，其中有只产品，其中有3 3只一等品，只一等品，1 1只二等品。只二等品。 从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样。设事件从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样。设事件A A 为第一次取到的是一等品为第一次

35、取到的是一等品”，事件，事件B B为为“第二次取到的是一第二次取到的是一 等品等品”。试求条件概率。试求条件概率P(BA)P(BA)。 也可以直接按条件概率的含义来求也可以直接按条件概率的含义来求P(BA)P(BA)。我们知道，当。我们知道，当 A A发生以后，试验发生以后，试验E E所有可能结果的集合就是所有可能结果的集合就是A A，A A中有中有9 9个元个元 素，其中只有素，其中只有(1(1，2)2)，(1(1，3)3)，(2(2，1)1)，(2(2，3)3)，(3(3，1)1)， (3(3，2)2)属于属于B B，故可得，故可得 . 3 2 129 126 )( )( )( AP AB

36、P ABP . 3 2 9 6 )( ABP .)(1)()( 0)(B BPAPBAP BPA ，则则互互斥斥，且且与与若若事事件件练练习习四四 .)(1)( )(1)()( )()()()()( BPAP BPABPAP BPABAPBPBAPBAP 解解 乘法定理乘法定理 设设P(A)0P(A)0，则有，则有 P(AB)=P(BA)P(A)P(AB)=P(BA)P(A) 上式被称为乘法公式。它可以由条件概率的公式直接推得。上式被称为乘法公式。它可以由条件概率的公式直接推得。 同理，若同理，若P(B)0P(B)0，则有，则有 P(AB)=P(AB)P(B)P(AB)=P(AB)P(B) 可

37、以把乘法定理推广到任意可以把乘法定理推广到任意n n个事件之交的场合：设个事件之交的场合：设 A A1 1,A,A2 2, ,A,An n为为n n个事件，个事件，n2,n2,且且 P(AP(A1 1A A2 2A An-1 n-1） ）00，则有，则有 P(AP(A1 1A A2 2A An n）=P(A=P(An nAA1 1A A2 2A An-1 n-1） ）P(AP(An-1 n-1A A1 1A A2 2A An- n- 2 2） ）P(AP(A2 2AA1 1）P(AP(A1 1） 例例16 16 设袋中装有设袋中装有r r只红球，只红球，t t只白球。每次自袋中任取一只球，只白

38、球。每次自袋中任取一只球， 观察其颜色然后放回，并再放入观察其颜色然后放回，并再放入a a只与所取出的那只球同色只与所取出的那只球同色 的球。若在袋中连续取球四次，试求第一、二次取到红球的球。若在袋中连续取球四次，试求第一、二次取到红球 且第三、四次取到白球的概率。且第三、四次取到白球的概率。 解解 以以A Ai i(i=l(i=l，2 2，3 3，4)4)表示事件表示事件“第第i i次取到红球次取到红球”，则，则 分别表示事件第三、四次取到白球，所求概率为分别表示事件第三、四次取到白球，所求概率为 43, A A . 23 )()()()()( 11221332144321 tr t atr

39、 at atr t atr at APAAPAAAPAAAAPAAAAP . 200 3 2 1 1 10 7 1 10 9 1 )()()()()( )3 , 2 , 1( 112213321 321 APAAPAAAPAAAPBP AAAB BiiAi ，故故有有次次而而未未打打破破”。因因为为表表示示事事件件“透透镜镜落落下下三三 次次落落下下打打破破”，以以表表示示事事件件“透透镜镜第第以以解解 例例17 17 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率 为为1 12 2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为，若第一次落下未打

40、破，第二次落下打破的概率为 7 71010，若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为，若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为 9 91010。试求透镜落下三次而未打破的概率。试求透镜落下三次而未打破的概率。 ，故故有有是是两两两两互互不不相相容容的的事事件件而而 另另解解，按按题题意意 321211 321211 , . AAAAAA AAAAAAB . 200 3 200 197 1)( , 200 197 200 27 20 7 2 1 )( . 200 27 2 1 1 10 7 1 10 9 )()()()( 20 7 2 1 1 10 7 )()()( 10 9 )( 10 7

41、 )( 2 1 )( ).()()()( 112213321 11221 213121 321211 BP BP APAAPAAAPAAAP APAAPAAP AAAPAAPAP AAAPAAPAPBP 故故得得 ， ，即即有有，已已知知 因为可以验证，条件概率满足概率定义中的三个条件，因为可以验证，条件概率满足概率定义中的三个条件， 所以它是概率。所以它是概率。 条件概率是在试验条件概率是在试验E的条件上加上一个新条件的条件上加上一个新条件(如如B发发 生生)求事件求事件(如如A)发生的概率。条件概率发生的概率。条件概率P(A B)与与P(A)的区的区 别就是在别就是在E的条件上增加了一个新

42、条件。而无条件概率是的条件上增加了一个新条件。而无条件概率是 没有增加新条件的概率。没有增加新条件的概率。 条件概率条件概率P(A B)与积事件概率与积事件概率P(AB) 有什么区别？有什么区别？ P(AB) P(AB)是在样本空间是在样本空间S S内，事件内，事件ABAB的概率，而的概率，而P(AB)P(AB) 是在试验是在试验E E增加了新条件增加了新条件B B发生后的缩减样本空间发生后的缩减样本空间S SB B中计算中计算 事件事件A A的概率。虽然都是的概率。虽然都是A A、B B同时发生，但两者是不同的，同时发生，但两者是不同的， 有有P(AB)P(AB)P(B)P(AB)P(B)P

43、(AB)，仅当，仅当P(B)P(B)P(S)P(S)1 1时，两者相时，两者相 等。等。 条件概率为什么是概率？它与无条件条件概率为什么是概率？它与无条件 概率有什么区别？概率有什么区别？ 全概率公式全概率公式 全概率公式是概率论的一个重要公式，应用全概率公式的全概率公式是概率论的一个重要公式，应用全概率公式的 关键是建立样本空间的正确划分关键是建立样本空间的正确划分( (即构造一个正确的完备事件即构造一个正确的完备事件 组组) )，然后计算各个概率和条件概率，最后代入全概率公式。，然后计算各个概率和条件概率，最后代入全概率公式。 它是求复杂事件概率的有力工具。它是求复杂事件概率的有力工具。

44、样本空间的划分的定义：设样本空间的划分的定义：设S S为试验为试验E E的样本空间，的样本空间， B B1 1,B,B2 2，,B,Bn n为为E E的一组事件。若的一组事件。若 B Bi iB Bj j= =,ij,i,j=1,2, ,ij,i,j=1,2, ,n;,n; B B1 1BB2 2BBn n=S,=S, 则称则称B B1 1,B,B2 2, , B Bn n为样本空间为样本空间S S的一个划分。的一个划分。 全概率公式：设试验全概率公式：设试验E E的样本空间为的样本空间为S,AS,A为为E E的事件，的事件， B B1 1,B,B2 2，,B,Bn n为为S S的一个划分，且

45、的一个划分，且P(BP(Bi i)0(i=1,2, )0(i=1,2, ,n),n),则则 P(A)=P(ABP(A)=P(AB1 1)P(B)P(B1 1)+P(AB)+P(AB2 2)P(B)P(B2 2)+)+P(AB+P(ABn n)P(B)P(Bn n).). 全概率公式的证明全概率公式的证明 证明证明 因为事件因为事件B B1 1,B,B2 2，,B,Bn n时样本空间的一个划分，即时样本空间的一个划分，即B Bi i两两两两 互不相容，互不相容，P(BP(Bi i)0(i=1,2, )0(i=1,2, ,n),n)，而且，而且 B B1 1BB2 2BBn n=S=S 有有 AB

46、AB1 1ABAB2 2ABABn n=A=A 这里的这里的ABABi i也是两两互不相容（参见图）。也是两两互不相容（参见图）。 由概率的可列可加性由概率的可列可加性 P(A)=P(ABP(A)=P(AB1 1)+P(AB)+P(AB2 2)+)+P(AB+P(ABn n) ) 利用乘法定理即得利用乘法定理即得 P(A)=P(ABP(A)=P(AB1 1)P(B)P(B1 1)+P(AB)+P(AB2 2) P(B) P(B2 2)+)+P(AB+P(ABn n)P(B)P(Bn n) ) B1 A B5 B4 B3 B2 解解 设从这批种子中任选一颗是一等、二等、三等、四等种子设从这批种子

47、中任选一颗是一等、二等、三等、四等种子 的事件分别记为的事件分别记为A A1 1,A,A2 2,A,A3 3,A,A4 4，则它们构成样本空间的一个，则它们构成样本空间的一个 分割。用分割。用B B表示在这批种子中任选一颗，且这颗种子所结的表示在这批种子中任选一颗，且这颗种子所结的 穗含有穗含有5050颗以上麦粒这一事件，则由全概率公式得颗以上麦粒这一事件，则由全概率公式得 4825. 0 05. 011 . 05 . 115. 025 . 05 .95 )()()( 0 0 0 0 0 0 0 0 4 1 i i i ABPAPBP 例例18 18 播种用的一等小麦种子中混合播种用的一等小麦

48、种子中混合2 2的二等种子，的二等种子，1.51.5的的 三等种子，三等种子，1 1的四等种子。用一等、二等、三等、四等种的四等种子。用一等、二等、三等、四等种 子长出的穗含子长出的穗含5050颗以上麦粒的概率分别是颗以上麦粒的概率分别是 0.5,0.15,0.1,0.050.5,0.15,0.1,0.05，求这批种子所结的穗含有，求这批种子所结的穗含有5050颗以上麦颗以上麦 粒的概率。粒的概率。 练习五练习五 考卷中一道选择题有考卷中一道选择题有4 4个答案，仅有一个是正确的，个答案，仅有一个是正确的， 设一个学生知道正确答案或不知道而乱猜是等可能的。如设一个学生知道正确答案或不知道而乱猜

49、是等可能的。如 果这个学生答对了，求它确实知道正确答案的概率。果这个学生答对了，求它确实知道正确答案的概率。 A 解解 样本空间可以划分为事件样本空间可以划分为事件A A一知道正确答案，一知道正确答案， 一不知一不知 道。以道。以B B表示学生答对事件，则表示学生答对事件，则A A B B，P(AB)P(AB)P(A)P(A)1 12 2。 P(BA)=1P(BA)=1，而，而P(B )P(B )1 14 4。由全概率公式。由全概率公式 P(B)P(B)P(A)P(BA)+P( )P(B )P(A)P(BA)+P( )P(B ) 1 12 21+11+12 21 14=54=58 8， 故故

50、P(AB)P(AB)P(AB)P(AB)P(B)P(B)4 45 5 A AA 贝叶斯公式贝叶斯公式 设试验设试验E E的样本空间为的样本空间为S S。A A为为E E的事件，的事件， B B1 1,B,B2 2，,B,Bn n为为S S 的一个划分，且的一个划分，且P(A)0,P(BP(A)0,P(Bi i)0(I=1,2, )0(I=1,2, ,n),n)，则，则 上式称为贝叶斯上式称为贝叶斯(Bayes)(Bayes)公式。公式。 贝叶斯定理往往与全概率公式同时使用。全概率公式一贝叶斯定理往往与全概率公式同时使用。全概率公式一 用于用于“由因求果由因求果”问题，而贝叶斯定理一般用于问题，

51、而贝叶斯定理一般用于“执果寻因执果寻因” 问题，在使用时要分清是什么问题，确定应用哪个公式。问题，在使用时要分清是什么问题，确定应用哪个公式。 ., 2 , 1, )()( )()( )( 1 ni BPBAP BPBAP ABP n j jj ii i 贝叶斯公式的证明贝叶斯公式的证明 证证 由条件概率的定义及全概率公式即得由条件概率的定义及全概率公式即得 ., 2 , 1, )()( )()( )( )( )( 1 ni BPBAP BPBAP AP ABP ABP n j jj ii i i 当当n=2时，全概率公式和贝叶斯公式的形式时，全概率公式和贝叶斯公式的形式 . )()()()(

52、 )()( )( )( )( ),()()()()( , ,2 21 BPBAPBPBAP BPBAP AP ABP ABP BPBAPBPBAPAP B BBBn 斯斯公公式式分分别别成成为为那那么么全全概概率率公公式式和和贝贝叶叶 就就是是此此时时记记为为时时，将将当当 什么是先验概率和后验概率？什么是先验概率和后验概率？ 贝叶斯公式在概率论和数理统计中有着多方面的应用。假贝叶斯公式在概率论和数理统计中有着多方面的应用。假 定定B B1 1,B,B2 2, ,是导致试验结果的是导致试验结果的“原因原因”，P(BP(Bi i) )称为先验概率，称为先验概率， 它反映了各种它反映了各种“原因原

53、因”发生的可能性大小，一般是以往经验的发生的可能性大小，一般是以往经验的 总结，在这次试验前已经知道。现在若试验产生了事件总结，在这次试验前已经知道。现在若试验产生了事件A A，这个，这个 信息将有助于探讨事件发生的信息将有助于探讨事件发生的“原因原因”。条件概率。条件概率P(BP(Bi iA)A)称称 为后验概率，它反映了试验之后对各种为后验概率，它反映了试验之后对各种“原因原因”发生的可能性发生的可能性 大小的新知识。例如在医疗诊断中，有人为了诊断病人到底是大小的新知识。例如在医疗诊断中，有人为了诊断病人到底是 患了毛病患了毛病B B1 1,B,B2 2, ,B,Bn n中的哪一种，对病人

54、进行观察与检查，确中的哪一种，对病人进行观察与检查，确 定了某个指标定了某个指标A(A(譬如是体温、脉搏血液中转氨酶含量等等譬如是体温、脉搏血液中转氨酶含量等等) )，他，他 想用这类指标来帮助诊断。这时就可以用贝叶斯公式来计算有想用这类指标来帮助诊断。这时就可以用贝叶斯公式来计算有 关概率。首先必须确定先验概率关概率。首先必须确定先验概率P(BP(Bi i) )，这实际上是确定人患各，这实际上是确定人患各 种毛病的可能性大小，以往的资料可以给出一些初步数据；其种毛病的可能性大小，以往的资料可以给出一些初步数据；其 次是要确定次是要确定P(ABP(ABi i) )，这里当然主要依靠医学知识。有

55、了它们，这里当然主要依靠医学知识。有了它们， 利用贝叶斯公式就可算出利用贝叶斯公式就可算出P(BP(Bi iA)A)，显然，对应于较大，显然，对应于较大P(BP(Bi iA)A) 的的“病因病因”B Bi i，应多加考虑。在实际工作中，检查的指标，应多加考虑。在实际工作中，检查的指标A A一般一般 有多个，综合所有的后验概率，当然会对诊断有很大帮助。在有多个，综合所有的后验概率，当然会对诊断有很大帮助。在 实现计算机自动诊断或辅助诊断中，这方法是有实用价值的。实现计算机自动诊断或辅助诊断中，这方法是有实用价值的。 先验概率和后验概率两者间有什么关系？先验概率和后验概率两者间有什么关系？ 先验概

56、率是指根据以往经验和分析得到的概率，如全概率公先验概率是指根据以往经验和分析得到的概率，如全概率公 式式 中的中的P(BP(Bi i) )，它往往作为，它往往作为“由因由因 求求 果果”问题中的问题中的“因因”出现。后验概率是指在得到出现。后验概率是指在得到“结果结果”的信的信 息后重新修正的概率，如贝叶斯公式息后重新修正的概率，如贝叶斯公式P(BP(Bi iA)A) P(ABP(ABi i)P(B)P(Bi i)/P(A)/P(A)中的中的P(BP(Bi iA)A)，是，是“执果寻因执果寻因”问题中的问题中的 “因因”。 先验概率与后验概率有不可分割的联系，后验概率的计算先验概率与后验概率有

57、不可分割的联系，后验概率的计算 要以先验概率为基础。如求要以先验概率为基础。如求P(BP(Bi iA)A)要先求要先求P(A)P(A)，一定要知道，一定要知道 P(ABP(ABi i) )。 n i ii BAPBPAP 1 )()()( 解解 设设A A表示表示“取到的是一只次品取到的是一只次品”，B Bi i(i(il l，2 2，3)3)表示表示 “所取到的产品是由第所取到的产品是由第i i家工厂提供的家工厂提供的”。易知，。易知，B Bl l，B B2 2， B B3 3是样本空间是样本空间S S的一个划分，且有的一个划分，且有P(BP(B1 1)=0)=01515， P(BP(B2

58、2)=0)=08080，P(BP(B3 3) )0 00505，P(ABP(AB1 1)=0)=00202， P(ABP(AB2 2)=0)=00101，P(ABP(AB3 3)=0)=00303。 例例19 19 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供 的。根据以往的记录有以下的数据：的。根据以往的记录有以下的数据： 元件制造厂元件制造厂 次品率次品率 提供元件的份额提供元件的份额 1 01 002 002 01515 2 0 2 001 001 08080 3 0 3 003 003 00505 设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合

59、的，且无区别的设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的 标志。标志。(1)(1)在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率； (2)(2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，为在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，为 分析此次品出自何厂，需求出此次品由三家工厂生产的概分析此次品出自何厂，需求出此次品由三家工厂生产的概 率分别是多少。试求这些概率。率分别是多少。试求这些概率。 12. 0 0125. 0 05. 003. 0 )( )()( )( 64. 0 0125. 0 80. 001. 0 )( )()( )( 24.

60、 0 0125. 0 15. 002. 0 )( )()( )( 33 3 22 2 11 1 AP BPBAP ABP AP BPBAP ABP AP BPBAP ABP 由全概率公式由全概率公式 P(A)= P(ABP(A)= P(AB1 1)P(B)P(B1 1)+P(AB)+P(AB2 2)P(B)P(B2 2)+P(AB)+P(AB3 3)P(B)P(B3 3) ) =0.0125 =0.0125 由贝叶斯公式由贝叶斯公式 以上结果表明，这只次品来自第以上结果表明，这只次品来自第2 2家工厂的可能性最大。家工厂的可能性最大。 087. 0 )()()()( )()( )( CPCAP