@4-函数及其表示

1、=,x af (x)c考点4函数及其表示考纲解读 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.在实际，t#境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.，并能简单的运用.,利用集合与对应的语言来刻画函数 ，并能简单的运用. 了解简单的分段函数重重点难点函数的三种表示方法 了解简单的分段函数命题探究 函数是整个高中数学的重点，函数思想是最重要的数学思想方法 ，函数问题在历年高考中都占据相当大的比例，从近几年来看，对本部分内容的考查形势稳中求变 ，向着更灵活的方向发展. 在高考中主要考查映射与函数的概念 ，例如求象、原象以及映射的个数等，另外，在高考中常以函数作为背景， 结

2、合不等式、方程、数列等知识，考查学生处理综合问题的能力. 在高考命题上仍以考查基本概念与基本计算为主，题型主要是选择和填空题，也有可能把定义一种新运算作为考查的目的. 本内容涉及的考点有：求函数的解析式；分段函数；函数的综合应用。高考赏析c,x1 .（2011 北京）.根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为一、jx,f （x）c.a,x组装第 a件产品时用时15分钟，那么（a, c为常数）。已知工人组装第 4件产品用时30分钟, 和a的值分别是a. 75 ,【解析】f(4)25由条件可知，c_ 30 c4b.75, 16c.60, 25x a时所用时间为常数，所以组装第6

3、0，f (a)61 15 a 16,选d。2.（2010 陕西）某学校要召开学生代表大会，规定各班每的余数大于.6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数整函数y=x( x表本不大于x的最大整数）可以表示为a. yb.10x 310c.法一：设10m(09)6时,x9时，一:310310法二：特殊取值法，若x=56y=5,排除 c、d,10若 x=57d.60, 164件产品用时必然满足第一个分段函数，即10人推选一名代表y与该班人数,当各班人数除以x之间的函数关系用取103.(2009a. 52【解析】辽宁）若x1满足2xb.3即2xi由题意2x1210g 2(55 2t 210g 2(t

4、2x15,x10x 310d.x 510y=6,排除a,10x102x 5, x2满足 2x 21og 2(xc.722x22xi),令 2xi 71）,与式比较得t1)所以选b5,贝u 为 + x2 =d.4210g 2(x2 1)2t,代入上式得x2于是2xi7 2t7 2x2,所以 2% 5 2x1, x1 log 2(5 2x1),210g 2(2t 2) 2 210g 2(t 1),% x z另法：数形结合法.故选c.4.（2005 湖南）设p是 abc内任意sspab,定义 f(p)(s abc1, 2,点,s aabcw/k abc的面积，入 1= s pbc ,入 2= s p

5、ca ,入 3 =s abcs abc、4 一 ，一111,3),若 g是 abc的重心，f(q) (,_,_),则2 3 6a.点q在4gab内b.点q在 gbjc.点q在 gcartd.点q与点g重合【解析】a5.（2006 陕西）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文一密文（加密），接收方由密文一明文 （解密），已知加密规则为：明文a,b,c,d对应密文a 2b,2b c,2c 3d,4 d,例如，明文1,2,3,4对应 密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28 时，则解密得到的明文为b.7,6,1,4d.1,6,4,7a.4,6,1,7c.6,4,1,7【解析

6、】当接收方收到密文14, 9, 23, 28时，则a 2b2b c2c 3d149,解得234口,解密得到的明文为c14d 28基础巩固6.设集合解口 btb是自然数集合n,映射f: a 映射f下，象20的原象是b把集合a中的元素n,映射到集合b中的元2n n,则在a.4b.3c.2d. 5【解析】a7.我校门前的磁卡电话收费标准为：前三分钟内收费 多次）通话共7分钟，最低话费应是0.4元，以后每分钟收费 0.2元.某同学一次（或a.0.8 元【解析】bb.1c.1.2d.1.48.某集镇近20年来的常住人口 y（千人）与时间x（年）的函数如右图前16年的常住人口是逐年增加的 第16年后常住人

7、口实现零增长前科的人口增长率大于1;第 料到第16年的人口增长率小于1.在上述说法中，只有一种说法是错误的，这个错误的说法是a. b.【解析】c.c.9.如果函数f（x）对任意实数x,存在常数 f（x）为有界泛函，下面有4个函数：m,使得不等式| f(x)|x(年) f(x) 1； f(x)x2; f(x) (sin x cosx)x； f(x)其中有两个属于有界泛涵，它们是.【解析】f(x) sirx cosxx 2x,取 m2 ,所以符合有界泛涵定义.f（rx/1、2 3(x? 4取m4,所以符合有界泛涵定义.故选b.3其含量不断减少，这种现象成为衰变,10.放射性元素由于不断有原子放射出

8、微粒子而变成其他元素,假设在放射性同位素葩 137的衰变过程中，其含量 m (单位：太贝克)与时间 t (单位：年)满足 t函数关系：m tmo2 30,其中mo为t0时葩137的含量,已知t30时，葩137的含量的变化率是101n 2 a. 5太贝克(太贝克/年)，则m 60b. 751n 2太贝克c.1501n 2太贝克【解析】因为m / t1ln230t所以m t 600 2 30 ,那么mm0260t30600/ 30602 301ln 2301 600 1d. 15030mo2 30太贝克101n 2,解彳t m 0600,150 (太贝克)，故选d.11.定义在实数集上的函数 ，如

9、果存在函数4式力士ar + b(凡3为常数)，使得之虱工)14对于一切实数都成立，那么称虱乃为函数$ 的一个承托函数.给出如下命题:对给定的函数(工)，其承托函数可能不存在，也可能有无数个定义域和值域都是 r的函数/(a)不存在承托函数；g(工)=2克为函数,(工)二j的一个承托函数；为函数1y (工)二工的一个承托函数其中，正确的命题个数是a. 0b. 1【解析】c12.设函数f (n) k (其中n ff%24(403等于一c. 2d. 3* . n ), k是的小数点后的第n位数字，3.1415926535l ,则100个【解析】f(10) 5,f(5) 9,f(9) 3,f(3) 1,

10、f(1) 1.从此后均为 f(1) 1.13 .如图，一条直角走廊宽为1.5m, 一转动灵活的平板手推车其，平板面为矩形，宽为 1m.问：要想顺利通过直角走廊，平板手推车的长度不能超过 【解析】3万2 . 能力提高14 .定义在r上的函数f (x)满足：对任意xi,x2 r都有f(互/2) 4f(xi) f (x2),则称函数f(x)是r 22上的凹函数.已知二次函数f(x) ax2 x(a r,a 0).(1)求证：当a 0时，函数f(x)是凹函数；【解析】(1)对任意x1,x2r,q a 0,f(x1) f(x2)x1 x22f(122)2axxi2x1 x2 2ax2x2 2a(122)

11、xix21 72-a(x1 x2)2:函数f(x)是凹函数.0 f(xix2)21 .2f(x1)f(x2)由| f(x) |1 f(x)2ax2ax2ax1 .怛成立(1 x(1 x2)2)2x1411 当x=0时，ae r;当 xg (0恒成立1)时,2 a 0.综上，a的范围是2,0.(2)如果x 0,1时,| f(x) | 1,试求实数a的取值范围.15 .已知函数f(x) ax 3a (a 0, a 1)的反函数是y f (x),而且函数y g(x)的图象 与函数y f 1(x)的图象关于点(a,0)对称.(i)求函数y g(x)的解析式；(n)若函数f(x) f 1(x) g( x

12、)在x a 2, a 3上有意义，求a的取值范围.【解析】(i)又函数由 f (x)y g(x)于是,(n)g(x)由(i)ax 3a (a的图象与函数y f 1(2a x)0, a 1),得 f 1(x) loga(x要使的结论，有 f(x)f 1(x)的图象关于点log a ( x a) . ( xf 1(x) g( x)(a,0)对称，贝ua)log a(x 3a)f(x)有意义，必须x 3a，又a 0.3a)1 ，、g(a x) f (a x),loga(x a).由题设f(x)在x a 2,a 3上有意义，所以 于是，0 a 1.应用创新).某地区上年度电价为 0.8元/kw h,年

13、用电量为akw h,本年度计划将电价降到 0.55元/kw h 至0.75元/kw h之间，而用户期望电价为 0.4元/kw h,经测算，下调电价后新增的用电量与实 际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.3元/kw - h.(i )写出本年度电价下调后，电力部门的收益 y与实际电价x的函数关系式；(n )设k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?(注：收益=实际用电量x (实际电价-成本价)【解析】(i)设下调后的电价为 x元/kwh,依题意知用电量增至 - a, x 0.4 k一 电力部门收益 y (一-一 a)(x 0

14、.3)(0.55 x a x (0.8 0.3)(1 20%), x 0.40.55 x0, 0.55 x 0.75解此不等式得0.60 x 0.75.故当电价最低定为0.60元/k仍可保证电力部门的收益比上年增长w-h20%知识清单函数与映射的概念函数映射两集合设a、b是两个非空数集设a、b是两个非空集合对应关系f : a b如果按照某种确定的对应关系 f，使对于 集合a中的任意一个数x ,在集合b中 都有唯一确定的数 f (x)和它对应。如果按某一个确定的对应关系 f,使对于集合a中的 任意一个元素x ,在集合b中都有唯一确定的元素 y 与之对应。名称称f: a b为从集合a到集合b的一

15、个函数称f : a b为从集合a到集合b的一个映射记法y f (x) , x a对应f : a b是一个映射注：函数与映射的区别：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集， 而函数中的两个集合必须是非空数集。 一个国数的构成要素：定义域、值域和对应关系 相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数。注：若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？（不一定。如果函数 y=x和y=x+1,其定义r域与值域完全相同，但不是相等函数；再如y=sinx与y=cosx ,其定义域为r,值域都为-1,1,显然不是相等函数。因此凑数两个函数是否相等， 关键是看定义域和对应关系） 函数的表示方法：解析法、图象法和列表法。 分段函数：若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的